WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

n n Возьмем >0 – любое. Так как xk l, то взятому >0 отвечает ноk мер m такой, что как только k > m, так сейчас же xk - l <. Пусть n > m.

Имеем:

x1 + x2 + K + xn (x1 - l) + (x2 - l) + K + (xn - l) yn - l = - l = n n x1 - l + x2 - l + K + xm - l + xm+1 - l + K + xn - l yn - l n x1 - l + x2 - l + K + xm - l(n - m) yn - l + n n x1 - l + x2 - l + K + xm - l yn - l +.

n Положим: x1 - l + x2 - l + K + xm - l = A() (это число закреплено при закреA() A() 0. Поэтому существует нопленном ). Тогда yn - l < +. Но n 2 n n A() мер p такой, что как только n > p, так сейчас же <. Положим n max(m, p) = N. Ясно, что при n > N окажется yn - l < ( N зависит от ).

Существование такого N для любого > 0 и означает, что yn l.

n Замечание. Метод C – интересный, ибо он суммирует расходящийся в обычном смысле ряд: 1-1+1-1+ K к сумме S =.

Действительно, имеем для любого n N : S2n = 0; S2n-1 = 1. Значит, S1 + S2 + K + S2n n 1 2n = = =, 2n 2n 2 n S1 + S2 + K + S2n-n 2n-1 = =, 2n -1 2n -1n и, следовательно, lim n =.

n Теорема 3 (Фейер). Пусть функция f (t) R2. Составим ее ряд Фурье:

A + cos kx + bk sin kx). Положим (ak k=i S0(x) = A; Si(x) = A + cos kx + bk sin kx);

(ak k=S0(x) + S1(x) + K + Sn-1(x) n(x) =.

n Тогда:

1) в каждой точке x разрыва первого рода функции f (t) оказывается f (x + 0) + f (x - 0) n(x) ;

n 2) в каждой точке x, где f (t) непрерывна, будет n(x) f (x) ;

n n(x) f (x) 3) если f (t) непрерывна на всей оси, то.

n Мы знаем, что частичные суммы ряда Фурье для функции f (t) R2 выражаются интегралами Дирихле Sp(x) = f (x + 2t) + f (x - 2t) dt, p = 0,1, 2,K.

[]sin(2 p +1)t sin t А тогда f (x + 2t) + f (x - 2t) n(x) = sin t + sin3t + K + sin(2n -1)t dt.

[] n sin t Подсчитаем сумму, стоящую в квадратных скобках под знаком интеграла. Положим T = sin t + sin3t + K + sin(2n -1)t. Умножим обе части этого равенства на 2sin t. Получим:

2T sin t = 2sin2 t + 2sin t sin3t + K + 2sin t sin(2n -1)t.

Но 2sin2 t = 1- cos2t ; 2sin Asin B = cos(B - A) - cos(B + A). Поэтому 2T sin t = (1- cos2t) + (cos2t - cos4t) + (cos4t - cos6t) + K + sin2 nt + cos(2n - 2)t - cos2nt = 1- cos2nt = 2sin2 nt T = () sin t (в точках, где sin t обращается в нуль, это равенство следует понимать в предельном смысле). Следовательно, выражение для n(x) может быть записано в виде:

n = f (x + 2t) + f (x - 2t) sin nt dt. (2) [] n sin t Итак, для всякой функции f (t) R2 n(x) выражается через f (t) по формуле (2).

Пусть, в частности, f (t) 1. Для такой функции, как мы знаем, S0(x) = S1(x) = S2(x) = K = Sn-1(x) = 1. Поэтому S0(x) + S1(x) + K + Sn-1(x) n(x) = = 1, n и формула (2) принимает вид:

2 sin nt 1 = dt. (3) n sin t 1) Пусть в точке x существуют конечные f (x + 0) и f (x - 0) (т. е. точка x является точкой разрыва первого рода для f (t)). Умножим обе части (3) на f (x + 0) + f (x - 0) и вычтем из (2). Получим:

f (x + 0) + f (x - 0) n(x) - = = f (x + 2t) - f (x + 0) + f (x - 2t) - f (x - 0) sin nt dt.

{[] []} n sin t Положим f (x + 2t) - f (x + 0) + f (x - 2t) - f (x - 0) = H(t). Тогда f (x + 0) + f (x - 0) n(x) - H(t) sin nt dt (4) 2 n sin t (заметим, что H(t) – бесконечно малая величина при t + 0).

Возьмем >0 – любое. Так как H(t) – бесконечно малая величина при t + 0, то взятому >0 отвечает > 0 такое, что как только 0 < t, так сейчас же H(t) < (можно считать < ). У нас f (t) R2, а значит, интегрируема на любом конечном промежутке. Следовательно, f (t) – ограниченная на любом конечном промежутке, а, в силу периодичности, ограниченная везде.

