WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 74 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ Задача о массе кривой. Пусть — линейная плотность кривой. Тогда масса каждого сегмента кривой Mk-1Mk (см. предыдущий п.) может быть приближена числом (Nk)sk. Отсюда следует, что массу кривой можно определить как криволинейный интеграл 1-го рода от плотности по кривой.

5.2.2 свойства к.и. 1-го рода Здесь во всех равенствах предполагается, что все интегралы существуют.

1 ) fds = fds - 2 ) если = 12 (склейка путей), то fds = fds + fds 1 3 ) для любых констант a, b имеем: (af(x) + bg(x)ds) = a fds + b gds 5.2.3 вычисление к.и. 1-го рода Теорема 5.7. Если f непрерывна на носителе, а — гладкая кривая, пред ставителем которой является (t), t [a; b], то интеграл fds существует и равен b b fds = f((t))|d(t)| = f((t))| (t)|dt.

a a В частном случае (t) = (x(t), y(t), z(t)) получаем, что |d(t)| = (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2dt.

[Пример: кривая x2 + y2 = a2 с плотностью |xy|.] 5.2.4 к.и. 2-го рода Пусть вновь имеется кривая в пространстве Rn, заданная представителем (t), t [a; b]. 0 = t0 < t1 < · · · < tr = 1 — разбиение отрезка [a; b] и Mk = = (tk), k = 0, r. Через обозначим вектор Mk - Mk-1, k = 1, r. Пусть на sk носителе кривой определена вектор-функция F со значениями также в Rn.

Выберем произвольно точки Nk с дуг Mk-1Mk. Теперь составим следующую интегральную сумму:

r = (F (Nk), sk), k=где круглые скобки обозначают скалярное произведение.

5.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Определение. Если существует предел таких сумм при maxk(tk - tk-1) 0, не зависящий от выбора точек tk и Nk, то он называется криволинейным интегралом 2-го рода функции F по кривой и обозначается (F, d = F1ds1 + · · · + Fndsn.

s) В частном случае n = 3, = (x, y, z), F = (p, q, r), криволинейный интеграл 2-го s рода записывают, соответственно, в виде pdx + qdy + rdz.

Дифференциальную форму (F, d или pdx + qdy + rdz чаще будем обоs) значать. Следует помнить, что коэффициенты Fk (они же p, q, r ) являются функциями от x1,..., xn (соответственно, x, y, z ). Если существует интеграл от формы, то говорят, что интегрируема по кривой. Мы говорим, что форма непрерывна, дифференцируема (и т. п.), если, соответственно, непре рывна, дифференцируема (и т. п.) вектор-функция F.

Задача о работе силы. Пусть на материальную точку, движущуюся вдоль кривой, действует переменная сила F. Принимая ее за постоянную на бесконечно малом участке d кривой, мы получаем, что скалярное произведеs ние (F, d, равное проекции силы F на касательную к кривой в данной s) точке, выражает работу этой силы на участке ds. Таким образом, интегральная сумма является приближением полной работы силы F вдоль кривой. Поэтому предельное значение сумм в данной интерпретации принято считать работой силы F вдоль кривой :

A = (F, d s).

5.2.5 свойства к.и. 2-го рода 1 ) если интегрируема по = 12 (склейка), то = + 1 2 ) если = 1 + 2 (т. е. p = p1 + p2, q = q1 + q2 и т.д.) и обе формы 1 и интегрируемы по, то = 1 + 3 ) если интегрируема по, то для любой постоянной a (a) = a 4 ) если интегрируема по, то она интегрируема по -1 и = - -5.2.6 вычисление к.и. 2-го рода Теорема 5.8. Если — гладкая кривая, заданная представителем (t), t [a; b], а функция F непрерывна на носителе кривой, то b = (F ((t)), (t))dt. (5.1) a http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 76 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ В частном случае n = 3, F = (p, q, r), = (x, y, z) имеем:

b pdx + qdy + rdz = (px + qy + rz )dt, a т. е. следует выполнять привычную нам по интегралу Римана замену переменных.

[Пример: форма = xdy - ydx вдоль эллипса.] Замечание. Если — кусочно-гладкая кривая, т. е. является склейкой конечного числа гладких кривых, то интеграл является суммой интегралов по гладким кускам, каждый из которых уже можно вычислять по формуле (5.1).

5.2.7 формула Грина Здесь приводится формула Грина, устанавливающая связь между криволинейным интегралом 2-го рода и двойным интегралом. Мы называем область G Rодносвязной, если любой простой замкнутый контур, носитель которого содержится в G, ограничивает такую область в R2, которая содержится в G.

Область G называется K -связной, если она получена как разность односвязной области и суммы K - 1 содержащихся в ней попарно не пересекающихся K-компактов, являющихся замыканиями односвязных областей: G = G0 \ [Gj] j=( G0, G1,..., GK-1 — односвязные области, причем [G1],..., [GK-1] попарно не пересекаются и содержатся в G0 ). Такие компакты по отношению к области G принято называть дырками.

