WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.П. Аксёнов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.

СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ.

Учебное пособие Санкт-Петербург 1999 УДК 517.38, 517.3821 Аксёнов А.П. Математический анализ. (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирование расходящихся рядов.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 1999, 86 с.

Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика».

Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Ряды Фурье», «Интеграл Фурье», «Суммирование расходящихся рядов». Приведено большое количество примеров. Изложено применение методов Чезаро и Абеля – Пуассона в теории рядов. Рассмотрен вопрос о гармоническом анализе функций, заданных эмпирически.

Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия.

Ил. 20. Библ. 3 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Аксёнов Анатолий Петрович МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

Суммирование расходящихся рядов) Учебное пособие Лицензия ЛР № 065394 от 08.09.97 Подписано в печать..99. Формат 6084 1/16.

Объем п.л. Тираж. Заказ №.

Отпечатано в издательстве «НЕСТОР» 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ §1. Тригонометрические ряды Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на промежутке [a, b], называются взаимно ортогональными на этом промежутке, если b f (x) g(x)dx = 0. (1) a Лемма 1. Если n – целое число, то (2) sin nx dx = 0.

Если n = 0, то (2) очевидно.

Если n 0, то nx dx =-cos nx = 0.

sin n Лемма 2. Если n 0 – целое число, то (3) cos nx dx = 0.

cos nx dx = sin nx = 0.

n Теорема 1. Любые две функции системы:

1, cos x, sin x, cos2x, sin 2x, K, cos nx, sin nx, K (T) взаимно ортогональны на промежутке [-, ].

1) Ортогональность 1 и sin kx ( k = 1, 2,K) на промежутке [-, ] доказана в лемме 1.

2) Ортогональность 1 и cos kx ( k = 1, 2,K) на промежутке [-, ] доказана в лемме 2.

3) Ортогональность cos px и cosqx ( p = 1, 2,K ; q = 1, 2,K ; p q ) на промежутке [-, ] следует из того, что cos px cosqx = cos( p - q)x + cos( p + q)x [] и из леммы 2.

4) Ортогональность sin px и sin qx ( p = 1, 2,K ; q = 1, 2,K ; p q ) на промежутке [-, ] вытекает из того, что sin px sin qx = cos( p - q)x - cos( p + q)x [] и из леммы 2.

5) Ортогональность sin px и cosqx ( p = 1, 2,K ; q = 1, 2,K ) на промежутке [-, ] следует из того, что sin px cosqx = sin( p + q)x + sin( p - q)x [] и из леммы 1.

Теорема 2. Если n = 1, 2,K, то справедливы формулы (4) cos nx dx = sin nx dx =.

- 1) dx + cos nx dx = 1+ cos2nx dx = 1 cos2nx dx =.

2 2 - - - 14 = 0 (по лемме 2) 2) dx sin nx dx = 1- cos2nx dx = 1 cos2nx dx =.

2 2 - - - 14 = 0 (по лемме 2) Теорема 3. Пусть функция (x) – периодическая с периодом T = 2, т. е.

(x + 2) = (x), x (-,+ ), и (x) интегрируема на любом конечном промежутке. Тогда для любого конечного a a+2 (5) (x)dx = (x)dx, a т. е. интеграл от периодической функции, взятый по промежутку, длина которого равна периоду этой функции, имеет одно и то же значение независимо от положения промежутка на вещественной оси.

Имеем a+2 02 a+(x)dx = (x)dx + (x)dx + (x)dx.

a a 0 124 1 3 1 4 3 424 = J1 =J2 = JВ интеграле J3 сделаем замену, положив x = u + 2. Получим aa J3 = (u 2)du = (u)du, 4+ = (u) a+2 т. е. J3 =-J1. А тогда (x)dx = J2 = (x)dx.

a Следствие. В теоремах 1 и 2 промежуток [-, ] можно заменить промежутком [a, a + 2], где a – любое конечное число.

Определение. Бесконечный ряд вида A + (a1 cos x + b1sin x) + (a2 cos2x + b2 sin 2x) + K + (6) +(an cos nx + bn sin nx) + K называется тригонометрическим рядом.

Теорема 4. Если функция f (x) задана на промежутке [-, ] и разлагается в этом промежутке в тригонометрический ряд, сходящийся в [-, ] равномерно, то коэффициенты A, a1, b1, a2, b2, K этого ряда определяются однозначно.

