WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

[] ~ sin t ~ a, то точки x - 2~ и x + 2~ попадают в промежуток Если t 0, t t [x - a, x + a] и, следовательно, a sin(2n +1)~ ~ t f (x + 2~) + f (x - 2~) dt = t t [] ~ sin t a sin(2n +1)~ ~ t = t t g(x + 2~) + g(x - 2~) dt.

[] ~ sin t А тогда Sn( f, x) - Sn(g, x) = n(x) - n(x). Но n(x) 0 ; n(x) 0.

n n Значит, Sn( f, x) - Sn(g, x) 0.

n §4. Проблема разложения функции в ряд Фурье 1°. Пусть функция f (x) R2. Составим ряд Фурье функции f (x) и рассмотрим частичную сумму Sn(x) этого ряда при закрепленном x. Мы знаем, что sin(2n +1)t Sn(x) = f (x + 2t) + f (x - 2t) dt, (1) [] sin t sin(2n +1)t 1 = 2 dt. (2) sin t Пусть A – некоторое постоянное число. Умножим обе части (2) на число A и вычтем из (1) соответствующие части получившегося равенства. Получим sin(2n +1)t Sn(x) - A = f (x + 2t) + f (x - 2t) - 2A dt. (3) [] sin t Из (3) видно: для того, чтобы ряд Фурье функции f в точке x сходился и имел своей суммой число A, необходимо и достаточно, чтобы было f (x + 2t) + f (x - 2t) - 2Asin(2n +1)t dt = 0.

lim (4) sin t n Из обобщенной теоремы Римана – Лебега следует, что соотношение (4) заведомо выполняется, если только существует интеграл f (x + 2t) + f (x - 2t) - 2A dt. (5) sin t Так как sin t ~ t при t 0, то интеграл (5) существует, если существует интеграл f (x + 2t) + f (x - 2t) - 2A f (x + t) + f (x - t) - 2A dt, или dt (6) t t 0 (здесь заменили 2t на t ).

Таким образом, доказана теорема (признак Дини).

Признак Дини. Пусть функция f (x) R2. Если в некоторой точке x ока f (x + t) + f (x - t) - 2A зывается, что существует интеграл dt, где A – неко t торое постоянное число, то в этой точке x ряд Фурье функции f сходится и имеет своей суммой число A.

Замечание 1. В признаке Дини вместо существования интеграла можно a a говорить о существовании интеграла, где a > 0, ибо интегралы и схо 0 0 дятся или расходятся одновременно.

f (x + t) + f (x - t) - 2A Замечание 2. Интеграл dt не может существо t вать при двух различных значениях A.

Предположим противное, а именно, допустим, что наш интеграл сходится при A = A1 и при A = A2, где A1 A2. Имеем:

A1 - A2 f (x + t) + f (x - t) - 2A2 f (x + t) + f (x - t) - 2A= - t 2t 2t A1 - A2 f (x + t) + f (x - t) - 2A2 f (x + t) + f (x - t) - 2A +.

t 2t 2t Если наше предположение верно, то получаем, что должен сходиться интеграл A1 - Adt, а это не так.

t Следствия признака Дини.

I. Пусть:

1) f (x) R2 ;

2) f (x) имеет в некоторой точке x конечную производную f (x).

Тогда ряд Фурье функции f в этой точке x сходится и имеет своей суммой f (x) (т. е. в этой точке x наша функция f разлагается в ряд Фурье).

Утверждение пункта I будет доказано, если показать, что существует (т. е. сходится) интеграл f (x + t) + f (x - t) - 2 f (x) dt. (7) t Видим, что точка t = 0 есть единственная особая точка для несобственного интеграла (7). (В этой точке подынтегральная функция не определена.) Имеем:

f (x + t) + f (x - t) - 2 f (x) lim = t t+f (x + t) - f (x) f (x - t) - f (x) = lim - (x) - f (x) = = f t -t t+ подынтегральная функция в (7) является ограниченной в правой полуокрестности точки t = 0. Значит, несобственный интеграл (7) сходится.

II. Пусть:

1) f (x) R2 ;

2) в некоторой точке x существуют конечные односторонние производные f+(x) и f-(x).

Тогда ряд Фурье этой функции в упомянутой точке x сходится и имеет своей суммой f (x). (Значит, и в такой точке x наша функция f разлагается в ряд Фурье.) Как и в случае I, достаточно убедиться в ограниченности функции f (x + t) + f (x - t) - 2 f (x) в правой полуокрестности точки t = 0. А это слеt дует из того, что f (x + t) + f (x - t) - 2 f (x) f (x + t) - f (x) f (x - t) - f (x) lim = lim - = t t -t t+0 t+= f+(x) - f-(x) есть конечное число.

