WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 64 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теорема 4.43. Пусть f(x, y) непрерывна на P и интеграл (4.5) сходится равномерно на [c; d]. Тогда I(y) непрерывна на [c; d].

Теорема 4.44. Пусть f(x, y) непрерывна на P, f(x, y) 0, интеграл (4.5) сходится при каждом y Y, I(y) непрерывна на [c; d]. Тогда (4.5) сходится равномерно.

Теорема 4.45 (дифференцирование по параметру). Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x, y) непрерывна по x на [a; b) при всех y [c; d] ;

2) fy(x, y) существует и непрерывна на P ;

3) интеграл (4.5) сходится при каждом y [c; d] ;

b 4) интеграл fy(x, y)dx сходится равномерно на [c; d].

a Тогда имеет место правило Лейбница:

b I (y) = fy(x, y)dx.

a 4.6.5 вычисление н.и. дифференцированием по параметру sin x Вычислим интеграл I = dx. Этот интеграл не вычислить по формуле 0 x sin x Ньютона—Лейбница, т. к. неопределенный интеграл от не выражается в x элементарных функциях. Рассмотрим интеграл sin(x) J(, ) = e-xdx.

0 x Ясно, что I = J(1, 0).

sin(x) По признаку Дирихле интеграл dx сходится равномерно по 0 x (т. к. не зависит от ) при каждом фиксированном. Поскольку e-x 1 равномерно по 0, интеграл J(, ) сходится равномерно по 0 при любом фиксированном. Кроме того, функция g(x, ) = sin(x) exp{-x}/x непрерывна по x при всех 0 и при любом t > 0 g(x, ) сходится равномерно по x [0; t] к sin(x)/x при +0. Тогда по теореме 4.42 мы можем переходить к пределу под знаком интеграла, откуда J(, 0) = lim J(, ). (4.7) +Вычислим J(, ), > 0, дифференцированием по параметру. Полагая по непрерывности g(0, ) =, получаем, что g(x, ) непрерывна по x для всех, производная g(x, ) = cos(x) exp{-x} непрерывна по (, x) на R [0; ). Кроме того, интеграл cos(x) exp{-x}dx сходится равномерно по при каждом фиксированном > 0 по признаку Вейерштрасса. Тогда по теореме 4.45 имеем:

J(, ) = cos(x)e-xdx.

4.6. ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРАМИ Вычисляя последний интеграл по частям, приходим к уравенению: J(, ) = = -2 - 2-2J(, ). Отсюда J(, ) = /(2 + 2), поэтому J(, ) = arctg(/) + C(), а C() легко найти, подставив = 0. Окончательно имеем J(, ) = arctg(/).

Отсюда и из (4.7) получаем, что I = J(1, 0) = lim arctg(1/) = /2.

+4.6.6 интегрирование н.и. по параметру Пусть по-прежнему f(x, y) определена на P = [a; b) [c; d] и при каждом y интегрируема внутри [a; b).

Теорема 4.46. Пусть f(x, y) непрерывна на P и интеграл (4.5) сходится равномерно на [c; d]. Тогда I(y) интегрируема на [c; d] и d b d I(y)dy = f(x, y)dy dx.

c a c Следствие 4.7. Если f(x, y) 0 и непрерывна на P, интеграл I(y) непрерывен по y [c; d], то выполнена та же формула перестановки интегралов.

Рассмотрим теперь более сложный случай: d — также особая точка f(x, y).

Пусть f(x, y) определена на Q = [a; b) [c; d) и интегрируема внутри [a; b) по d x и внутри [c; d) по y. Обозначим также J(x) = f(x, y)dy.

c Теорема 4.47. Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x, y) непрерывна на P ;

2) I(y) и J(x) сходятся равномерно на отрезках [a; b ] и [c; d ] соответственно, где a < b < b, c < d < d ;

3) сходится один из интегралов:

b d d b |f(x, y)|dy dx или |f(x, y)|dx dy.

a c c a Тогда I(y) и J(x) несобственно интегрируемы и их интегралы равны.

