WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

n=0 n=0 n=А тогда S(r) - S = (1- r) - S )rn S(r) - S < (1- r) Sn - S rn.

(Sn n=0 n=Возьмем >0 – любое. Так как Sn S, то взятому > 0 отвечает номер m n такой, что как только n > m, так сейчас же Sn - S <. Закрепим это m. Тогда m S(r) - S < (1- r) Sn - S rn + (1- r) rn.

n=0 n=m+m m У нас 0 r <1. Следовательно, Sn - S rn < Sn - S. Кроме того, n=0 n= m n n Sn - S +. Положим для r < r = 1- r. Значит, S(r) - S < (1- r) n=m+1 n=0 n=m краткости Sn - S = A() ( A() – число, закрепленное вместе с, ибо m n= зависит от ). Имеем, таким образом, S(r) - S < (1- r)A() +. До сих пор r было подчинено единственному условию: 0 r <1. Сделав r достаточно близ ким к 1, мы получим: (1- r)A() <, и тем самым S(r) - S <. Последнее означает, что S(r) S. Значит, метод Абеля – Пуассона – перманентный.

r-Рассмотрим ряд:

1-1+1-1+1-1+ K. (5) Мы знаем, что этот ряд расходится в обычном смысле. Составим для него ряд:

1- r + r2 - r3 + r4 - r5 + K. (6) Для 0 r <1: ряд (6) имеет своей суммой S(r) =. Имеем:

1+ r 1 lim S(r) = lim =.

1+ r r-0 r-1 Вывод: ряд (5) суммируется методом Абеля – Пуассона. Значит, метод Абеля – Пуассона интересный.

§6. Применение метода Абеля – Пуассона к рядам Фурье Лемма 1. Если 0 r <1, то 1 1 1- r2.

+ r cos + r2 cos2 + r3 cos3 + K = (1) 2 1- 2r cos + r Ряд + r cos + r2 cos2 + r3 cos3 + K сходится при наших r (он мажорируется геометрическим рядом, сходящимся при 0 r <1). Обозначим сумму этого ряда через S :

S = + r cos + r2 cos2 + r3 cos3 + K. (2) Умножим обе части (2) на 2r cos. Получим 2r cos S = r cos + 2r2 cos2 + 2r3 cos cos2 + K.

Но 2cos Acos B = cos( A - B) + cos( A + B). Поэтому 2r cos S = r cos + r2(1+ cos2) + r3(cos + cos3) + K 2r cosS = r2(1+ r cos + r2cos2 +K)+(r cos + r2cos2 + r3cos3 +K).

Это преобразование законно, так как оба ряда в скобках сходятся для 0 r <1.

Так как (1+ r cos + r2 cos2 + K ) = + S, 1, (r cos + r2 cos2 + r3 cos3 + K ) = S - то последнее соотношение может быть записано в виде:

1.

2r cos S = r2 1 + S + S - 2 Получили уравнение относительно S.

1 1 1- r2.

(1- r2 ) = S (1- 2r cos + r2 ) S = 2 1- 2r cos + rПусть функция f (t) R2. Составим для нее ряд Фурье:

A + cos nx + bn sin nx). (3) (an n=Применим к этому ряду метод Абеля – Пуассона. Для этого составляем ряд:

n A + (an cos nx + bn sin nx). (4) r n=Покажем, что ряд (4) сходится при 0 r <1. У нас f (t) R2 f (t) – ограниченная. Значит, существует число M > 0 такое, что f (t) M. Имеем, далее:

1 an = f (t)cos nt dt 2 M; bn = f (t)sin nt dt 2 M.

- Поэтому an cos nx + bn sin nx 4 M, и, следовательно, ряд (4) мажорируется рядом A + Mrn, сходящимся при 0 r <1. Положим n= n S(x,r) = A + (an cos nx + bn sin nx). (5) r n=Подставим в (5) вместо A, an, bn их выражения:

1 A = f (t)dt; an = f (t)cos nt dt; bn = f (t)sin nt dt.

- - Получим 1 S(x,r) = f (t)dt + f (t)rn cos n(t - x)dt = n=1 n = f (t) + r cos n(t - x) dt.

n=Произведенное преобразование законно, потому что ряд в скобках (при закрепленном 0 < r <1) сходится равномерно относительно t и, следовательно, его можно почленно интегрировать, предварительно умножив на ограниченную функцию f (t). По лемме, 1 1- rn +.

r cos n(t - x) = 2 1- 2r cos(t - x) + rn=А тогда 1 1- r S(x,r) = f (t)dt. (6) 1- 2r cos(t - x) + rПравая часть (6) – интеграл Пуассона.

