WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |

Определение. Внешней мерой Жордана ограниченного множества X называется число mes X = inf mes i, iX i i где inf берется по всем покрытиям множества X. Внутренней мерой Жордана множества X называется число mes X = sup mes i, iX i i где сумма берется по всем конечным наборам попарно неперекрывающихся(!) ячеек. Ограниченное множество X называется измеримым по Жордану или квадрируемым (в случае Rn, n 3, — кубируемым), если mes X = mes X. В этом случае общее значение внутренней и внешней мер обозначается mes X.

Некоторые свойства меры Жордана.

1 ) mes X mes X 2 ) mes X 3 ) если X1 X2 = и оба множества измеримы, то mes(X1 X2) = mes X1 + + mes Xhttp://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 56 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4 ) если X, то mes X = mes - mes( \ X) и mes X = mes - mes( \ X) 5 ) X — ограничено, тогда X — измеримо, если и только если его граница измерима и имеет меру ноль ( mes X = 0 ) 6 ) если X1 X2 и оба измеримы, то mes X1 mes XТеорема 4.20. Если неотрицательная функция f : [a; b] R ограничена, то она интегрируема по Риману на [a; b] тогда и только тогда, когда ее подграфик измерим по Жордану. При этом площадь подграфика f совпадает с интегралом f на отрезке [a; b].

4.3.2 мера Лебега Определение и некоторые свойства меры Лебега на R, замечание об измеримых функциях и интеграле Лебега. Два основных следствия: из измеримости множества по Жордану следует измеримость по Лебегу, и обе меры в этом случае равны; из существования интеграла Римана следует существование интеграла Лебега, и в этом случае оба интеграла равны. Контпримеры к обратному утверждению.

Несколько слов о неконструктивных примерах в математике, связанных с аксиомой выбора. В частности, существование неизмеримых по Лебегу множеств и теорема Банаха—Тарского о разрезании шара.

4.4 Приложения определенного интеграла 4.4.1 вычисление площадей Площадь фигуры с границей, состоящей из следующих четырех кусков: 1) график y = f(x), a x b ; 2) график y = g(x) f(x), a x b ; 3) прямая x = a, g(a) y f(a) ; 4) прямая x = b, g(b) y f(b).

Если функции f и g интегрируемы по Риману, то полученная фигура измерима по Жордану и ее площадь равна интегралу b (f(x) - g(x))dx.

a [пример: площадь круга] 4.4.2 площадь в полярных координатах На плоскости полярные координаты (, ) связаны с декартовыми (x, y) следующим образом:

x = cos() y = sin() 4.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Если плоская фигура имеет форму криволинейного сектора, т. е. занимает область между лучами = и = и кривой = (), то ее площадь вычисляется как интеграл 2()d.

4.4.3 длина дуги гладкой кривой Пусть имеется гладкая кривая = (x(t), y(t)), a t b. Пусть t = {t0,..., tn} s(t) — разбиение отрезка [a; b]. Через (t) обозначим ломаную, последовательно соединяющую точки (x(tk), y(tk)). Длина ломаной равна сумме длин ее отрезков:

n = (xk)2 + (yk)2, xk = x(tk) - x(tk-1), yk = y(tk) - y(tk-1).

k= При стремлении к нулю диаметра разбиения t в пределе получаем по определению длину кривой :

s b s = (x )2 + (y )2dt.

a [пример с окружностью] В дальнейшем под дифференциалом длины дуги понимаем дифференциальную форму:

ds = (x )2 + (y )2dt, если кривая задана функциями x(t), y(t).

s 4.4.4 вычисление объемов и поверхностей тел вращения Телом вращения называется тело, полученное вращением некоторой кривой вокруг какой-либо оси в пространстве. Чаще всего в качестве кривой берут график положительной функции f(x), a x b, который вращается вокруг оси Ox.

