WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

n 22 2 n = f (x)dx - + bk ). (4) 2A + (ak k=(4) получается из (3), ибо подчеркнутые члены исчезают, когда T(x) = Sn(x).

Из определения n видно, что n 0 и, следовательно, n 2 2 2A2 ++ bk ) f (x)dx, для любого n N. (5) (ak k=Последнее означает, что частичные суммы положительного ряда 2 2A2 ++ bk ) (6) (ak k=ограничены сверху и потому этот ряд сходится. Переходя в неравенстве (5) к пределу при n, получим:

2 2 2A2 ++ bk ) f (x)dx. (7) (ak k=Ниже будет показано, что на самом деле в (7) стоит знак равенства, т. е.

2 2 2A2 ++ bk ) = f (x)dx. (8) (ak k=Формула (8) носит название формулы замкнутости. Ее можно записать и так:

lim n = 0. (9) n Теорема А.М. Ляпунова. Для любой функции f (x) R [-, ] справед() 2 2 лива формула замкнутости 2A2 ++ bk ) = f (x)dx.

(ak k= ) Ясно, что n убывает с ростом n, т. е. 0 1 2 K k K. Это видно из выражения (4) для n.

) Представим f (x) в виде суммы двух функций: f (x) = f (x) + f (x), причем считаем, что все эти функции интегрируемы на промежутке [-, ].

Обозначим через Sn(x), Sn(x), Sn(x) n -е частичные суммы рядов Фурье для функций f (x), f (x), f (x) соответственно. Пусть n, n, n – средние квадратические отклонения указанных сумм от самих функций. Тогда справедливо неравенство:

n 2n + f (x)dx. (10) В самом деле, имеем Sn(x) = Sn(x) + Sn(x) (это очевидно). А тогда f (x) - Sn(x) = f (x) - Sn(x) + f (x) - Sn(x).

( ) ( ) Как известно, ( A - B)2 2( A2 + B2). Следовательно, f (x) ( - Sn(x) 2 f (x) - Sn(x) + f (x) - Sn(x).

)() ( ) Интегрируя это неравенство по x от - до и деля на, получим n 2(n + n ). (11) Но n 1 n = f (x)dx -2 + bk2 ) f (x)dx.

2A + (ak k=- Отсюда и из (11) следует (10).

Перейдем теперь к доказательству теоремы Ляпунова.

1. Пусть f (x) непрерывна на [-, ] и такая, что f (-) = f (+). Возьмем >0 – любое. По второй теореме Вейерштрасса, существует тригонометричеm ский многочлен (порядка m): Tm(x) = P + pk cos kx + qk sin kx), такой, что ( k= f (x) - Tm(x) для всех x [-, ]. А тогда ( f (x) - Tm(x))2 dx.

Но частичная сумма Sm(x) ряда Фурье функции f (x) имеет наименьшее среднее квадратическое отклонение от f (x). Значит, m = f (x) - Sm(x) dx f (x) - Tm(x) dx.

()2 1 () - Итак, m. Было отмечено, что {k}kN – убывающая. Поэтому, тем более при n > m, будет n, а это и значит, что n 0.

n Более сложные виды функции f (x) приводятся к только что рассмотренному.

2. Пусть f (x) – ступенчаy тая функция. Это значит, что промежуток [-, ] разлагается точками x - = a0 < a1 < a2 < K < as = a1 a2 as-1=as -=aна такие промежутки [ai,ai+1], Рис. 2.1. График ступенчатой функции y = f (x) что в интервалах (ai,ai+1) функция f (x) постоянна.

Пусть, например, при x (ai,ai+1): f (x) = ci (i = 0,1, 2,K s -1). (Нас не будет интересовать, каковы значения f (x) в граничных точках промежутков [ai,ai+1]). Очевидно, что f (x) – ограниченная функция (s – число конечное, т. е. конечное число ступенек). Значит, существует число M такое, что f (x) M для x [-, ].

Введем новую функцию f (x), задав ее так:

f (ai ) 0 (i 0,1, 2,K, s);

== f (x) = ci для ai + x ai+1 - (i = 0,1, 2,K, s -1);

f (x) - линейна для ai x ai + и для ai+1 - x ai+1.

y Здесь подчинено условию:

ai+1 - ai 0 < < ; в дальнейшем выбор будет уточнен.

x a1 a2 as-1=as Функция y = f (x) непре-=aрывна на промежутке [-, ] и Рис. 2.2. График функции y = f (x) такая, что ее значения на концах промежутка одинаковы, т. е.

f (-) = f (+) = 0. Значит, по уже доказанному (см. пункт 1.) n 0. Очеn видно, далее, что f (x) M для x [-, ].