По условию для всех x [-, ] имеем:

f (x) = A + (a1 cos x + b1sin x) + (a2 cos2x + b2 sin 2x) + K + (7) +(an cos nx + bn sin nx) + K, причем ряд, стоящий в правой части (7), сходится равномерно в [-, ]. Проинтегрируем обе части (7) по x от - до (так как члены ряда (7) непрерывны и ряд (7) сходится равномерно в [-, ], то его можно почленно интегрировать). Получим, приняв во внимание леммы 1 и 2:

f (x)dx = Adx + 0 f (x)dx = A - - A = f (x)dx. (8) Умножим обе части (7) на cos nx (это не нарушает равномерной сходимости ряда (7) в промежутке [-, ], ибо cos nx – функция ограниченная) и проинтегрируем полученное равенство по x от - до. В силу ортогональности системы (T) на промежутке [-, ], в правой части исчезнут все члены, кроме одного. Будем иметь, следовательно, f (x)cos nx dx = cos2 nx dx = an n a - an = f (x)cos nx dx (n = 1, 2,K ). (9) Аналогично, умножив обе части (7) на sin nx и интегрируя по x от - до, получим bn = f (x)sin nx dx (n = 1, 2,K ). (10) Итак, если функция f (x) на промежутке [-, ] разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то коэффициенты A, an, bn ( n = 1, 2,K ) определяются однозначно соответственно по формулам (8), (9), (10).

Определение. Пусть f (x) R [-, ]. Числа ( ) 1 1 A = f (x)dx, an = f (x)cos nx dx, bn = f (x)sin nx dx - - ( n = 1, 2,K ) называются коэффициентами Фурье функции f (x), а тригонометрический ряд (6) с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (x). Из доказательства теоремы 4 вытекает:

Теорема 5. Если функция f (x) на промежутке [-, ] разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд обязательно есть её ряд Фурье.

Замечание. Составить ряд Фурье можно для любой функции f (x) R [-, ]. Однако это вовсе не означает, что всякая такая функция () f (x) разлагается в ряд Фурье на промежутке [-, ], ибо составленный ряд может расходиться и может сходиться, но не к f (x).

Если ряд A + cos kx + bk sin kx) есть ряд Фурье для функции f (x), то (ak k=пишут f (x) ~ A + cos kx + bk sin kx).

(ak k=§2. Интеграл Дирихле Лемма. Справедливо тождество:

2n +sin + cos + cos2 + K + cos n =2. (1) 2sin Положим S = + cos + cos2 + K + cos n, откуда, умножив обе части на 2sin, находим:

S 2sin = sin + 2sin cos + 2sin cos2 + K + 2sin cos n.

22 2 2 Но 2sin Acos B = sin(B + A) - sin(B - A). Поэтому sin 3 - sin + sin 5 - sin 3 + K + S 2sin = sin + 22 22 2 2n +1 - sin 2n -1 S 2sin 2n + +sin = sin 2 2 2 2n +sin если 2k ( k = 0, ±1, ± 2,K ), то S =.

2sin Итак, тождество (1) установлено для 2k ( k = 0, ±1, ± 2,K ). Оно верно и для = 2k, если понимать его в этом случае в предельном смысле. В самом деле, имеем 1 1 2n +1;

1) lim + cos + cos2 + K + cos n = + n = 2 2 2k 2n +sin замена: = 2k +, 2) lim = 0, если 2k = 2k 2sin 2n +1 2n +1 2n +(-1)k(2n+1) sin sin 2n +2 2 = lim = lim = lim =.

0 0 2(-1)k sin 2sin 2 2 Пусть f (x) R [-, ]. Составим для этой функции её ряд Фурье и рас() смотрим частичную сумму Sn(x) этого ряда при закрепленном x. Имеем n Sn(x) = A + cos kx + bk sin kx). Подставим здесь вместо A, ak, bk их вы(ak k=ражения:

1 A = f (t)dt; ak = f (t)cos kt dt; bk = f (t)sin kt dt.

- - Получим:

n 1 Sn(x) = f (t)dt + f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt k=- n Sn(x) = f (t)1 + cos k (t - x) dt.

2 k=2n +1(t - x) n sin По лемме, +. Поэтому cos k (t - x) = 2 t - x k=1 2sin 2n +1(t - x) sin Sn(x) = f (t) dt. (2) 2 t - x sin (2) – сингулярный интеграл Дирихле.