Используя приближение объема такого тела с помощью суммы объемов вписанных в него цилиндров, получаем формулу объема тела вращения:

b f2(x)dx.

a Для нахождения площади поверхности тела врщения используем приближение кривой с помощью ломаной как в предыдущем пункте. Тогда поверхность тела вращения приближенно равна сумме поверхностей сегментов конусов, полученных вращением отрезков, составляющих ломаную. Отсюда, переходя к пределу, находим формулу площади поверхности тела вращения:

b b 2 f(x)ds = 2 f(x) 1 + (f(x) )2dx.

a a [Примеры с шаром] http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 58 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5 Несобственные интегралы 4.5.1 определение н.и.

Определение. Точка x0 [R] называется особой точкой функции f, если предел lim f(x) не существует, либо бесконечен, либо |x0| =.

xxПусть f : [a; b) R, b — особая точка f. Будем говорить, что f интегрируема внутри [a; b), если она интегрируема (по Риману) на каждом отрезке, лежащем в [a; b).

Определение. Если b — особая точка f и f интегрируема внутри [a; b), то b символ f(x)dx называется несобственным интегралом функции f по [a; b).

a t Обозначим F (t) = f(x)dx. Если существует левый предел F (b - 0), то a он обозначается символом несобственного интеграла, который при этом на b зывается сходящимся, если F (b - 0) =, то говорят, что интеграл f(x)dx a расходится к бесконечности, если в [R] не существует предела F (b - 0), то b интеграл f(x)dx называется расходящимся.

a [Пример с интегралом xadx ] Обобщение определения: если a < b — особые точки функции f, и интегра c b лы f(x)dx, f(x)dx сходятся, то их сумма считается значением несобственa c b ного интеграла f(x)dx. Этот интеграл не зависит от выбора точки c (a; b).

a Наконец, если f определена на X = [a; b] \ D, где D = {x0,..., xn} — мно b жество особых точек f, то несобственный интеграл f(x)dx — это сумма a несобственных интегралов на соответствующих интервалах и полуинтервалах, из которых состоит множство X.

dx [Пример с интегралом ] -1 x b Далее чаще всего будем рассматривать несобственный интеграл f(x)dx, a где только b — особая точка.

Теорема 4.21 (критерий Больцано—Коши). Пусть f интегрируема внутри [a; b).

b Несобственный интеграл f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда a t > 0 > 0 : b - < t1 < t2 < b f(x)dx <.

t4.5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4.5.2 виды и признаки сходимости н.и.

b Определение. Пусть f интегрируема внутри [a; b). Интеграл f(x)dx наa b зывается абсолютно сходящимся, если сходится интеграл |f(x)|dx, условa b но сходящимся, если сходится интеграл f(x)dx, но расходится интеграл a b |f(x)|dx.

a Лемма 4.1. Из абсолютной сходимости несобственнго интеграла следует его сходимость.

Теорема 4.22 (1-ая теорема сравнения). Пусть |f(x)| g(x) на [a; b), и обе b функции интегрируемы внутри [a; b). Пусть также сходится интеграл g(x)dx.

a b Тогда интеграл f(x)dx сходится абсолютно.

a Теорема 4.23 (признак Дирихле). Пусть f, g интегрируемы внутри [a; b), и выполнены следующие условия:

t a) f(x)dx ограничен равномерно по t (a; b) ;

a b) g(x) монотонна и стремится к нулю при x b - 0.

b Тогда интеграл f(x)g(x)dx сходится.

a Теорема 4.24 (признак Абеля). Пусть f, g интегрируемы внутри [a; b), и выполнены следующие условия:

b a) интеграл f(x)dx сходится;

a b) g(x) монотонна и ограничена равномерно по x.

b Тогда интеграл f(x)g(x)dx сходится.

a Замечание. Признаки Дирихле и Абеля логически независимы.

sin x [Пример: dx в нуле сходится абсолютно, в — условно.] 0 x Теорема 4.25 (2-ая теорема сравнения). Пусть f, g интегрируемы внутри [a; b) b и неотрицательны. Тогда если f g, то из сходимости интеграла g(x)dx a b следует сходимость интеграла f(x)dx, а если g f, то из сходимости a b b интеграла f(x)dx следует сходимость интеграла g(x)dx.

a a Следствие 4.5. Если f интегрируема внутри [1; ) и для некоторых положительных постоянных A, B выполнены неравенства Ax- f(x) Bx-, то http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 60 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ интеграл f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда > 1.