Теорема. Пусть f (t) R2. Образуем для нее S(x,r). Тогда:

1) в каждой точке x, в которой функция f (t) имеет разрыв первого рода, f (x - 0) + f (x + 0) будет: S(x,r) ;

r-2) в каждой точке x, в которой функция f (t) непрерывна, будет:

S(x,r) f (x);

r- 3) если f (t) непрерывна на всей оси, то S(x,r) f (x).

r1- Для S(x,r) было получено следующее выражение:

1 1- rS(x,r) = f (t) dt.

1- 2r cos(t - x) + rПоложим здесь t = x + u. Будем иметь 1 1- r2 du S(x,r) = f (x + u) 1- 2r cosu + r(пределы интеграла прежние, ибо подынтегральная функция 2 периодическая). Положим теперь u = 2t1. Получим 1 1- rS(x,r) = f (x + 2t1) dt1.

1- 2r cos2t1 + r- Интеграл, стоящий в правой части, представим в виде суммы двух интегралов:

1 1- rS(x,r) = f (x + 2t1) dt1 + 1- 2r cos2t1 + r1 1- r.

+ f (x + 2t1) dt 1- 2r cos2t1 + r- Во втором интеграле справа сделаем замену: t1 = -t2. Получим:

1 1- rS(x,r) = f (x + 2t1) dt1 + 1- 2r cos2t1 + r 1 1- r.

+ f (x - 2t2 ) dt 1- 2r cos2t2 + rПоследнее соотношение может быть записано в виде:

S(x,r) = f (x + 2t) + f (x - 2t) dt (7) []1- 2r1- r cos2t + r(определенный интеграл не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования). Имеем: cos2t = 1- 2sin2 t, а тогда 1- 2r cos2t + r2 = 1- 2r(1- 2sin2 t) + r2 = (1- r)2 + 4r sin2 t.

Окончательно, для S(x,r) будем иметь следующее выражение:

1 1 S(x,r) = f (x + 2t) + f (x - 2t) dt. (8) [](1- r)2 +r 4r sin2 t Итак, если f (t) R2, то построенная для нее сумма S(x,r) выражается по формуле (8). В частности, это так, когда f (t) 1. Но для функции f (t) 1 будет: S(x,r) = 1 (ибо ряд Фурье этой функции такой: 1+ 0 + 0 + 0 + K + 0 + K ).

Значит, для f (t) 1 формула (8) принимает вид:

1 1- r 1 = 2 dt. (9) (1- r)2 + 4r sin2 t Пусть теперь f (t) R2 и точка x – точка разрыва первого рода для этой f (x + 0) + f (x - 0) функции. Умножим обе части (9) на и вычтем из (8) соответствующие части получившегося равенства. Будем иметь:

f (x + 0) + f (x - 0) S(x,r) - = 1 1 = f (x+2t)- f (x+0) + f (x-2t)- f (x-0) dt. (10) {[] []}(1- r)2+r 4r sin2t Возьмем >0 – любое. По самому определению односторонних пределов, взятому >0 отвечает > 0 такое, что как только 0 < t <, так сейчас же f (x + 2t) - f (x + 0) + f (x - 2t) - f (x - 0) <.

Закрепим это (считая < ) и разобьем интеграл формулы (10) на два инте 2 грала по схеме: = +. В первом из этих интегралов правой части будет:

0 f (x + 2t) - f (x + 0) + f (x - 2t) - f (x - 0) <, (11) а во втором:

f (x + 2t) - f (x + 0) + f (x - 2t) - f (x - 0) 4 M, (12) где M = sup f (t) (по условию, функция f (t) – интегрируемая, а значит, ог{ } раниченная).

(Заметим, что если, в частности, f (t) – непрерывная на всей оси, то благодаря периодичности она и равномерно непрерывная, так что указанное выше >0 можно считать зависящим только от и не зависящим от x ; оно одно и то же для всех вещественных x сразу.) Из (10), принимая во внимание (11) и (12), находим:

f (x + 0) + f (x - 0) S(x,r) - < 1- r2 4 M 1- r. (13) < dt + dt (1- r)2 + 4r sin2 t (1- r)2 + 4r sin2 t Первый из интегралов правой части (13) только увеличится, если интегрировать от 0 до (так как подынтегральная функция положительная). Поэтому 11- r2 11- rdt < dt.