Положим M = sup f (t).

{ } Запишем неравенство (4) в виде 2 f (x + 0) + f (x - 0) n(x) - H(t) sin nt dt + H(t) sin nt dt.

2 n sin t n sin t В первом интеграле правой части H(t) <. Значит, 1 sin nt 2 sin nt 2 (3) H(t) sin nt dt < dt = dt < n n sin t n sin t sin t 2.

0 0 (раздвинули пределы, а подынтегральная функция положительная) Итак, f (x + 0) + f (x - 0) n(x) - < + H(t) sin nt dt.

22 n sin t sin nt 2 Очевидно, что H(t) 4 M. Кроме того, при t, будет.

2 sin t sinПоэтому 11 1 1 2 M H(t) sin nt dt 4 M - < 4 M =.

n sin t n n sin2 sin2 nsin А тогда f (x + 0) + f (x - 0) 2 M n(x) - < +.

nsin2 M Ясно, что 0, ибо M = const, а > 0 – закреплено вместе с. Знаn nsinчит, найдется номер N такой, что как только n > N, так сейчас же f (x + 0) + f (x - 0) 2 M <, и тем самым n(x) - < при n > N. Послед2 nsinf (x + 0) + f (x - 0) нее означает, что n(x). Этим доказано первое утверn ждение теоремы.

2) Второе утверждение теоремы есть частный случай первого утверждения.

Значит, доказано и оно.

3) Пусть функция f (t) непрерывна на всей оси. Тогда в каждой точке x (-, + ): f (x - 0) = f (x + 0) = f (x), и, следовательно, функция H(t) = f (x + 2t) - f (x) + f (x - 2t) - f (x). Ясно, что H(t) – бесконечно малая величина при t + 0. Поэтому любому > 0, выбранному заранее, отвечает >0, такое, что как только 0 < t, так сейчас же H(t) <. Отметим, что число >0 выбирается по, но для каждого x оно будет, вообще говоря, своим, т. е. = (, x).

У нас f (t) – функция, непрерывная на всей оси. Так как f (t) еще и периодическая, то она будет равномерно непрерывной. А тогда (в этом частном случае) будет зависеть только от ( не будет зависеть от x ), а значит, и номер N будет зависеть только от ( N не будет зависеть от x ). Стало быть, нераf (x + 0 + f (x - 0) венство n(x) - = n(x) - f (x) < будет верно при n > N для любого x. Так как N зависит только от ( N не зависит от x ), то послед n(x) f (x) нее означает, что.

n Замечание. Если функция f (t) R2 и в некоторой точке x0 f (t) – непрерывна, то ряд Фурье для f (t) в точке x0 не может сходиться к сумме, отличной от f (x0). Действительно, если он сходится к сумме, то (по перманентности метода C ) будет n(x0 ). С другой стороны, по теореме Фейn ера будет: n(x0 ) f (x0 ). Поэтому = f (x0 ).

n §2. Теоремы Вейерштрасса Определение. Тригонометрическим многочленом называется функция вида n T(x) = P + pk cos kx + qk sin kx).

( k=Примерами таких многочленов служат частичные суммы тригонометрических рядов, а также средние арифметические этих частичных сумм.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если f (x) есть функция, определенная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2, то существует такая последовательность тригонометрических многочленов:

T1(x), T2(x), T3(x), K, Tn(x), K, которая сходится к f (x) равномерно на всей оси, т. е. Tn(x) f (x), n x (-, + ).

Требуемая последовательность получается, если образовать для f (x) n(x) f (x) суммы Фейера n(x), ибо, x (-, + ).

n Другие формулировки теоремы.

A. Если f (x) есть функция, определенная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2, то для любого > 0 существует тригонометрический многочлен T(x) такой, что для всех x (-, + ) будет f (x) - T(x) <.

Это верно потому, что за T(x) можно взять любой член последовательности Tn(x), у которого номер n > N (номер N зависит лишь только от { }nN ).

B. Если f (x) есть функция, определенная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2, то она разлагается в равномерно сходящийся ряд тригонометрических многочленов.