4.6 Интегралы с параметрами 4.6.1 предел функции по параметру Пусть f(x, y) определена на X Y, X Rm, Y Rk. В том случае, когда f(x, y) рассматривается как функция с аргументом x, а y выступает в роли второстепенной переменной, принято говорить, что y является параметром.

Множество Y значений параметра y задает множество функций f(x, y) с аргументом x. Частный случай параметра — натуральное число. Пусть Y = N, тогда вместо y будем писать n, а вместо f(x, y) — fn(x). В [R] существует единственная предельная точка N — бесконечность.

Определение. Пусть y0 — предельная точка множества Y. Если для каждого x X существует предел lim f(x, y) = (x), то говорят, что f(x, y) сходится yyточечно к (x) при y y0.

Определение. Говорят, что f(x, y) сходится равномерно к (x) на множестве X X при y y0 (обозначение: f(x, y) (x) ), если для любого > 0 найдется yy окрестность U точки y0 такая, что для всех y U Y и для всех x X имеет место неравенство |f(x, y) - (x)| <.

Лемма 4.2. Из равномерной сходимости следует точечная.

Замечание. Обратное неверно, пример: f(x, y) = xy на [0; 1]2.

Говорят, что f(x, y) сходится равномерно на X при y y0, если существует ее точечный предел, и имеет место равномерная сходимость к этому точечному пределу.

Теорема 4.26 (критерий Больцано—Коши). f(x, y) сходится равномерно на X при y y0 тогда и только тогда, когда для любого > 0 найдется окрест ность U точки y0 такая, что для всех y1, y2 U Y и для всех x X имеет место неравенство |f(x, y1) - f(x, y2)| <.

Следствие 4.6 (критерий Больцано—Коши для последовательности). fn(x) сходится раномерно на X при n тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует N N такое, что для любого n > N и любого натурального p имеет место неравенство |fn(x) - fn+p(x)| <.

X Теорема 4.27. f(x, y) (x) тогда и только тогда, когда для любой последоyyвательности yn y0, лежащей в Y, имеет место равномерная сходимость X f(x, yn) (x).

n 4.6. ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРАМИ Теорема 4.28 (теорема Дини). Пусть f(x, y) удовлетворяет условиям:

1) f(x, y) непрерывна по x при каждом y Y ;

2) f(x, y) монотонна по y при каждом x X ;

3) f(x, y) сходится точечно к (x) при y y0 ;

4) (x) непрерывна по x ;

5) X замкнуто и ограничено (компакт).

X Тогда f(x, y) (x).

yy[сначала доказываем для последовательностей] X Теорема 4.29. Если f(x, y) (x) и при каждом y Y f(x, y) непрерывна в yyточке x0, то (x) непрерывна в точке x0.

[доказываем сначала для последовательности] Для непрерывных функций, заданных на множестве X можно задать норму:

f = sup |f(x)|.

xX В более общем случае (функции могут быть не непрерывны) такой функционал задает полунорму. Сходимость в пространстве функций по такой полунорме эквивалентна равномерной сходимости.

X Теорема 4.30. f(x, y) (x) тогда и только тогда, когда f(x, y) - (x) yyпри y y0.

Теорема о перестановке пределов.

X Теорема 4.31. Если f(x, y) (x) и при каждом y существует точечный преyyдел lim f(x, y), то xxlim lim f(x, y) = lim lim f(x, y).

xx0 yy0 yy0 xx4.6.2 собственные интегралы с параметром Пусть f(x, y) определена на [a; b]Y и y0 — предельная точка Y. Пусть, кроме того, f(x, y) интегрируема на [a; b] при каждом y Y. Обозначим b I(y) = f(x, y)dx.

a Теорема 4.32 (перестановка предела и интеграла). Если f(x, y) непрерывна по [a;b] x [a; b] при каждом y Y и f(x, y) (x), то имеет место равенство:

yy b b lim f(x, y)dx = lim f(x, y)dx.

yy0 a yya http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 62 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теорема 4.33 (непрерывность интеграла). Если f(x, y) непрерывна на [a; b] [c; d], то I(y) непрерывна на [c; d].

