WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

I. В этом случае можно, в частности, положить g(x) = f (-x), x [-, 0). (5) При этом будет:

g(-0) = f (0); g(-) = f (). (6) y При таком выборе «дополнительной» y = f (x) функции g(x) «составная» функция y = g(x) F(x) оказывается четной и будет, следовательно, разлагаться в ряд Фуx рье по косинусам. Принимая во вни- мание замечание 1, будем иметь для Рис. 1.9. График функции y = F(x) всех x [0, ]:

f (x) = A + cos nx, (7) an n=причем здесь A = F(x)dx = f (x)dx, an = F(x)cos nx dx = f (x)cos nx dx, n = 1, 2,K, так как F(x) = f (x) для x [0, ].

II. В случае, когда a = 0, можно также, в частности, положить g(x) = - f (-x), x [-, 0).

При таком выборе «дополнительной» функции g(x) «составная» функция F(x) будет разлагаться в ряд Фурье по синусам. Это разложение будет справедливо, вообще говоря, лишь для x (0, ), т. е. получим f (x) = sin nx, x (0, ), (8) bn n=причем здесь bn = F(x)sin nxdx = f (x)sin nxdx.

Ряд, стоящий в правой части равенства (8), сходится и при x = 0 и при x =.

y Его сумма S(x) в этих точках равна y = f (x) нулю. Заметим, что если функция f (x), заданная на промежутке [0, ], такая, что f (0) = 0 и x f () = 0, то разложение (8) будет y = g(x) верно в замкнутом промежутке [0, ]; если же f (0) = 0, а f () 0, то разложение (8) будет Рис. 1.10. График функции y = F(x) верно в [0, ).

Пример. Пусть f (x) = x2, x [0, ], разложена в ряд Фурье по синусам (значит, g(x) =-x2, x [-, 0)).

Пусть S(x) – сумма ряда. Здесь f (0) = 0 ; f () = 2( 0). Равенство x2 = S(x) верно при 0 x <. S() = g(-) + f () -2 + 2 0 ).

( S() = = = y y y= f (x) - x x y = g(x) -4 -3 -2 - 2 3 4 5 Рис. 1.11. График функции y = F(x) Рис. 1.12. График функции y = S(x) §7. Сдвиг основного промежутка Отметим, что основная теорема и ее обобщение, установленные для случая, когда функция f (x) была задана на промежутке [-, ], целиком переносятся на тот случай, когда функция f (x) задается на каком-нибудь другом промежутке [a, a + 2] той же длины 2.

Только в этом случае, вычисляя коэффициенты Фурье A, an, bn в качестве пределов интегрирования следует брать концы промежутка [a, a + 2].

Пример. Разложить в ряд Фурье в промежутке [0, 2] функцию f (x) = x.

Видим, что f (x) в промежутке [0, 2] удовлетворяет условиям основной теоремы. Находим коэффициенты Фурье этой функции:

2 1 1) A = f (x)dx = x dx =.

2 0 2 2 11 2) an = f (x)cos nx dx = x cos nx dx = xd(sin nx) = n 0 0 1 = xsin nx - nx dx = 0, n = 1, 2,K.

0 sin n 4 124 4 = = 2 2 11 3) bn = f (x)sin nx dx = xsin nx dx = - xd(cos nx) = n 0 0 1 =- x cos nx 0 cos nx dx =- 2, n = 1, 2,K.

n n = Получаем, таким образом:

1) для x (0, 2) :

sin 2x sin3xsin nx x = - 2 sin x + + + K + + K ; (1) 1 2 3 n 2) сумма S(x) ряда, стоящего в правой части (1), на концах промежутка, т. е. при x = 0 и при x = 2, равна:

f (0) + f (2) 0 + = =.

2 y y y=x x x 0 2 -4 -2 2 4 Рис. 1.13. График Рис. 1.14. График функции y = S(x) функции y = f (x) §8. Растяжение основного промежутка Пусть функция f (x) R [-l, l], где l > 0 – любое конечное число. Заме( ) lz тим, что если z -, ], то -l, l]. Поэтому, если сделать замену, поло[ [ lz lz жив = x, то мы получим функцию f, т. е. функцию аргумента z, за данную в промежутке [-, ].

Ясно, что:

lz 1) если f (x) R [-l, l], то f R [-, ] ;

( ) () lz 2) если f (x) непрерывна на промежутке [-l, l], то f непрерывна на промежутке [-, ];

3) если у функции f (x) на промежутке [-l, l] существует конечная произlz водная f (x), то у функции f существует конечная производная на про межутке [-, ], и т. д.

lz К функции f, заданной в промежутке [-, ], применима предыдущая теория (т. е. основная теорема и ее обобщение). Так, предполагая, например, lz функцию f дифференцируемой в промежутке [-, ], будем иметь для всех z (-, ) :

lz f = A + cos nz + bn sin nz), (1) (an n=где 1 lz 11 lz lz A = f dz; an = f cos nz dz; bn = f sin nz dz, - - n = 1, 2,K.