Следствие 4.8. Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x, y) 0 и непрерывна на P ;

2) I(y) и J(x) непрерывны;

3) сходится один из интегралов:

b d d b f(x, y)dy dx или f(x, y)dx dy.

a c c a Тогда сходится и второй интеграл, и оба они равны.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 66 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6.7 интеграл Пуассона Вычислим еще один “неберущийся интеграл” — интеграл Пуассона e-x dx.

Идея вычисления такова.

2 2 I2 = e-x e-u dudx = ue-u (t2+1)dtdu (x = ut).

0 0 0 Если здесь можно переставлять интегралы, то получим:

2 1 dt I2 = e-u (t2+1)ududt = =. (4.8) 0 0 0 2 t2 + 1 Обозначим f(u, t) = ue-u (t2+1), 2 1 J(u) = f(u, t)dt = Ie-u, I(t) = f(u, t)du =.

0 0 2 t2 + Функция J(u) непрерывна при t > 0, но разрывна в точке 0. Поэтому рассмотрим ее на полуинтервале [v, ), v > 0. Поскольку f(u, t) непрерывна и неотрицательна на [0, ) [v, ), J(u) непрерывна на [v, ) и сходится следующий интеграл:

f(u, t)dudt, 0 v по следствию 4.8 можно менять в нем порядок интегрирования. Итак, f(u, t)dudt = f(u, t)dtdu. (4.9) 0 v v Осталось обосновать здесь возможность предельного перехода при v +0.

Обозначим H(t, v) = f(u, t)du. Так как 1 H(t, v) = e-v (t2+1) 2(t2 + 1) непрерывна по t на [0, ), для любого a > 0 H(t, v) сходится равномерно по t [0; a] к при v +0 (по теореме Дини), и интеграл H(t, v)dt схо2(t2+1) дится равномерно по признаку Вейерштрасса, то по теореме 4.42 окончательно получаем, что предельный переход под знаком интеграла в (4.9) допустим. Отсюда получаем равенство (4.8). Итак, e-x dx =.

0 4.6.8 функции Эйлера Поскольку класс элементарных функций достаточно узок для приложений математического анализа, существует целый ряд так называемых специальных 4.6. ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРАМИ функций, которые определяются с помощью некоторой процедуры, допустимой в рамках аксиоматики действительных чисел (см. пункт 1.3.2), и невыичслимы в элементарных функциях. Здесь приводятся определения и свойства двух функций Эйлера.

Бета-функция Эйлера. По определению она равна B(a, b) = xa-1(1 - x)b-1dx.

Свойства бета-функции.

1 ) область сходимости: a > 0, b > 2 ) B(a, b) непрерывна по a и по b в области сходимости 3 ) B(a, b) = B(b, a) b - 4 ) при b > 1 имеем: B(a, b) = B(a, b - 1) a + b - 5 ) при натуральных m, n получаем -m + n - B(m, n) = (m + n - 1)-n - xa-6 ) B(a, b) = dx 0 (1 + x)a+b 7 ) для a (0; 1) имеем: B(a, 1 - a) = / sin(a) Гамма-функция Эйлера. По определению она равна (s) = xs-1e-xdx.

Свойства гамма-функции.

8 ) область сходимости: s > 9 ) (s) бесконечно дифференцируема и (n)(s) = xs-1(ln x)ne-xdx 10 ) при s > 1 имеем: (s) = (s - 1)(s - 1) 11 ) если n N, то (n + 1) = n! Принято продлевать (s) в область нецелых неположительных чисел, пользуясь формулой (s) = (s + 1)/s. Кроме того, существует аналитическое продолжение (s) на комплексную плоскость. Функция комплексного переменного (z), совпадающая с (s) на действительной оси, регулярна (т. е. бесконечно дифференцируема) на всей комплексной плоскости за исключением http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 68 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ неположительных целых точек, которые являются ее полюсами (т. е. предел (z) в этих точках существует и равен ). С помощью этой функции определяют факториал комплексного числа как z! = (z + 1).

(a)(b) 12 ) B(a, b) = (a + b) 13 ) (a)(1 - a) = / sin(a), a (0; 1) 14 ) (1/2) = 2 e-t dt = (замена x = t2 ) 15 ) - (1) =, где — постоянная Эйлера, которая удовлетворяет соотношению n = ln n + + o(1) k k=при n Приведем также соотношение, связывающее гамма-функцию Эйлера с дзетафункцией Римана:

(s) = ; (s)(s) = H(s), ks k= xs-где H(s) = dx.

ex 0 - 4.7 Вопросы для коллоквиума 1. Первообразная и ее свойства.