III. Пусть:

1) f (x) R2 ;

2) в некоторой точке x существуют следующие четыре конечных предела:

а) f (x + 0), б) f (x - 0), f (x + t) - f (x + 0) f (x - t) - f (x - 0) в) lim =, г) lim =.

t -t t+0 t+Тогда ряд Фурье этой функции в упомянутой точке x сходится и имеет своей f (x - 0) + f (x + 0) суммой.

Как и выше, достаточно убедиться в ограниченности функции f (x + t) + f (x - t) - f (x + 0) - f (x - 0) в правой полуокрестности точки t t = 0. А это следует из того, что f (x + t) + f (x - t) - f (x + 0) - f (x - 0) lim = t t+f (x + t) - f (x + 0) f (x - t) - f (x - 0) lim - - = t -t t+– конечное число.

2°. Случай периодической функции.

В пункте 1° мы предполагали, что функция f (x) – периодическая с периодом 2. Откажемся теперь от этого предположения.

Основная теорема. Пусть функция f (x) задана в промежутке [-, ] и в каждой точке этого промежутка имеет конечную производную f (x) (здесь уже f (x) R2 ). Тогда ряд Фурье функции f (x) сходится в промежутке [-, ], и его сумма S(x) такова:

f (x), если x (-, );

S(x) = f (-) + f (), если x =±.

(Теорема устанавливает разложимость функции f (x) в ряд Фурье в промежутке (-, ), а также сходимость этого ряда в точках x = -, x =.) Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g(x), определив ее на всей вещественной оси следующим образом:

g(x) = f (x), если x [-, );

g(x + 2) g(x).

y y y = g(x) y = f (x) x x - -3- 3 График функции y = f (x) График функции y = g(x) Рис. 1.Заметим, что функция g(x) R2. Поэтому к ней применима вся предыдущая теория.

Отметим также, что ряд Фурье для функции g(x) совпадает с рядом Фурье для функции f (x), ибо совпадают соответствующие коэффициенты этих рядов. В самом деле, имеем, например, an( g) = g(t)cos nt dt; an( f ) = f (t)cos nt dt, n = 1, 2,K.

- У нас g(t) = f (t) в [-, ). Отсюда заключаем, что an( g) = an( f ), ибо изменение значения подынтегральной функции в одной точке не изменяет величину интеграла.

а) Возьмем любую точку x (-, ) и закрепим ее. Ясно, что g(x) = f (x).

Всегда можно указать окрестность точки x : u(x) такую, что u(x) (-, ).

Взятому x дадим приращение x – любое, но такое, что x 0 и точка x + x u(x). Имеем g(x + x) - g(x) f (x + x) - f (x) = x x g(x + x) - g(x) f (x + x) - f (x) lim = lim = f (x).

x x x0 xОтсюда заключаем, что существует конечная производная g(x), причем g(x) = f (x). А тогда, по следствию I признака Дини, ряд Фурье функции g(x) (а значит, и функции f (x)) сходится в точке x и имеет своей суммой g(x) (а значит, f (x)).

б) Пусть теперь x =. Покажем, что в этой точке выполняются условия следствия III признака Дини. Действительно, имеем:

1) g( - 0) = lim g(t) = lim f (t) = f () существует, конечный;

t-0 t-2) g( + 0) = lim g(t) = lim g( + t) = lim g(- + t) = lim f (- + t) = t+0 t+0 t+0 t+= f (-) существует, конечный;

g( + t) - g( + 0) g(- + t) - f (-) 3) lim = lim = t t t+0 t+f (- + t) - f (-) = lim = f+(-) существует, конечный;

t t+g( - t) - g( - 0) f ( - t) - f () 4) lim = lim = f-() существует, ко-t -t t+0 t+нечный.

А тогда ряд Фурье функции g(x) (а значит, и функции f (x)) в рассматриваемой точке x = сходится и имеет своей суммой g( - 0) + g( + 0) f () + f (-) =.

Совершенно аналогично устанавливается сходимость ряда Фурье функции f (-) + f () f (x) к сумме в точке x = -.

Замечание 1. Если, в частности, f (-) = f (), то функция f (x) разлагается в ряд Фурье в замкнутом промежутке [-, ].

Замечание 2. Так как члены ряда Фурье есть функции периодические с периодом 2, то и его сумма S(x) является периодической с периодом 2, т. е.

S(x + 2) = S(x), x (-,+).

Замечание 3. Основная теорема допускает следующее обобщение (оно доказывается аналогичными рассуждениями).