Ряд, стоящий в правой части (1), сходится и на концах промежутка; его сумма в точках z =-, z =, равна:

lz + f lz f f (-l) + f (l) z=- z= =.

x Вернемся теперь к прежней переменной, т. е. положим z = (ясно, что есl ли z -, ], то x [-l, l]). Будем иметь тогда вместо (1) для всех x (-l, l):

[ nx nx f (x) = A + cos + bn sin. (2) an l l n=x Формулы для коэффициентов A, an, bn подстановкой z = приводятся к виl ду l l l 1 11 nx nx A = f (x)dx; an = f (x)cos dx; bn = f (x)sin dx, 2l l l l l -l -l -l n = 1, 2,K.

Сумма S(x) ряда (2) в точках x = -l ; x = l будет равна сумме ряда (1) в точках f (-l) + f (l) z =-, z =, а, следовательно, равна.

Отметим также, что S(x + 2l) S(x).

функцию Пример 1. Разложить в ряд Фурье в промежутке, - 2 f (x) = x cos x.

Имеем здесь: [-l, l] =, l =.

- 2 2 f (-x) = -x cos(-x) =-x cos x = - f (x) f (x) – нечетная функция. Значит, A = 0; an = 0, n = 1, 2, 3,K ;

l 2 nx bn = f (x)sin dx = x cos xsin 2nx dx = l l = x sin(2n +1)x + sin(2n -1)x dx = [] =- xdcos(2n +1)x + cos(2n -1)x dx = 2n +1 2n - x= cos(2n +1)x cos(2n -1)x=- x + 2n +1 2n -1 x=0 + = cos(2n +1)x cos(2n -1)x + + 2n +1 2n -1 dx = x= () () sin(2n +1)x sin(2n -1)x2 sin n + sin n - 2 = + = + = (2n +1)2 x=0 (2n +1)2 (2n -1)(2n -1) 2 (-1)n (-1)n (-1)n -8n (-1)n+1 16n = = =.

(2n +1)2 (2n -1)2 (4n2 -1)2 (4n2 -1) = f и Так как f - f (0) = 0, то для всех x -, будем иметь 22 2 n+x cos x = sin ((-1) n 2nx.

4n2 -1)n=Замечание. Всё установленное в §8 для функции f (x), заданной на промежутке [-l, l], целиком переносится на тот случай, когда функция f (x) задается на каком-нибудь другом промежутке [a, a + 2l] той же длины 2l. Только в этом случае, вычисляя коэффициенты Фурье A, an, bn, в качестве пределов интегрирования y следует брать концы промежутка [a, a + 2l].

Пример. Разложить в ряд Фурье в промежутке x [0, 3] функцию 1 2 x, если 0 x 1;

1, Рис. 1.15. График функции f (x) = если 1< x < 2;

y = f (x) 3- x, если 2 x 3.

В этом примере имеем 2l = 3 l =.

2l 2 1 A = f (x)dx = x dx + dx + 1 (3- x)dx = 2l 0 1 1 x2 x 2 x2 ;

=+ + -= 3x 3 2 2l 1 nx an = f (x)cos dx = l l 1 2nx 2 2nx = x cos dx + cos 3 dx + (3- x)cos 2nx dx = 3 3 1 2 3 2nx1 9 2nx 3 2nx= cos + sin 2n x sin 3 +2n 3 + 4n22 0 0 9 2nx 3 2nx3 9 2nx+ sin - x sin - = cos 2n 3 2n 4n22 2 2 2 3 2n 9 2n 9 3 4n = + sin 2n sin 3 - 0 + 4n22 cos 3 4n22 2n 3 2n 9 4n 6 4n 9 9 4n - sin - sin + sin - cos.

+ 2n 3 2n 3 2n 4n22 4n22 4n 2n = cos 2n Так как cos = cos2n -, то получаем:

3 3 2n 4 cos 2n =- 3 1- cos, n = 1, 2,K.

an = -4n22 3 2 n2l 1 nx bn = f (x)sin dx = l l 1 2nx 2 2nx = xsin dx + sin 3 dx + (3- x)sin 2nx dx = 3 3 1 2 3 2nx 9 2nx 3 2nx= - cos -2n x cos 3 + sin 3 4n22 3 0 2n 0 9 2nx 3 2nx 9 2nx - cos - - x cos + = sin 2n 3 2n 4n22 3 2 3 2n 9 2n 3 4n 3 2n = - cos + 4n22 sin 3 - 2n cos 3 + 2n cos 3 3 2n 9 9 4n 9 6 4n 9 4n - + cos + - cos + sin = 2n 2n 3 2n 2n 4n22 2 sin 2n sin 4n.