Теорема 4.34 (производная по параметру). Пусть f(x, y) непрерывна по x [a; b] при каждом y [c; d], существует и непрерывна на [a; b] [c; d] частная производная fy(x, y). Тогда I(y) дифференцируема и b b d I (y) = f(x, y)dx = f(x, y)dx.

dy a a y Далее обозначим P = [a; b] [c; d]. Пусть функции (y) и (y) принимают значения на отрезке [a; b]. Пусть, кроме того, существует интеграл (y) J(y) = f(x, y)dx (y) при каждом y [c; d].

Теорема 4.35. Если (y) и (y) непрерывны на [c; d] и f(x, y) непрерывна на P, то J(y) непрерывна на [c; d].

Теорема 4.36. Пусть (y) и (y) дифференцируемы на [c; d], f(x, y) и fy(x, y) непрерывны на P. Тогда J(y) дифференцируема и (y) J (y) = f((y), y) (y) - f((y), y) (y) + fy(x, y)dx.

(y) Теорема 4.37. Если f(x, y) непрерывна на P, то b d d b f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy.

a c c a 4.6.3 равномерная сходимость н.и.

Пусть f(x, y) определена на [a; b) Y, b [R] — особая точка f(x, y) при каждом y, кроме того, f(x, y) интегрируема внутри [a; b) при каждом y и при каждом y сходится несобственный интеграл b I(y) = f(x, y)dx. (4.5) a [пример: (1 - x)dx, > -1.] Определение. Говорят, что интеграл (4.5) сходится равномерно на Y, если выполнено соотношение:

t Y F (t, y) = f(x, y)dx I(y).

a tb-4.6. ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРАМИ Теорема 4.38 (критерий Больцано—Коши). Интеграл (4.5) сходится равномерно тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует A (a; b) такое, что для любых t1, t2, удовлетворяющих неравенствам A < t1 < t2 < b, и для t любого y Y имеет место неравенство f(x, y)dx <.

tТеорема 4.39 (признак Вейерштрасса). Если |f(x, y)| g(x) на [a; b) Y и g(x) несобственно интегрируема на [a; b), то интеграл (4.5) сходится равномерно на Y.

Замечание. Признак Вейерштрасса дает одновременно равномерную сходимость интеграла от |f(x, y)| (будем называть это абсолютно-равномерной сходимостью).

Пусть g(x, y) также интегрируема внутри [a; b) при каждом y Y. Рассмотрим интеграл b f(x, y)g(x, y)dx. (4.6) a Теорема 4.40 (признак Дирихле). Пусть выполнены условия:

t a) f(x, y)dx ограничен равномерно по t (a; b) и y Y ;

a Y b) g(x, y) 0 и g(x, y) монотонна по x при каждом y Y.

xb-Тогда интеграл (4.6) сходится равномерно на Y.

Теорема 4.41 (признак Абеля). Пусть выполнены условия:

a) интеграл (4.5) сходится равномерно на Y ;

b) g(x, y) монотонна по x при каждом y Y и ограничена равномерно по x, y.

Тогда интеграл (4.6) сходится равномерно на Y.

sin(x) [интеграл dx сходится равномерно на по 0 > 0, а в нуле 0 x равномерной сходимости нет] 4.6.4 непрерывность и дифференцируемость н.и.

К условиям предыдущего пункта добавим обычное обозначение y0 для предельной точки множества Y.

Теорема 4.42. Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x, y) непрерывна по x на [a; b) при всех y Y ;

2) f(x, y) сходится равномерно на [a; t] при y y0 при любом t (a; b) ;

3) интеграл (4.5) сходится равномерно на Y.

Тогда b b lim f(x, y)dx = lim f(x, y)dx.

yy0 a yya Далее положим P = [a; b) [c; d].

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.