Пусть Tn(x) – последовательность тригонометрических многочле{ }nN Tn(x) f (x) нов, такая что, x (-, + ). Положим n Q1(x) = T1(x), Q2(x) = T2(x) - T1(x), Q3(x) = T3(x) - T2(x), KKKKKKKKK Qn(x) = Tn(x) - Tn-1(x), KKKKKKKKK Ясно, что Qk (x), k = 1, 2,K – это тригонометрические многочлены. Образуем ряд:

Q1(x) + Q2(x) + K + Qn(x) + K. (1) Ясно, что Q1(x) + Q2(x) + K + Qn(x) = Tn(x). У нас Tn(x) f (x), n x (-, + ). Значит, частичные суммы ряда (1) сходятся равномерно к f (x) на промежутке (-, + ). Но это и означает, что f (x) = (x), Qk k=x (-, + ), причем ряд сходится равномерно.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a, b], то всякому > 0 отвечает такой алгебраиче~ ский многочлен P(x) = c0 + c1x + K + cmxm, что для всех x [a, b] будет:

~ f (x) - P(x) <.

1. Пусть сначала a =-, b = + и f (-) = f (+). Распространим определение f (x) на всю ось, положив f (x + 2) = f (x). Тогда f (x) будет задана на промежутке (-, + ), всюду непрерывна и 2 -периодична.

Возьмем >0 – любое. По второй теореме Вейерштрасса, взятому > n отвечает тригонометрический многочлен T(x) = P + pk cos kx + qk sin kx), ( k= такой, что при всех вещественных x будет: f (x) - T(x) <. Закрепим этот n T(x) и положим pk + qk = M.

() k=Как известно, функции sin z и cos z разлагаются в степенные ряды:

z3 z5 z sin z = z - + - + K, (2) 3! 5! 7! z2 z4 z cos z = 1- + - + K, (3) 2! 4! 6! причем эти ряды сходятся равномерно на любом конечном промежутке. Обозначим через Sm(z) и Cm(z) m-е частичные суммы рядов (2) и (3) соответственно. Выберем m столь большим, чтобы при всех z [-n, n] было бы:

Sm(x) - sin z < ; Cm(z) - cos z <.

2 M 2 M (Здесь n есть порядок T(x), который мы закрепили. Значит, n – закрепленное число.) Положим n ~ P(x) = P + pkCm(kx) + qkSm(kx). (4) [] k=~ Ясно, что P(x) есть алгебраический многочлен. Пусть x [-, ] и k есть какое-нибудь из чисел: 1, 2, 3,K, n. Тогда kx [-n, n], и потому Cm(kx) - cos kx < ; Sm(kx) - sin kx <.

2 M 2 M Следовательно, n ~ T(x) - P(x) pk cos kx - Cm(kx) + qk sin kx - Sm(kx) < {} k=n < pk + qk = M =.

() 2 M 2 M k= Итак, f (x) - T(x) < (это верно для всех вещественных x, и, в частности, для ~ x -, ]). Кроме того, для x [-, ] будет T(x) - P(x) < Имеем:

[ ~ ~ f (x) - P(x) = f (x) - T(x) + [] [T(x) - P(x)] ~ ~ f (x) - P(x) f (x) - T(x) + T(x) - P(x) < + = для x -, ], [ 2 а это и требовалось доказать.

2. Пусть по-прежнему a = -, b = +, но f (-) f (+). Положим f (-) - f (+) A =. Тогда f (+) + A = f (-) - A. Введем в рассмотрение функцию g(x) = f (x) + Ax. Она также определена на [-, ], непрерывна там и, кроме того, g(+) = g(-). Поэтому к функции g(x) можно применить уже доказанную часть теоремы. Значит, существует алгебраический многочлен ~(x) ~(x) P такой, что при всех x [-, ] будет g(x) - P <, или (что то же 1 самое) ~ ~ f (x) + Ax - P (x) < f (x) - (x) - Ax <.

[P ] ~ ~(x) Поэтому алгебраический многочлен P(x) = P - Ax таков, что для всех ~ x -, ] будет f (x) - P(x) <, что и требовалось установить.

[ 3. Пусть [a, b] – произвольный промежуток. Положим 2(x - a) - (b - a) y =. (5) b - a Из (5) видим, что если x [a, b], то y [-, ]. Кроме того, видим, что связь между x и y можно записать и так:

2a + ( y + )(b - a) x =. (6) (если y -, ], то x [a, b]). Введем в рассмотрение функцию аргумента y :

[ 2a + ( y + )(b - a) f. Эта функция определена и непрерывна на промежут m ке [-, ]. Значит, существует многочлен Q( y) = yk такой, что при всех ck k=y -, ] будет:

[ m 2a + ( y + )(b - a) f yk <. (7) ck k=2(x - a) - (b - a) Возьмем любое x из [a, b] и положим y =. Тогда b - a y -, ], и можно подставить это y в (7), что дает [ m 2(x - a) - (b - a)k f (x) - <, т. е. алгебраический многочлен ck b - a k=m ~ 2(x - a) - (b - a)k P(x) = – требуемый, а это и требовалось докаck b - a k=зать.