= + 3 4n22 4n 2n 2n =-sin 2n, то bn = 0, Так как sin = sin - n = 1, 2, 3,K.

3 3 У нас f (x) C [0, 3] и f (0) = f (3). Поэтому для всех x [0, 3] будет ( ) 2n 1- cos 2 3 2nx f (x) = - cos.

2 n=1 n2 y x -4 - 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 Рис. 1.16. График функции y = S(x) §9. Интеграл Фурье I. Наводящие соображения.

Пусть функция f (x) задана на всей оси, т. е. в промежутке (-, + ) и не является периодической. Пусть всюду в промежутке (-, + ) она имеет конечную производную f (x). Пусть, наконец, функция f (x) такая, что + f (x) dx сходится. Выберем и закрепим какую-нибудь точку x. Всегда мож но указать число l столь большое, что выбранное x будет удовлетворять условию: -l < x < l. Так как f (x) в промежутке [-l, l] удовлетворяет условиям основной теоремы (см. теорию рядов Фурье), то в выбранной точке x будет:

nx nx f (x) = A + cos + bn sin, (1) an l l n=где l l l 1 11 nt nt A = f (t)dt, an = f (t)cos dt, bn = f (t)sin dt, n = 1, 2,K.

2l l l l l -l -l -l Имеем:

l + Q 1 A f (t) dt f (t) dt =. (2) 2l 2l 2l -l + Здесь через Q обозначена величина несобственного интеграла f (t) dt ; Q – + конечное число, ибо по условию f (t) dt сходится. Из (2) следует, что A при l +. Будем считать l весьма большим. Тогда A весьма мало, и потому nx nx.

f (x) cos + bn sin (3) an l l n=Подставив в (3) вместо an и bn их выражения, будем иметь l f (x) (4) 1 f (t) cos nt cos nx + sin nt sin nx dt.

l l l l l n=-l (У нас x – закрепленное число, поэтому множители, зависящие от x, вносим nt nx nt nx n под знак интеграла.) Так как cos cos + sin sin = cos (t - x), l l l l l то приближенное равенство (4) примет вид l f (x) (5) 1 f (t)cos n (t - x)dt.

l l n=-l n Заметим что интегралы f (t)cos (t - x)dt, n = 1, 2,K, сходятся, ибо l + n f (t)cos (t - x) f (t), а f (t) dt сходится. Поскольку l велико, то без l l n большой ошибки вместо f (t)cos (t - x)dt можно брать l -l + n f (t)cos (t - x)dt. А тогда вместо (5) будем иметь l f (x) (6) 1 f (t)cos n (t - x)dt.

l l n=Введем в рассмотрение функцию F(z) = f (t)cos z(t - x)dt. (7) F(z) – непрерывная функция аргумента z (подынтегральная функция в (7) – непрерывная функция аргументов t и z ; интеграл, стоящий в правой части (7), сходится равномерно относительно z, ибо f (t)cos z(t - x) f (t), а + f (t) dt сходится). Положим 2 3 n z0 = 0; z1 = ; z2 = ; z3 = ; K; zn = ; K.

l l l l n Тогда F(zn ) = f (t)cos (t - x)dt, и (6) может быть записано в виде l f (x) F(zn ). (8) l n= zn Имеем zn = zn - zn-1 = = и, следовательно, вместо (8) будем l l иметь f (x) ) zn. (9) F(zn n=Сумма, стоящая в правой части (9), – вроде «интегральной суммы Римана» и + при больших l она должна быть близка к интегралу F(z)dz (чем больше l, тем мельче дробление). Таким образом, приходим к выводу: приближенное равенство + f (x) F(z)dz (10) тем точнее, чем больше l. Но так как ни левая, ни правая части этого приближенного равенства от l не зависят, то оно точное, т. е.

+ + f (x) = F(z)dz f (x) = dz f (t)cos z(t - x)dt. (11) 00 (11) – интегральная формула Фурье.

II. Строгая теория.

Лемма. Пусть:

1) функция (t) определена в промежутке [0, + ) и непрерывна там;

+ 2) сходится (t) dt ;

(t) - (0) 3) сходится dt.

t Тогда + sin at lim (t) dt = (0). (12) t a+ + sin at Покажем сначала, что J(a) = (t) dt сходится при любом a. Ви t дим, что у несобственного интеграла J(a) две особые точки: t = 0 и t = +.

Поэтому представляем J(a) в виде:

1 + sin at J(a) = (t) dt.