Пусть f (x) R [-, ]. Тогда:

() 1) в каждой точке x (-, ), в которой существуют четыре конечных предела:

а) f (x - 0), б) f (x + 0), f (x + t) - f (x + 0) f (x - t) - f (x - 0) в) lim, г) lim, t -t t+0 t+f (x - 0) + f (x + 0) ряд Фурье функции f (x) сходится и имеет своей суммой: ;

2) ряд Фурье функции f (x) сходится в точках x = -, x = к сумме f (- + 0) + f ( - 0), если существуют четыре конечных предела:

а) f (- + 0), б) f ( - 0), f (- + t) - f (- + 0) f ( - t) - f ( - 0) в) lim, г) lim.

t -t t+0 t+Заметим, что если точка x (-, ) является точкой непрерывности функции f (x), то в этой точке f (x - 0) = f (x), f (x + 0) = f (x) и, следовательно, f (x - 0) + f (x + 0) y = f (x).

Пример. Пусть 0, если x -, 0);

[ 2, f (x) = если x = 0;

x 1, если x (0, ]. Видим, что f (x) R [-, ]. Найдем () Рис. 1.2. График функции y = f (x) коэффициенты Фурье этой функции.

0 1 1 A = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 0 dx + 1 dx = 1 ;

2 2 2 - - 0 - an = f (x)cos nxdx = 0 cos nxdx + 1 cos nxdx = 0, n = 1, 2,K ;

- - bn = f (x)sin nxdx = 0sin nxdx + 1sin nxdx = - - 0, если n - четное;

=- cos nx =1- (-1)n bn = n n n, если n - нечетное.

Получаем, следовательно:

1) Для x (-, 0) U (0, ):

sin(2n -1)x 1 2 sin x sin3x sin5x f (x) = + +3 +5 + K + 2 1 2n -1+ K ;

2) Сумма S(x) ряда Фурье в точке x = 0 равна:

f (-0) + f (+0) 0 +1 S(0) = = =.

2 2 3) Сумма S(x) ряда Фурье в точках x = -; x = равна:

f (-) + f () 0 +1 S(±) = = =.

2 2 y 1 2 x -3 - 2 - 2 Рис. 1.3. График функции y = S(x) §5. Ряды Фурье четных и нечетных функций I. Пусть f (x) R [-, ] и f (x) – четная. Найдем выражения для коэф() фициентов Фурье в этом случае. Имеем:

1 A = f (x)dx = f (x)dx, (1) { - четн. (2) an = f (x)cos3 = f (x)cosnxdx, n = 1, 2,K, nxdx { четн.

- четн. четн.

(3) bn = f (x)sin3 dx = 0, n = 1, 2,K.

nx { нечетн.

- четн.

нечетн.

Таким образом, доказана теорема.

Пусть:

1) f (x) R [-, ], () 2) f (x) – четная.

Ряд Фурье такой функции не содержит синусов кратных дуг, т. е.

f (x) ~ A + cos nx, an n=причем коэффициенты A, an ( n = 1, 2,K ) можно вычислить по формулам:

A = f (x)dx; an = f (x)cos nx dx.

II. Пусть f (x) R [-, ] и f (x) – нечетная. Для коэффициентов Фурье () функции f (x) в этом случае будем иметь:

A = f (x)dx = 0, (4) { - нечетн.

(5) an = f (x)cos3 dx = 0, n = 1, 2,K, nx { четн.

- нечетн.

нечетн.

(6) bn = f (x) nxdx = f (x)sin nxdx, n = 1, 2,K.

{sin нечетн.

- нечетн. четн.

Следовательно, доказана теорема.

Пусть:

1) f (x) R [-, ], () 2) f (x) – нечетная.

Ряд Фурье такой функции не содержит свободного члена и косинусов кратных дуг, т. е.

f (x) ~ sin nx, bn n=причем коэффициенты bn ( n = 1, 2,K ) можно вычислить по формуле:

bn = f (x)sin nx dx.

Пример 1. Пусть f (x) = x, x [-, ]. Видим, что для этой функции выполнены условия основной теоремы. Кроме того, замечаем, что f (-x) = - f (x), т. е. f (x) – нечетная. Поэтому A = 0; an = 0 ( n = 1, 2,K );

22 bn = x sin nx dx = - x d cos nx = -- nx dx = xcosnx cos n n 00 = 22 =- cos n =- (-1)n = (-1)n+1.

n nn Получаем, следовательно:

1) Для x (-, ):

sin 2x sin3x sin nx x = 2 sin x - + - K + (-1)n+1 + K.