Положим теперь f (x) - f (x) = f (x). Тогда n 2n + f (x)dx. Име ем:

ai+1 s-1 + ai+ s-1 ai 22 f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, i=- ai ai ai+1i= так как на промежутках [ai +, ai+1 - ] f (x) = f (x), и, следовательно, f (x) = 0. У нас f (x) = f (x) - f (x) f (x) f (x) + f (x) 2 M.

Значит, ai + ai+22 f (x)dx 4 M и f (x)dx 4 M.

ai ai+1 M s А тогда f (x)dx 8 M s и, следовательно, n 2n +16.

Возьмем >0 – любое. До сих пор мы не уточняли выбора. Теперь будем 16 M s считать его таким, что <. Тогда n 2n + (при всех n ). Но 3 n 0. Значит, найдется номер N такой, что при n > N будет n < и тем n самым n <, если n > N. Последнее означает, что n 0, а это и требоваn лось доказать.

3. Общий случай.

Пусть f (x) R [-, ]. Возьмем > 0 – любое и разделим промежуток ( ) [-, ] точками a0 =- < a1 < a2 < K < as = на столь малые части, чтобы было:

s- (ai+1 - ai ) <.

i i=Здесь i – колебание функции f (x) на промежутке [ai,ai+1]; – колебание функции f (x) на промежутке [-, ]. (Такое разбиение возможно, так как f (x) интегрируема на промежутке [-, ], а это – необходимое и достаточное условие интегрируемости.) Введем в рассмотрение новую функцию f (x), положив:

0, если x ai, i 0,1, 2,K, s (в узлах);

= = f (x) = ai + ai+, если x (ai,ai+1), i = 0,1,K, s -1.

f Очевидно, что f (x) – функция ступенчатая, и потому n 0. Положим:

n f (x) - f (x) = f (x). Тогда, как мы знаем, n 2n + f (x)dx. Имеем:

ai+ s-f (x)dx = f (x)dx. Заметим, что если x (ai,ai+1), то i=- ai ai + ai+ f (x) = f (x) - f i. Поэтому ai+ f (x)dx i (ai+1 - ai ). (12) ai (Это так, несмотря на то, что оценка f (x) 2 справедлива лишь для ( ) i x (ai,ai+1), ибо изменение значений подынтегральной функции в двух точках не изменяет величину интеграла).

Так как i, i = 0,1, 2,K, s -1, то вместо (12) можем написать ai+f (x)dx i(ai+1 - ai ). А тогда ai s- f (x)dx (ai+1 - ai ) < =, i i=2 и, следовательно, n < 2n +, и тем более n < 2n +, ибо >3. Было отмечено, что n 0. Значит, найдется номер N такой, что при n > N буn дет: n <, и тем самым n <, если n > N. Последнее означает, что n 0, а это и требовалось установить.

n Пример. Ранее, при разложении функции f (x) = x2, x [-, ], в ряд Фурье, было получено: для любого x [-, ] 2 cos2x cos3x x2 = - 4 cos x - + - K + (-1)n-1 cos nx + K 12 22 32 n(здесь A = ; an = (-1)n 4, n = 1, 2,K ; bn = 0, n = 1, 2,K ). По формуле n 2 2 замкнутости f (x)dx = 2A2 + + bn ) в нашем примере будем иметь:

(an n= 1 4 1 4 4 11 4.

x4dx = 2 +16 = + 8 = 9 5 9n=1 n4 n4 nn=1 n=Следствия теоремы Ляпунова.

1. Пусть f (x) R [-, ], и A, an, bn – коэффициенты Фурье этой функ() ции. Пусть g(x) R [-, ], и P, pn, qn – ее коэффициенты Фурье. Тогда ( ) f (x)g(x)dx = 2AP + pn + bnqn ). (13) (an n=(Это – обобщенная формула замкнутости; сама формула замкнутости получается из (13) при g(x) = f (x).) Ясно, что сумма f (x) + g(x) имеет коэффициентами Фурье A + P ;

an + pn; bn + qn. По теореме Ляпунова имеем:

2 2 f (x)dx = 2A2 + + bn ), (14) (an n= 2 g2(x)dx = 2P2 + pn + qn ), (15) ( n= + pn )2 + (bn + qn )2. (16) [(an ] ( f (x) + g(x))2 dx = 2( A + P)2 + n=Вычитая (14) и (15) из (16), получаем:

f (x)g(x)dx = 4AP + 2 pn + bnqn ) (13).

(an n=2. Подставим в (13) выражения для P, pn, qn. Получим f (x)g(x)dx = A g(x)dx + g(x)cos nx dx + bn g(x)sin nx dx.

an n=- - - - Таким образом, соотношение f (x) ~ A + cos nx + bn sin nx) (17) (an n=можно почленно интегрировать, умножив его предварительно на любую интегрируемую в промежутке [-, ] функцию g(x), и при этом получается точное равенство.