(1- r)2 + 4r sin2 t (1- r)2 + 4r sin2 t 0 11- r2 Но из (9) следует, что dt =. Следовательно, (1- r)2 + 4r sin2 t 11- r2 dt <. Имеем, далее: при t, будет sin t sin, а (1- r)2 + 4r sin2 t 1- r2 1- rпотому dt <. Теперь вместо неравенства (13) (1- r)2 + 4r sin2 t 4r sin можем написать:

f (x + 0) + f (x - 0) M(1- r2 ) S(x,r) - < +.

2r sinM(1- r2 ) Если r 1- 0, то 0. Значит, взятому > 0 отвечает r0 > 0 такое, 2r sinM(1- r2 ) что как только r0 < r <1, так сейчас же <, и тем самым 2r sinf (x + 0) + f (x - 0) S(x,r) - <. Этим доказано утверждение 1), а значит, и утверждение 2) теоремы.

Что касается утверждения 3) теоремы, то оно следует из того, что для всюду непрерывной и 2 -периодичной функции f (t) число > 0, а с ним и r0, зависят только от, но не от x.

Замечание. Пусть f (t) задана только на промежутке [-, ], и f (t) R [-, ]. Тогда:

() 1) если - < x < и x – точка разрыва первого рода функции f (t), то f (x + 0) + f (x - 0) S(x,r) ;

r-2) если - < x < и x – точка непрерывности функции f (t), то S(x,r) f (x);

r-3) если существуют конечные f (- + 0) и f ( - 0), то при x =± будет:

f (- + 0) + f ( - 0) S(x,r) ;

r-4) если f (t) непрерывна на всем промежутке [-, ] и, кроме того, f (-) = f (), то S(x,r) f (x), x [-, ].

r- Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g(t), определив ее на всей вещественной оси следующим образом:

g(t) = f (t), если t -, ), и g(t + 2) g(t), t (-, + ).

[ Заметим, что функция g(t) R2 и к ней применима вся предыдущая теория.

Отметим, что ряд Фурье для функции g(t) совпадает с рядом Фурье для функции f (t) (это было показано раньше при доказательстве основной теоремы;

см. гл. 1, §4). Совпадают также интегралы Пуассона S(x,r) этих функций. А тогда:

1) если x (-, ) и x – точка разрыва первого рода функции f (t) (а значит, и функции g(t) ), то S(x,r) g(x + 0) + g(x - 0)S(x,r) f (x + 0) + f (x - 0) ;

2 r-0 r-1 2) если x (-, ) и x – точка непрерывности функции f (t) (а значит, и функции g(t) ), то S(x,r) f (x) ;

S(x,r) g(x) r-0 r-1 3) если существуют конечные f (- + 0) = g(- + 0), f ( - 0) = g( - 0), [][ ] то при x =± будет:

S(x,r) f (- + 0) + f ( - 0) ;

S(x,r) g(- + 0) + g( - 0) 2 r-0 r-1 4) если f (t) непрерывна на всем промежутке [-, ] и f (-) = f (), то g(t) будет непрерывной на всей оси. Следовательно, S(x,r) g(x), r1- x (-, + ), а значит, S(x,r) f (x), x [-, ].

r1-Дополнение 1.

Применение метода Абеля – Пуассона в теории степенных и числовых рядов В §6 показана эффективность применения метода Абеля – Пуассона в теории рядов Фурье. Отметим, что этот метод может быть успешно применен и при доказательствах некоторых теорем в теории степенных и даже числовых рядов.

Пример 1. Пусть степенной ряд c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + K + cnxn + K (1) имеет конечный радиус сходимости R. Тогда, как известно, сумма f (x) ряда будет непрерывна всюду в промежутке (-R, R) (это устанавливается совсем просто). Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно на каком-нибудь из концов интервала сходимости, то функция f (x) будет определена и на этом конце.

Вопрос: будет ли f (x) непрерывной в этой точке:

Ответ на этот вопрос дает теорема Абеля:

Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно при x = R, то в этой точке сумма ряда f (x) непрерывна, т. е. f (x) f (R).

xR- По условию ряд c0 + c1R + c2R2 + K + cnRn + K сходится к сумме f (R). Мы знаем, что метод Абеля – Пуассона перманентный. Значит, указанный ряд суммируется этим методом к той же сумме f ( R), т. е.

c0 + c1R r + c2R2 r2 + K + cnRn rn + K f (R), r-или f (R r) f (R). Остается заметить, что любое x (0, R) можно запи r-сать в виде x = R r и что соотношения: x R - 0 и r 1- 0 совершенно x равносильны (достаточно положить r = ). Поэтому f (x) f (R), а это и R xR-требовалось доказать.