Обозначим через R2 класс функций, которые заданы в промежутке (-; + ), интегрируемы в каждом конечном промежутке и имеют период 2.

Возьмем функцию f (x) R2 и преобразуем интеграл Дирихле такой функции (т. е. преобразуем частичную сумму Sn(x) ряда Фурье такой функции). Имеем 2n +1(t - x) sin Sn(x) = f (t) dt.

2 t - x sin Положим t = x + u ( x закреплено, u – новая переменная). Тогда -x 2n +1u sin Sn(x) = f (x + u) du.

2 u sin --x В этом интеграле промежуток интегрирования имеет длину ( - x - (- - x) = 2 ); подынтегральная функция – периодическая с периодом 2 (это легко проверить). По теореме 3 предыдущего параграфа промежуток интегрирования [- - x, - x] можно заменить любым промежутком, длина которого равна 2. Так что будем иметь, например, 2n +1u sin Sn(x) = f (x + u) du. (3) 2 u sin В интеграле (3) сделаем замену u = 2t1. Тогда sin(2n +1)t Sn(x) = f (x + 2t1) dt1. (4) sin t- Разобьем интеграл (4) на два интеграла по схеме 2 = +.

- 2 0 - { { =J1 =JВ интеграле J2 сделаем замену, положив t1 = -t2. Получим sin(2n +1)tJ2 = f (x - 2t2 ) dt2.

sin tМы знаем, что переменную интегрирования можно обозначать любой буквой.

Поэтому можно написать, например, 2 sin(2n +1)~ ~; sin(2n +1)~ ~ t t J1 = f (x + 2~) dt J2 = f (x - 2~) dt, t t ~ ~ sin t sin t 0 и, следовательно, для Sn(x) будем иметь окончательно sin(2n +1)~ ~ t Sn(x) = t t (5) f (x + 2~) + f (x - 2~) dt.

[] ~ sin t Итак, если функция f (x) R2, то частичная сумма Sn(x) ряда Фурье этой функции выражается формулой (5).

Частный случай. Пусть f (x) 1. Ясно, что f (x) R2, а потому частичная сумма Sn(x) ее ряда Фурье, в силу (5), будет выражаться так:

sin(2n +1)~ ~ t Sn(x) = 2 dt.

~ sin t n Но с другой стороны: Sn(x) = A + cos kx + bk sin kx), где для нашей (ak k=функции f (x) 1 будем иметь:

A = 1 dt = 1;

ak = 1 cos kt dt = 0 (k = 1, 2,K ); bk = 1 1sin kt dt = 0 (k = 1, 2,K ).

- Значит, Sn(x) = 1. Таким образом, получаем:

sin(2n +1)~ ~ t 1 = dt. (6) ~ sin t §3. Теорема Римана – Лебега Теорема. Пусть функция (t) R [a, b]. Тогда ( ) b lim (t)sin zt dt = 0. (1) z+ a Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое и разобьем промежуток [a, b] точками a = t0 < t1 < t2 < K < tn = b на столь малые части, чтобы оказалось:

n- (tk+1 - tk ) <. Здесь k – колебание функции (t) на промежутке k k=[tk,tk+1]. (Так сделать можно, ибо это – необходимое и достаточное условие интегрируемости функции (t) на промежутке [a, b].) Выбранный способ дробления промежутка [a, b] закрепим и менять не будем. Тогда, в частности, b закрепится и n. Наш интеграл J(z) = (t)sin zt dt запишется так:

a tk+n-1tk+1 n-1tk+1 n-J(z) = ) zt dt.

(tk (t)sin zt dt = [ (t) - (tk )]sin zt dt + sin k=0 k=0 k=tk tk tk Если t [tk,tk+1], то (t) - (tk ) k. Следовательно, tk+1 tk+ (t) - (tk ) sin dt k (tk+1 - tk ).