2. Таблица интегралов.

3. Замена переменной и интегрирование по частям.

4. Метод неопределенных коэффициентов.

5. Метод Остроградского.

r2 rm ax + b ax + b 6. Вычисление интеграла R x,,..., dx.

cx + d cx + d 7. Подстановки Эйлера.

8. Биномиальный дифференциал.

9. Интеграл R(sin x, cos x)dx.

10. Интегралы, невычислимые в элементарных функциях.

11. Интегральные суммы Римана и Дарбу для функции на отрезке.

4.7. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА 12. Определение и свойства интеграла Римана.

13. Теорема о среднем.

14. Формула Ньютона—Лейбница.

15. Замена переменной в определенном интеграле.

16. Интегрирование по частям.

17. Формула Бонэ.

18. Неравенство Гельдера для интегралов и для сумм.

19. Неравенство Минковского для интегралов и для сумм.

20. Площадь криволинейной трапеции и площадь в полярных координатах.

21. Длина дуги гладкой кривой.

22. Объем тела вращения.

23. Поверхность тела вращения.

24. Определение несобственного интеграла, виды сходимости.

dx dx 25. Сходимость и расходимость интегралов и.

0 x 1 x 26. Точечная и равномерная сходимость по параметру.

27. Теорема Дини.

28. Признак Абеля сходимости несобственного интеграла с параметром.

29. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла с параметром.

30. Интеграл Пуассона, бета- и гамма-функции Эйлера.

31. Основные свойства бета- и гамма-функций Эйлера.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров Глава Некоторые виды интегралов 5.1 Кратные интегралы 5.1.1 интеграл Римана от функции нескольких переменных Для произвольного множества M Rn определим его диаметр diam(M) как sup |(x - y)|, где x, y — произвольные точки M. Пусть G — измеримое (здесь и далее — по Жордану) подмножество Rn и T = {Gk}r — набор измеримых k=множеств, содержащихся в G.

Определение. T называется разбиением множества G, если все int Gk не пусты, попарно не пересекаются, а сумма их замыканий дает замыкание G ( [Gk] = [G] ).

k Обозначим diam(T ) = max{diam(G1),..., diam(Gr)} — диаметр разбиения T.

Сечением разбиения T назовем всякий набор точек = {x(1),..., x(r)}, удовлетворяющих условию: x(k) Gk. Пусть f : G R.

Определение. Интегральной суммой Римана для функции f при данном разбиении T и сечении называется величина r (f, T, ) = f(x(k)) mes(Gk).

k=Функция f называется интегрируемой (по Риману) на множестве G, если существует предел lim (f, T, ), не зависящий от выбора разбиений и diam(T )сечений. Этот предел обозначают f(x)dx =... f(x1, x2,..., xn)dx1dx2... dxn G G и называют интегралом (Римана) функции f по множеству G.

Теорема 5.1. Если функция интегрируема по Риману на G, то она ограничена.

5.1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.1.2 суммы Дарбу и критерий R-интегрируемости Пусть f : G R ограничена. Положим тогда Mk = sup f(x), mk = inf f(x), xGk xGk где все обозначения мы заимствуем из предыдущего пункта.

Определение. Величины r r S(f, T ) = Mk mes Gk; s(f, T ) = mk mes Gk k=1 k=называются, соответственно, верхней и нижней суммами Дарбу.

[геометрический смысл сумм Дарбу в связи с понятием объема] В данном общем случае суммы Дарбу обладают свойствами, аналогичными суммам Дарбу для одномерного интеграла (см. п. 4.2.2):

1 ) s(f, T ) S(f, T ) Назовем T1 измельчением разбиения T, если существуют разбиения t1,..., tr множеств, соответственно, G1,..., Gr такие, что их объединение равно T1. При этом T1 является разбиением множества G.