3. Пусть [l, m]-, ]. Возьмем в качестве функции g(x) функцию, за[ данную следующим образом:

1 при x [l, m], g(x) = 0 при x -, ]\ [l, m].

[ Тогда будем иметь:

m m m m f (x)dx = A dx + an cos nx dx + bnsin nx dx.

n=l l l l Видим, что соотношение (17) можно почленно интегрировать по любому сегменту, содержащемуся в [-, ], и при этом получается точное равенство.

§4. Полнота тригонометрической системы b Определение. Пусть функция f (x) R [a, b]. Если f (x)dx = 0, то го( ) a ворят, что f (x) эквивалентна нулю, и пишут: f (x) ~ 0.

(Заметим, что в том случае, когда f (x) – непрерывна на [a, b], из f (x) ~ вытекает, что f (x) 0, x [a, b]. Для разрывных функций это не так. Например, функция, отличная от нуля в конечном числе точек промежутка [a, b], эквивалентна нулю, но не тождественна ему.) Теорема 1. Пусть f (x) R [a, b]. Если f (x) ~ 0, то все ее коэффициенты ( ) Фурье равны нулю.

Действительно, по теореме Ляпунова 2 2 f (x)dx = 2A2 + + bk ).

(ak k= 2 2 У нас f (x) ~ 0 f (x)dx = 0 2A2 ++ bk ) = 0. Но последнее (ak k=имеет место лишь тогда, когда одновременно A = 0, ak = 0, bk = 0, k = 1, 2,K.

Теорема 2. Пусть f (x) R [a, b]. Если все коэффициенты Фурье функции ( ) f (x) равны нулю, то f (x) ~ 0.

По формуле замкнутости Ляпунова имеем:

2 2 f (x)dx = 2A2 + + bk ).

(ak k= По условию, A = 0, ak = 0, bk = 0, k = 1, 2,K. Но тогда f (x)dx = f (x) ~ 0.

Теорема 3. Пусть f (x) R [a, b] и g(x) R [a, b]. Если все коэффициен( ) ( ) ты Фурье у этих функций совпадают, то f (x) - g(x) ~ 0, т. е.

( ) [ f (x) - g(x)]2dx = 0.

Пусть A, ak, bk – коэффициенты Фурье функции f (x); P, pk, qk – коэффициенты Фурье функции g(x). Ясно, что разность f (x) - g(x) имеет коэффициентами Фурье A - P, ak - pk, bk - qk ( k = 1, 2,K ). По теореме Ляпунова - pk )2 + (bk - qk )2.

[(ak ] [ f (x) - g(x)]2 dx = 2( A - P)2 + k=По условию, A = P, ak = pk, bk = qk ( k = 1, 2,K ). Но тогда [ f (x) - g(x)]2 dx = 0. А это означает, что ( f (x) - g(x)) ~ 0.

В случае, когда f (x) - g(x) ~ 0, говорят, что функции f (x) и g(x) экви( ) валентны друг другу.

Замечание. Если, в частности, f (x) и g(x) – непрерывны, то из совпадения их коэффициентов Фурье вытекает, что f (x) g(x), x [-, ].

Теорема 4. Тригонометрическую систему 1, cos x, sin x, cos2x, sin 2x, K (1) нельзя дополнить никакой непрерывной функцией (x) (кроме как нулем), которая была бы ортогональна ко всем функция системы (1).

Рассуждаем от противного. Предположим, что существует непрерывная, отличная от нуля, функция (x), ортогональная ко всем функциям системы (1). Но тогда все коэффициенты Фурье этой функции:

A = (x)dx = 0; ak = 1 (x)cos kx dx = 0 (k = 1, 2,K );

- bk = (x)sin kx dx = 0 (k = 1, 2,K ).

Следовательно, по теореме 2: (x) ~ 0. А так как (x) – непрерывная функция, то (x) 0, x [-, ]. Получили противоречие. Значит, наше предположение неверно.

Утверждение, доказанное в теореме 4, называют полнотой тригонометрической системы (1).

Теорема 5. Пусть функция f (x) непрерывна на [-, ], и f (-) = f (+).

Если ряд Фурье функции f (x) сходится на [-, ] равномерно, то сумма его и есть f (x) (т. е. f (x) разлагается на [-, ] в ряд Фурье).

Обозначим сумму ряда Фурье функции f (x) через S(x). По условию S(x) есть сумма равномерно сходящегося на промежутке [-, ] тригонометрического ряда. Стало быть, этот ряд будет рядом Фурье для S(x). Таким образом, оказывается, что наш ряд является рядом Фурье как для функции f (x), так и для своей суммы S(x) (т. е. f (x) и S(x) имеют один и тот же ряд Фурье).