[ (t) - (tk )]sin zt dt 14 3 1 4244 2zt tk tk k Но тогда n-1tk+1 n- (tk+1 - tk ) <.

k [ (t) - (tk )]sin zt dt k=0 k=tk tk+n- Поэтому J(z) < + (tk ) sin ztdt. Функция (t) – ограниченная в k=tk [a, b], ибо (t) R [a, b]. Пусть M = sup (t). Тогда (tk ) M. Кроме ( ) [a, b] того, tk+cos ztk - cos ztk+.

sin zt dt = zz tk Значит, tk+n- (tk ) sin zt dt 2 M n z k=tk 2 M ( n – число слагаемых). Следовательно, J(z) < + n. Пусть z0 столь ве2 z 2 M лико, что при z > z0 оказывается: n < ( M и n – определенные числа).

z Но тогда при z > z0 будет: J(z) <. А это означает, что lim J(z) = 0.

z+ Замечание 1. Теорема Римана – Лебега допускает обобщение, а именно:

Пусть функция (t) определена в (a, b], интегрируема в каждом промеb жутке [, b], где a < b ; интеграл (t) dt существует уже как несобст a b венный. Тогда lim (t)sin zt dt = 0.

z+ a b Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое. По условию, (t) dt схо a b b дится. Это означает, что lim (t) dt = (t) dt, или что a+ a bb (t) dt - (t) dt 0 при a + 0 (t) dt 0 при a + 0.

a a Последнее означает, что взятому > 0 отвечает число 0 (a < 0 < b) такое, что при всяком, удовлетворяющем условию: a < < 0, будет:

(t) dt <. Выберем и закрепим какое-нибудь, удовлетворяющее усло a вию: a < < 0. Имеем:

b b J(z) = (t)sin zt dt = (t)sin zt dt + (t)sin zt dt.

a a При всех z справедлива оценка:

(t) sin zt dt (t) dt <.

(t)sin zt dt aa a Далее, функция (t) интегрируема на промежутке [, b] в обычном смысле.

b Поэтому, по теореме Римана – Лебега: lim (t)sin zt dt = 0. А это означает, z+ что взятому >0 отвечает число z0 > 0 такое, что для всех z > z0 будет:

b (t)sin zt dt < 2.

И, следовательно, для всех z > z0 будем иметь J(z) <. Последнее означает, что lim J(z) = 0.

z+ Замечание 2. При тех же условиях относительно функции (t) аналогичным образом устанавливается, что b lim (t)cos zt dt = 0. (2) z+ a Замечание 3. Пусть f (t) R [-, ]. Тогда ( ) 1 an = f (t)cos nt dt 0; bn = f (t)sin nt dt 0, n n - т. е. коэффициенты Фурье любой интегрируемой на промежутке [-, ] функции стремятся к нулю при неограниченном увеличении номера n.

Следствие из теоремы Римана – Лебега (принцип локализации). Пусть функция f (x) R2. Мы знаем, что при любом закрепленном x sin(2n +1)~ ~ t Sn(x) = t t (3) f (x + 2~) + f (x - 2~) dt.

[] ~ sin t Пусть 0 < a < (здесь a = const ; a можно взять сколь угодно малым). Представим правую часть (3) в виде суммы двух интегралов:

a sin(2n +1)~ ~ t Sn(x) = t t f (x + 2~) + f (x - 2~) dt + n(x), (4) [] ~ sin t где sin(2n +1)~ ~ t n(x) = t t f (x + 2~) + f (x - 2~) dt.

[] ~ sin t a В промежутке, функция sin t непрерывна и не обращается в нуль. Зна 2 f (x + 2~) + f (x - 2~) t t чит, функция R a,. Но тогда по теореме Рима ~ sin t на – Лебега n(x) 0. Так как число a можно взять любым сколь угодно n малым, положительным, то из (4) следует так называемый принцип локализации:

Поведение ряда Фурье любой функции f (x) R2 в закрепленной точке x зависит только от значений, принимаемых функцией f в любой сколь угодно малой окрестности точки x.

Иначе: если f (x) и g(x) – две функции, принадлежащие R2 и совпадающие в промежутке [x - a, x + a] (0 < a < ), то в самой точке x ряды Фурье этих функций ведут себя одинаково, т. е. они или оба расходятся, или оба сходятся, и притом к одной и той же сумме.

Пусть Sn( f, x) и Sn(g, x) – частичные суммы рядов Фурье (соответственно функций f и g ) при закрепленном x. Тогда a sin(2n +1)~ ~ t Sn( f, x) = t t f (x + 2~) + f (x - 2~) dt + n(x), [] ~ sin t a sin(2n +1)~ ~ t Sn(g, x) = t t g(x + 2~) + g(x - 2~) dt + n(x).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.