1 2 3 n 2) Сумма S(x) ряда Фурье в точках x = -; x = равна:

f (-) + f () - + S(±) = = = 0.

Изобразим графически y = x и y = S(x).

y y x x - -- 3 Рис. 1.4. График функции Рис. 1.5. График функции y = S(x) y = f (x) Пример 2. Пусть f (x) = x2, x [-, ].

Видим, что для этой функции выполнены условия основной теоремы. Замечаем, далее, что f (-x) = f (x), т. е. f (x) – четная. Поэтому bn = ( n = 1, 2,K ).

1 A = x2dx =.

22 an = x2 cos nx dx = x2d sin nx = x2 sin nx - 2 x sin nx dx = n n 4 0 0 124 = = xd cosnx = x cos nx cosnx dx = 4 = (-1)n n2 n2 n2 cos n n 0 4 = (n = 1, 2,K ).

Получаем, следовательно, 2 cos2x cos3x x2 = - 4 cos x - + - K + (-1)n-1 cos nx + K. (7) 12 22 32 nОтметим, что равенство (7) верно для всех x [-, ], ибо f (-) = f ().

Изобразим графически y = x2 и y = S(x).

y y x x - - -5 -3 3 Рис. 1.6. График функции Рис. 1.7. График функции y = S(x) y = f (x) Положим в равенстве (7) x =. Получим:

2 1 1 11 2 2 2.

2 = + 4 1 + + + K + + K = - = 3 12 22 32 nn2 4 12 n=Итак, 1 1 1 1 + + + K + + K =. (8) 12 22 32 n2 Найдем сумму ряда 1 1 1 + + + K + + K. (9) 12 32 52 (2n -1)Для этого подсчитаем сначала сумму ряда 1 1 + + + K +1 + K. (10) 22 42 62 (2n)Имеем:

(8) 1 1 1 1 1 1 1 11 2 + + + K +1 + K = + + + K + + K = =.

22 42 62 (2n)2 4 12 22 32 n2 4 6 Но тогда 1 1 1 1 2 2 + + + K + + K = - =.

12 32 52 (2n -1)2 6 24 §6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в «неполном» промежутке Пусть функция f (x) задана в промежутке [a, ], где - < a <, непрерывна там и имеет конечные f+(x), f-(x). Выберем произвольную функцию g(x), заданную в промежутке [-, a), непрерывную там и имеющую конечные g+(x), g-(x). Пусть, кроме того, функция g(x) такая, что существуют конеч g(x) - g(a - 0) ные пределы: g(a - 0) = lim g(x); lim. Введем в рассмотx - a xa-0 xa-рение «составную» функцию F(x), положив:

f (x), если x [a, ], F(x) = (1) g(x), если x -, a).

[ К функции F(x) уже применима предыдущая теория (основная теорема и ее обобщение). Согласно этой теории, для всех x [-, ], кроме, быть может, точек: x = a, x =-, x =, будет F(x) = A + cos nx + bn sin nx). (2) (an n=В частности, для всех x (a, ) будет f (x) = A + cos nx + bn sin nx) (3) (an n=(ибо F(x) = f (x), x (a, ) ). Отметим, y что согласно той же теории, ряд, стояy = f (x) y = g(x) щий в правой части (3), сходится и при x = a и при x =, причем сумма его S(x) в этих точках такова:

g(a - 0) + f (a) S(a) = x ( f (x) задана и непрерывна справа в - a точке x = a ), Рис. 1.8. График функции y = F(x) g(-) + f () S() =.

Следует иметь в виду, что в правой части равенства (3) стоит ряд Фурье функции F(x). Поэтому a 1 A = g(x)dx + f (x)dx ;

F(x)dx = 2 - - a a an = F(x)cosnx dx = g(x)cosnx dx + f (x)cosnx dx, n =12,K; (4), - - a a bn = F(x)sin nxdx = g(x)sin nxdx + f (x)sin nxdx, n =12,K.

, - - a Замечание 1. Если «дополнительная» функция g(x) такая, что g(a - 0) = f (a), g(-) = f (), то разложение (3) будет верно во всем замкнутом промежутке [a, ].

Замечание 2. Из формул (4) видим, что коэффициенты A, an, bn ( n = 1, 2,K ) в ряде (3) зависят от g(x), а g(x) – произвольная функция. Поэтому существует бесчисленное множество тригонометрических рядов, представляющих нашу функцию f (x), заданную в «неполном» промежутке (напомним, что для функции f (x), заданной на промежутке [-, ] есть только один тригонометрический ряд, равномерно сходящийся, представляющий f (x) – это её ряд Фурье).

Рассмотрим случай, когда a = 0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.