Часто при интегрировании по замкнутому контуру на плоскости не указывают направление обхода по контуру. Это означает, что интегрирование производится в положительном направлении обхода, т. е. когда область, ограниченная данным контуром, все время остается слева при движении по контуру (против часовой стрелки). Именно такую ориентацию следует подразумевать в следующей теореме.

Теорема 5.9. Пусть область G R2 односвязная с кусочно-гладкой границей, форма = pdx + qdy определена и непрерывно дифференцируема на [G]. Тогда имеет место формула Грина:

= (qx - p )dxdy.

y G Замечание. Для исчисления дифференциальных форм вводят обычно следующие аксиомы: 1) dxdy = -dydx, 2) dxdx = 0. Отметим, что эти аксиомы справедливы, если dx, dy являются векторами, а dxdy — их векторное произведение. Пользуясь этими аксиомами и тем условием, что переменные x, y независимы на области G, т. е. d2x = d2y = 0, нетрудно получить, что d = (p dx + p dy)dx + (qxdx + qydy)dy = (qx - p )dxdy.

x y y 5.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ d является дифференциальной формой второго порядка. Таким образом, формула Грина может быть переписана в виде:

= d.

G G Следствие 5.2. Если G — односвязная область в R2 с кусочной-гладкой грани цей, то mes G = xdy - ydx.

2 G 5.2.8 независимость криволинейного интеграла от пути Определение. Непрерывная на области D R2 дифференциальная форма = = pdx + qdy называется точной, если на D существует такая функция U, что dU = ; непрерывно дифференцируемая на D форма называется замкну той, если qx = p ( d = 0 ).

y Лемма 5.1. Если дифференциальная форма точна, то она замкнута.

Теорема 5.10. Пусть — непрерывно дифференцируемая форма на области D. Тогда эквивалентны следующие три утверждения:

1) для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой, лежащей в области D спра ведливо равенство: = 0 ;

2) интеграл не зависит от выбора кусочно-гладкой кривой, лежащей в D и соединяющей две фиксированные точки в D ;

3) точна в D.

Теорема 5.11. Если область D односвязна, то непрерывно дифференцируемая форма, заданная на D, точна тогда и только тогда, когда она замкнута.

Следствие 5.3. Пусть область D имеет k компактных односвязных дырок, — замкнутый гладкий контур в D, а 1,..., k — простые гладкие контуры, ограничивающие дырки области D. Пусть также форма замкнута и непрерывно дифференцируема в D. Тогда k = Cj, j j=где Cj — число ориентированных оборотов контура вокруг j -ой дырки.

Замечание. Число ориентированных оборотов вычисляется как разность числа оборотов контура в положительном направлении (при обходе дырка остается слева) и числа оборотов в отрицательном направлении.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 78 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ 5.3 криволинейные координаты Пусть задано следующее преобразование координат на плоскости:

x = (u, v), (5.2) y = (u, v), где функции, дважды непрерывно дифференцируемы на замыкании области D. Пусть — образ области D при преобразовании (5.2). Обозначим через J(u, v) якобиан (см. стр. 34) этого преобразования. Мы будем предполагать далее, что всюду на области D преобразование плоскости невырожденное, т. е. J(u, v) не обращается в ноль. В силу связности D получаем также, что якобиан сохраняет знак на D. Отметим, что при гладком невырожденном преобразовании плоскости область переходит в область, а граница области в границу ее образа, т. е. является образом D.

Теорема 5.12. Пусть задано преобразование (5.2) со всеми перечисленными выше ограничениями. Тогда mes = |J(u, v)|dudv.

D Обобщение данной теремы — утверждение о замене переменных в двойном интеграле.

Теорема 5.13. Пусть задано преобразование (5.2) с указанными ранее ограничениями и пусть функция f(x, y) непрерывна на []. Тогда справедлива формула замены переменных:

f(x, y) = f((u, v), (u, v))|J(u, v)|dudv.

D Замечание. Аналогичные теоремы справедливы и для случая n –мерного пространства.

5.4 Поверхностные интегралы 5.4.1 поверхность, площадь поверхности Определение. Функция r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : D R3, где D — область в R2, называется непрерывной (дифференцируемой j -го порядка, непрерывно дифференцируемой j -го порядка), если каждая из функций x, y, z непрерывна (дифференцируема до j -го порядка, непрерывно дифференцируема до j -го порядка).

Определение. Пусть заданы непрерывные функции r1 : D1 R3, r2 : D2 R3, где D1, D2 — области в R2. Обозначим r1 j r2, если существует биекция 5.4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ F : [D1] [D2], непрерывно дифференцируемая до j -го порядка и такая, что r1(u, v) r2(F (u, v)) на D1, j = 0, 1,...

Отношение j является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности по данному отношению будем называть поверхностью непрерывно дифференцируемой до j -го порядка (при j = 0 — непрерывной), а его элементы — представителями поверхности.