(t) sin at dt + t t 0 14 3 4244 =J1 =JРассмотрим J1. У него точка t = 0 – единственная особая точка. Имеем sin at lim (t) = a (0) – конечное число при любом a. Значит, подынтеt t+гральная функция в J1 – ограниченная в правой полуокрестности точки t = 0.

Следовательно, J1 сходится при любом a.

Рассмотрим J2. У него точка t = + – единственная особая точка. Имеем:

+ sin at если t 1, то (t) (t) при любом a. По условию (t) dt сходится t + (t) dt сходится, а, следовательно, J2 сходится при любом a. Общий вывод: J(a) сходится при любом a.

+ Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое. По условию, (t) dt схо дится. Значит, он представляет собой некоторое конечное число. Поэтому можно выбрать число M > 0 столь большим, чтобы было:

+ (t) dt <. (13) M Представим интеграл J(a) в виде:

M + sin at J(a) = (t) dt = (t) sin at dt + t t 0 M MM + (t) - (0) sin at sin at = sin at dt + (0) dt + (t) dt.

t t t 00 M ~ Во втором интеграле справа сделаем замену at = t. Получим MaM aM ~ sin at sin t ~ sin t dt = dt ( = dt, так как переменную интегрирования ~ t t t 00 можно обозначать любой буквой). А тогда J(a) запишется в виде M + aM (t) - (0) sin at sin t J(a) = sin at dt + (t) dt + (0) dt. (14) t t t M + aM + sin t sin t sin t Так как = dt = dt + dt, то 2 t t t 00 aM aM + sin t sin t (0) = (0) dt + (0) dt.

2 t t 0 aM Поэтому M ++ (t)-(0) sin at sin t J(a)-(0) = sin at dt + (t) dt -(0) dt. (15) 2 t t t 0 M aM Произведем оценку каждого из трех членов правой части (15).

1) Имеем M 1 M (t) - (0) (t) - (0) (t) - (0) dt = dt + dt t t t 1442443 (сходится по условию) (собственный интеграл) M (t) - (0) dt сходится. А тогда по обобщенной теореме Римана – Лебе t га M (t) - (0) lim sin at dt = 0.

t a+ Последнее означает, что взятому > 0 отвечает число A1 > 0 такое, что как M (t) - (0) только a > A1, так сейчас же sin at dt <.

t + + + (t) 2) Имеем (t)sin at dt dt < (t) dt < (см. (13)).

t M M MM + + sin t sin t 3) Известно, что dt сходится. Значит, lim dt = 0. Следова t t a+ aM aM тельно, взятому числу >0 отвечает число A2 > 0 такое, что как только + sin t a > A2, так сейчас же (0) dt <. Положим A = max{A1, A2}. Тогда t aM при a > A будем иметь J(a) - (0) <. Последнее означает, что J(a) (0).

a+ Теорема. Пусть:

1) функция f (x) определена и непрерывна на промежутке (-, + );

+ 2) f (x) такая, что f (x) dx сходится.

Тогда в каждой точке x (-, + ), в которой сходится интеграл f (x + t) + f (x - t) - 2 f (x) dt, справедливо равенство:

t + + f (x) = dz f (t)cos z(t - x)dt. (16) 0 Рассмотрим функцию: f (t)cos z(t - x). Это непрерывная функция аргументов t и z ( x здесь закреплено; это та точка, для которой устанавливается + формула (16)). Так как f (t)cos z(t - x) f (t) и так как f (t) dt сходится, + то f (t)cos z(t - x)dt = F(z) сходится равномерно относительно z. Таким образом, приходим к заключению, что F(z) – непрерывная функция параметра z и ее можно интегрировать по z на любом конечном промежутке под знаком интеграла, т. е.

aa + + a F(z)dz = dz f (t)cos z(t - x)dt = f (t) z(t - x)dz dt, cos 00 - - или a + + dz f (t)cos z(t - x)dt = f (t)sin a(t - x) dt. (17) t - x 0 - + x + Интеграл, стоящий в правой части (17), разобьем по схеме = + и заме - - x x + ним t на x - t1 в интеграле и t на x + t1 в интеграле. Тогда равенство - x (17) примет вид:

a + + sin at dz f (t)cos z(t - x)dt = f (x + t1) + f (x - t1) dt1. (18) [] t0 - К правой части (18) можно применить лемму, положив f (x + t1) + f (x - t1) = (t1).

Заметим, что функция (t1) удовлетворяет условиям леммы. В самом деле:

1) (t1) определена и непрерывна на промежутке [0, + ), ибо функция f определена и непрерывна на промежутке (-, + );

+ + 2) (t1) dt1 = f (x + t1) + f (x - t1) dt1 – сходится, ибо 0 + + + f (x + t1) + f (x - t1) dt1 f (x + t1) dt1 + f (x - t1) dt1 < +;

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.