2 ) если T1 — измельчение T, то s(f, T ) s(f, T1) S(f, T1) S(f, T ) 3 ) для любых разбиений T1, T2 имеем: s(f, T1) S(f, T2) 4 ) для любого сечения разбиения T имеем: s(f, T ) (f, T, ) S(f, T, ) 5 ) s(f, T ) = inf (f, T, ), S(f, T ) = sup (f, T, ) Определение. Числа I = inf S(f, T ), I = sup S(f, T ) T T называются, соответственно, верхним и нижним интегралми Дарбу функции f по множеству G.

Теорема 5.2. Ограниченная на G функция f интегрируема по Риману на G тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует > 0 такое, что для всех разбиений T множества G с диаметром diam(T ) < имеет место неравенство |s(f, T ) - S(f, T )| <.

Следствие 5.1. Ограниченная на G функция f интегрируема по Риману на G тогда и только тогда, когда I = I.

Критерий интегрируемости, связанный с мерой Лебега.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 72 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ Теорема 5.3 (Лебега). Ограниченная функция f : G R интегрируема по Риману на G тогда и только тогда, когда она почти всюду1 (относительно меры Лебега) непрерывна на нем.

5.1.3 свойства интеграла Римана 1 ) 1dx = mes G, если G измеримо (здесь и далее — по Жордану) G 2 ) если H G, и оба множества измеримы, а f интегрируема на G, то тогда f интегрируема на H 3 ) если G1,..., Gr — разбиение множества G, и на каждом Gk функция f интегрируема, то она интегрируема на G и r fdx = fdx G Gk k=4 ) если f и g интегрируемы на G, то для любых констант a и b (af + bg)dx = a fdx + b gdx G G G 5 ) если f интегрируема на G, то |f| интегрируема на G и fdx |f|dx G G Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.

6 ) если f g на G и обе функции интегрируемы на G, то fdx gdx G G 7 ) если G — измеримое множество с непустой внутренностью, f 0 ин тегрируема на G, f(x0) > 0 и f непрерывна в точке x0, то fdx > G Теорема о среднем:

8 ) если f непрерывна на [G], G — область (либо отличается от некоторой области на множество меры ноль), то существует точка [G] такая, что fdx = f() mes G G Выражение “почти всюду” здесь означает “на всем множестве G, за исключением его подмножества меры ноль”. Иными словами, множество точек разрыва функции f имеет меру Лебега ноль.

5.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.1.4 вычисление двойного интеграла Теорема 5.4. Пусть f(x, y) интегрируема на ячейке P = (a; b) (c; d) и при каждом y интегрируема на (a; b) по x. Тогда d b f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy.

P c a Теорема 5.5. Если область G ограничена линиями x = a, x = b, a < b, и y = = (x), y = (x),, функции, непрерывны, а f интегрируема на G и при каждом x интегрируема на отрезке [(x); (x)] по y, то b (x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx.

G a (x) 5.1.5 вычисление тройного интеграла Теорема 5.6. Пусть область G = {(x, y, z)| (x, y) < z < (x, y), (x, y) D}, где D — область в R2. Пусть также и непрерывны на D, для каждой точки (x, y) D функция f(x, y, z) интегрируема по z на отрезке [(x, y); (x, y)] и f(x, y, z) интегрируема на G. Тогда (x,y) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dz dxdy.

G D (x,y) [Пример с криволинейным цилиндром] 5.2 Криволинейные интегралы 5.2.1 к.и. 1-го рода Обобщение интеграла по отрезку — криволинейный интеграл. Рассмотрим некоторую кривую в Rn и ее представителя (t), t [a; b]. Выберем разби ение отрезка [a; b] : a = t0 < t1 < · · · < tr = b. Пусть Mk = (tk), k = 0, r. Будем считать, что кривая спрямляема, т. е. существует ее длина (4.4.3).

Обозначим длины дуг Mk-1Mk через sk, k = 1, r. Выберем некоторым образом точки N1,..., Nr так, что для каждого k Nk лежит на дуге Mk-1Mk.

Пусть функция f определена на носителе кривой. Составим интегральную сумму для функции f по кривой :

r = f(Nk)sk.

k=Определение. Если существует предел таких сумм при maxk(tk - tk-1) 0, не зависящий от выбора точек tk и Nk, то он называется криволинейным интегралом 1-го рода функции f по кривой и обозначается fds.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.