Пример 2. Теорема Абеля (об умножении рядов). Пусть ряды:

a0 + a1 + a2 + K + an + K (2) и b0 + b1 + b2 + K + bn + K (3) сходятся (даже условно) к суммам A и B соответственно. Положим cn = a0bn + a1bn-1 + K + anb0.

Если ряд c0 + c1 + c2 + K + cn + K (4) сходится к сумме C, то C = AB.

Образуем степенные ряды:

a0 + a1x + a2x2 + K + anxn + K (5) и b0 + b1x + b2x2 + K + bnxn + K. (6) По условию, ряды (5) и (6) сходятся при x = 1. Значит, при 0 < x <1 они сходятся абсолютно и потому их можно перемножить. Ряд-произведение будет таким:

xn = c0 + c1x + c2x2 + K + cnxn + K. (7) cn n=Ряд (7) тоже сходится абсолютно при 0 < x < 1, и xn = xn xn, x (0,1). (8) cn an bn n=0 n=0 n=Перейдем в соотношении (8) к пределу при x 1- 0. По предыдущей теореме Абеля получим: C = A B, а это и требовалось доказать.

Дополнение 2.

Гармонический анализ функций, заданных эмпирически Выше было показано, что если функция y = f (x) периодическая с периодом 2l или если она задана на промежутке длины 2l, то коэффициенты Фурье этой функции, попарно определяющие слагаемые гармоники в ее ряде Фурье, определяются по формулам:

a+2l a+2l 1 1 nx A = f (x)dx; an = f (x)cos dx;

2l l l a a (1) a+2l 1 nx bn = f (x)sin dx, n = 1, 2,K.

l l a На практике, во многих прикладных вопросах функция y = f (x) задается графически в виде некоторой кривой, аналитическое выражение которой неизвестно. Такие эмпирические кривые получаются обычно при помощи приборов, регистрирующих изменение какой-либо одной переменной величины в зависимости от изменения другой величины. (К таким приборам относится, например, осциллограф.) Весьма часто также функция y = f (x) задается табличным способом, т. е.

некоторым конечным число своих частных значений, соответствующих различным значениям аргумента на протяжении целого периода. Эти частные значения функции являются результатом наблюдений и измерений рассматриваемой переменной величины.

Так как в этих случаях применение формул (1) становится невозможным, то вопрос о разложении функции f (x) на простейшие гармоники ставится в несколько ином виде.

Пусть имеется некоторая 2l -периодическая эмпирическая кривая. Разделим этот период на p равных частей. Пусть абсциссы точек деления будут:

2l 2l 2l x0 = 0; x1 = = ; x2 = 2 = 2; K; xk = k = k; K; xp = p = 2l, p p p а соответствующие ординаты пусть будут:

y0; y1; y2; K; yk; K; yp(= y0 ).

Возьмем теперь тригонометрический многочлен n -го порядка ~ x 2x nx ~ ~ ~ (x) = A + a1 cos + a2 cos + K + an cos + l l l (2) ~ ~ ~ x 2x nx +b1sin + b2 sin + K + bn sin l l l с числом членов, равным 2n +1, причем 2n < p. Поставим задачу: определить ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ такие значения коэффициентов A, a1, a2, K, an; b1, b2, K, bn, при которых многочлен (x) в точках деления наилучшим образом приближался бы к значениям ординат функции f (x) в этих же точках. Другими словами, надо определить такие значения этих коэффициентов, при которых сумма квадратов отклонений тригонометрического многочлена (2) в точках деления от заданных ординат функции y = f (x) в этих же точках была бы минимальной, т. е. чтобы p сумма = yk - (xk ) была бы наименьшей. Эта же задача ставится без []p k=изменений и для случая, когда функция y = f (x) известна только своими частными значениями y1, y2, y3, K, yp соответственно в точках x1, x2, x3, K, xp.

Процесс определения коэффициентов тригонометрического многочлена (2), удовлетворяющих вышеупомянутым требованиям, называется гармоническим анализом функций, заданных эмпирически.

Для решения поставленной задачи берем частным производные от по p ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A, a1, a2, K, an; b1, b2, K, bn и приравниваем их нулю. В результате получаем следующую систему (2n +1) уравнений со столькими же неизвестными:

p n ~ mxk ~ mxk ~ yk - (xk ) = 0, где (xk ) = A +cos + bm sin ;

[] am l l k=1 m= p qxk yk - (xk ) cosl = 0, q = 1, 2, K, n; (3) [] k= p qxk yk - (xk ) sinl = 0, q = 1, 2, K, n.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.