Другие формулировки первой теоремы Вейерштрасса.

A. Если функция f (x) определена и непрерывна на [a, b], то существует последовательность алгебраических многочленов: Pk (x), сходящаяся к {~ } kN f (x) равномерно на [a, b].

1 1 Возьмем последовательность 1 = 1, 2 =, 3 =, K. По 2 3, K, n = n ~ доказанному выше, для каждого n = (> 0) найдется многочлен Pn(x), такой, n ~ что для всех x [a, b] будет Pn(x) - f (x) < n. Следовательно, ~ Pn(x) f (x), x [a, b].

n B. Если функция f (x) определена и непрерывна на [a, b], то она разлагается на [a, b] в равномерно сходящийся ряд алгебраических многочленов.

Пусть Pn(x) – последовательность алгебраических многочленов, та{~ } nN ~ кая, что Pn(x) f (x), x [a, b]. Положим n ~ ~ Q1(x) = P (x), ~ ~ ~(x), Q2(x) = P2(x) - P ~ ~ ~Q3(x) = P3(x) - P2(x), KKKKKKKKK ~ ~ ~ Qn(x) = Pn(x) - Pn-1(x), KKKKKKKKK ~ Ясно, что Qk (x), k = 1, 2,K – алгебраические многочлены. Образуем ряд ~ ~ ~ Q1(x) + Q2(x) + K + Qn(x) + K. (8) ~ ~ ~ ~ ~ Видим, что Q1(x) + Q2(x) + K + Qn(x) = Pn(x). У нас Pn(x) f (x), n ~ x [a, b]. Но Pn(x) оказывается n -й частичной суммой ряда (8). Так как частичные суммы ряда (8) сходятся равномерно к f (x) на [a, b], то приходим к ~ заключению, что f (x) = (x), x [a, b], причем ряд (8) сходится равноQk k=мерно на [a, b].

§3. Средние квадратические приближения функций Задача. Пусть имеет функция f (x) такая, что f (x) R [-, ]. Рассмат() риваются всевозможные тригонометрические многочлены порядка не выше n :

n T(x) = P + pk cos kx + qk sin kx).

( k=Для каждого такого тригонометрического многочлена составляется выражение:

rn = f (x) - T(x) dx (rn называется средним квадратическим отклонени[] ем T(x) от f (x)). Требуется найти такой тригонометрический многочлен T(x), чтобы rn получило наименьшее возможное значение.

Решение. Введем коэффициенты Фурье функции f (x):

1 A = f (x)dx; ak = f (x)cos kx dx; bk = f (x)sin kx dx - - (эти коэффициенты известны, так как функция f (x) дана). Имеем:

n 1) f (x)T(x)dx = f (x)P + pk cos kx + qk sin kx) dx = ( k=- n n = 2A P+ pk + bkqk ) f (x)T(x)dx = 2PA+ pkak + qkbk ). (1) (ak ( k=1 k= n 2) P + pk cos kx + qk sin kx) dx = ( T (x)dx = k=- n = P2dx +( pk cos2 kx + qk sin2 kx)dx.

k=- (интегралы от всех удвоенных произведений исчезают благодаря ортогональности системы: 1, cos x, sin x, cos2x, sin 2x, K, cos nx, sin nx на промежутке [-, ]), откуда n 2 2 (2) ( T (x)dx = 2P2 + pk + qk ).

k=Подставим (1) и (2) в выражение для rn. Получим rn = [f (x) - 2 f (x)T(x) + T (x)]dx = n n 2 2 = f (x)dx + 2P2 + pk + qk ) - 22PA + pkak + qkbk ) ( ( k=1 k= n rn = f (x)dx + 2(P - A)2 + pk - ak )2 + (qk - bk )[( ] k=n. (3) -2A2 +2 + bk ) (ak k=В выражении (3) для rn от P, pk, qk зависят только подчеркнутые члены. Эти члены неотрицательны и обращаются в нуль лишь тогда, когда P = A, pk = ak, qk = bk, k = 1, 2,K, n, т. е. тогда, когда T(x) оказывается n -й частичной суммой ряда Фурье функции f (x).

Итак, доказана Теорема Тёплера. Пусть функция f (x) R [-, ]. Из всех тригономет( ) рических многочленов порядка не выше n наименьшее среднее квадратическое отклонение от функции f (x) имеет n -я частичная сумма ее ряда Фурье:

n Sn(x) = A + cos kx + bk sin kx).

(ak k= При этом упомянутое отклонение n = f (x) - Sn(x) dx (через n [] обозначено rn в этом случае) может быть записано и так:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.