Но f (x) и S(x) непрерывны на [-, ]. ( f (x) – по условию, а S(x) – как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций). Но тогда S(x) f (x), x -, ].

[ Замечание. Теперь мы можем для такой функции f (x) построить ее ряд Фурье и проверить, сходится ли он равномерно на промежутке [-, ]. Если ряд оказывается равномерно сходящимся, то его сумма и есть f (x) (т. е. f (x) разлагается на [-, ] в ряд Фурье).

Теорема 6. Если функция f (x) всюду на [-, ] имеет непрерывную производную f (x) и если f (-) = f (+), то f (x) разлагается в [-, ] в равномерно сходящийся ряд Фурье.

Пусть an и bn – коэффициенты Фурье функции f (x), а n и n – коэффициенты Фурье функции f (x). Имеем:

an = f (x)cos nx dx an = f (x)d sin nx = n - x= n sin nx sin nx = f (x) - f (x)dx =- ;

n n n x=144 42444 = bn = f (x)sin nx dx bn = - f (x)d cos nx = n - x= n cos nx cos nx =- f (x) + f (x)dx =.

n n n x=14442444 = n n Итак, получили an =- ; bn =. Как известно, AB A2 + B2. Следоваn n тельно, an + 2; bn + 2.

n2 n n2 n По условию, f (x) C [-, ] f (x) R [-, ] для f (x) справед() ( ) лива формула замкнутости Ляпунова сходится ряд + 2 ). Кроме то(n n n= го, мы знаем, что сходится ряд. А тогда приходим к выводу, что сходит nn= ся ряд an + bn. Так как для любого n N и для всех x -, ]:

[ () n=an cos nx + bn sin nx an + bn, ( ) то заключаем, что ряд A + cos nx + bn sin nx) сходится равномерно на (an n=промежутке [-, ]. А тогда по теореме 5 получаем: f (x) разлагается на [-, ] в ряд Фурье (причем этот ряд Фурье сходится равномерно на [-, ]).

§5. Метод Абеля – Пуассона суммирования рядов Пусть имеется ряд:

a0 + a1 + a2 + K + an + K. (1) Составим новый ряд:

a0 + a1r + a2r2 + K + anrn + K (2) (ряд (1) – частный случай ряда (2); он получается из ряда (2) при r = 1). Допустим, что:

1) ряд (2) сходится, когда 0 r <1, к сумме S(r), и 2) существует конечный предел S = lim S(r).

r-Тогда говорят, что ряд (1) суммируется методом Абеля – Пуассона, а число S называют его обобщенной суммой.

Теорема 1. Метод Абеля – Пуассона – перманентный.

Пусть ряд (1) сходится (в обычном смысле) к сумме S. Тогда an n (как общий член сходящегося ряда). Мы знаем, что переменная, имеющая конечный предел, ограничена; значит, существует число K > 0 такое, что an < K для любого n = 0,1, 2,K. Но тогда ряд (2) мажорируется геометрическим рядом K + K r + K r2 + K + K rn + K, сходящимся при 0 r <1. Тем самым ряд (2) сходится при 0 r <1. Пусть сумма ряда (2) есть S(r). Положим Sn = a0 + a1 + a2 + K + an. Тогда a0 S0, = a1 = S1 - S0, a2 = S2 - S1, KKKKKK an = Sn - Sn-1, KKKKKK Следовательно, S(r) = S0 + (S1 - S0 )r + (S2 - S1)r2 + K + (Sn - Sn-1)rn + K, или:

S(r) = (S0 - 0) + (S1r - S0r) + (S2r2 - S1r2 ) + K + (Snrn - Sn-1rn ) + K.

Видим, что S(r) можно рассматривать как результат формального вычитания ряда 0 + S0r + S1r2 + K + Sn-1rn + K (3) из ряда S0 + S1r + S2r2 + K + Snrn + K. (4) Отметим, что ряды (3) и (4) сходятся при 0 r <1. Действительно, у нас ряд (1) сходится в обычном смысле к сумме S. Значит, Sn S существует чисn ло M такое, что будет Sn < M для любого n = 0,1, 2,K. Следовательно, ряд (3) мажорируется рядом:

~ Mr + Mr2 + K + Mrn + K, ( 3) а ряд (4) мажорируется рядом ~ M + Mr + Mr2 + K + Mrn + K. (4) ~ ~ Ряды ( 3) и (4) – геометрические, сходящиеся при 0 r <1. Значит, и ряды (3), (4) сходятся при 0 r <1. Но тогда S(r) равна разности сумм рядов (4) и (3), т. е.

S(r) = rn - r rn S(r) = (1- r) rn.

Sn Sn Sn n=0 n=0 n=Мы знаем, что если 0 r <1, то n n r = 1- r 1 = (1- r)r S = (1- r)S rn.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.