Поверхность S называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема ( j = 1 ) и векторное произведение [ru, rv] отлично от нуля всюду на D, где r : D R3 — представитель поверхности S, а ru, rv — частные производные ( ru = (xu, yu, zu) ).

Носитель поверхности S — это область значений любого представителя:

|S| = r(D).

Пусть r — представитель гладкой поверхности S. Тогда (d d = (rudu + rvdv, rudu + rvdv) = (ru, ru)dudv + 2(ru, rv)dudv + (rv, rv)dvdv r, r) называется первой квадратичной формой поверхности, E = (ru, ru), F = (ru, rv), G = (rv, rv) — коэффициенты этой формы.

Если на векторах rudu, rvdv построить параллелограмм, то его площадь бу дет равна EG - F dudv. Рассмотрим преобразование координат (u, v, w) (x, y, z) в R3, заданное по формуле (x, y, z) = r(u, v) + wk, т. е.

сохраняем смещение по оси z. Тогда якобиан этого преобразования равен EG - F.

В качестве приближения площади поверхности S возьмем сумму площадей касательных параллелограммов, построенных на векторах ruui, rvvj в точках r(Pij), где Pij — точки области D такие, что Pi+1,j = Pij + (ui, 0), Pi,j+1 = Pij + (0, vj) (т. е. это узлы прямоугольной решетки). В случае гладкой поверхности существует предел упомянутых сумм при max ui, max vj 0, равный интегралу EG - F dudv, который мы будем называть площадью D поверхности S.

Заметим, что здесь снова работает формула замены переменных в кратном интеграле. Отсюда также следует, что если мы выберем другого представителя поверхности S, то по свойству перемножения якобианов (следствие 3.7) получим то же самое значение площади. Итак, площадь гладкой поверхности инвариантна относительно представителей поверхности.

Пусть S1,..., Sn — гладкие поверхности, обладающие тем свойством, что носители поверхностей Si и Si+1 имеют общую границу, и носители любых двух различных поверхностей Si, Sj не имеют других (кроме граничных) общих точек. Тогда непрерывная поверхность S, представитель которой есть объединение представителей поверхностей Si, называется кусочно-гладкой поверхностью.

По определению положим, что площадью кусочно-гладкой поверхности является сумма площадей составляющих ее гладких поверхностей (кусков).

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 80 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ 5.4.2 п.и. 1-го рода Поверхностный интеграл — обобщение кратного интеграла. Пусть задана поверхность S и ее представитель r : D |S|. Будем считать, что поверхность S имеет площадь. Пусть на |S| задана скалярная функция f. Разобьем область D на квадрируемые куски D1,..., Dn и обозначим диаметр этого разбиения через. Выберем в каждой области Si = r(Di) по одной точке pi, i = 1,..., n.

Составим интегральную сумму n = f(pi) mes Si.

i=Определение. Если существует предел при 0, не зависящий от выбора точек pi и элементов разбиения Di, то такой предел называется поверхностным интегралом 1-го рода функции f по поверхности S и обозначается fdr.

S Заметим, что если поверхность S кусочно-гладкая, то интеграл по ней является суммой интегралов по гладким кускам поверхности.

5.4.3 вычисление п.и. 1-го рода Следующая теорема позволяет сводить поверхностный интеграл к повторному.

Теорема 5.14. Пусть S — гладкая поверхность, E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S, функция f непрерывна на |S|. Тогда fdr = f(r(u, v)) EG - F dudv.

S D Отметим, что значение этого интеграла инвариантно относительно выбора представителя поверхности S (опять-таки по свойству произведения якобианов).

5.4.4 ориентированные поверхности Пусть S — гладкая поверхность, тогда векторы ru и rv линейно независимы, а значит, они задают касательную плоскость к поверхности S. Векторы ru, rv, [ru, rv] образаюут правую тройку векторов по отношению к исходным координатам (см. курс аналитической геометрии). Этим объясняется выбор век тора n = [ru, rv]/ EG - F в качестве положительной нормали поверхности S ( |[ru, rv]| = EG - F ).

Если для гладкой поверхности S выбрано какое-либо направление нормали: положительное n или отрицательное -, — то поверхность S называет n ся ориентированной, соответственно, положительно или отрицательно. Выбор ориентации визуально означает, с какой стороны мы смотрим на поверхность 5.4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (смотрят обычно с конца нормали). Поэтому положительно ориентированную поверхность часто называют положительной (или внешней) стороной поверхности S и обозначают S+, а отрицательно ориентированную — отрицательной (или внутренней) стороной и обозначают S-.

Если гладкая поверхность S задана функцией r, определенной на односвязной ( K -связной) области D, то S так же называют односвязной ( K -связной).

У односвязной поверхности граница представляет собой простой замкнутый контур. Направление обхода этого контура называется его ориентацией. Если обход граничного контура выполняется таким образом, что нормаль к поверхности S всегда остается слева от него, если смотреть с конца нормали, то говорят, что этот контур положительно ориентирован по отношению к ориентированной поверхности S. При смене ориентации поверхности меняется и ориентация граничного контура.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.