WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |

[Пример с ln xdx, xexdx,] http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 46 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.1.2 интегрирование рациональных дробей Пусть P (x) и Q(x) — многочлены степени, соответственно, n и m. Функция P (x)/Q(x) называется рациональной. При n m данная дробь неправильная, при n < m — правильная. Поскольку ее всегда можно представить как сумму многочлена и правильной дроби, то далее считаем, что n < m.

Метод неопределенных коэффициентов. По основной теореме алгебры 1 r 1 t Q(x) = c(x - a1)k... (x - ar)k (x2 + p1x + q1)s... (x2 + ptx + qt)s, где k1+· · ·+kr+2(s1+· · ·+st) = m, p2-4qi < 0. Тогда представим дробь P (x)/Q(x) i в виде суммы дробей вида A A Ax + B Ax + B ; ; ;.

x - a (x - a)k x2 + px + q (x2 + px + q)k Интегралы от таких дробей сводятся к табличным и, следовательно, выражаются в элементарных функциях.

Теорема 4.2. Интеграл от рациональной функции выражается в элементарных функциях.

xdx [пример ] 1 + xМетод Остроградского.

P (x) P1(x) P2(x) dx = + dx, (4.1) Q(x) Q1(x) Q2(x) где многочлен Q2(x) содержит те же самые корни, что и Q(x), только кратности 1, т. е.

Q2(x) = (x - a1)... (x - ar)(x2 + p1xq1)... (x2 + ptx + qt), а Q1(x) = Q(x)/Q2(x).

Из уравнения (4.1) многочлены P1(x) и P2(x) определяются однозначно.

Замечание. Метод Остроградского дает существенную выгоду, когда корней не много, но они высокой кратности.

dx [пример ] x3(1 + x)4.1.3 интегрирование некоторых иррациональностей Рациональная функция нескольких переменных: P/Q, где P, Q — полиномы от переменных y1,..., ym :

k1 km k1 km P (y) = ak...kmy1... ym ; Q(y) = bk...kmy1... ym.

1 0 k1+···+km n 0 k1+···+km l 4.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Если подставить yi = i(x) рациональные функции, то полученная дробь (x) = = P ((x))/Q((x)) снова будет рациональной. Рассмотрим случай, когда 1(x) = i = x, i(x) = ((ax+b)/(cx+d))r, i = 2,..., m, где ri — рациональные числа. Тогда функция R(x) = P ((x))/Q((x)) будет иррациональной, если хотя бы один ri не является целым числом.

Теорема 4.3. Интеграл r2 rm ax + b ax + b R x,,..., dx, cx + d cx + d где R — рациональная функция m переменных, вычисляется в элементарных функциях следующей заменой переменных:

ax + b N t =, cx + d где N — наименьшее общее кратное знаменателей дробей ri.

[Пример с (x + x + 1)/(x - x + 1).] Теорема 4.4 (подстановки Эйлера). Интеграл R(x, ax2 + bx + c)dx вычисляется в элементарных функциях следующей заменой переменных:

1) если x1, x2 — корни ax2 + bx + c, то t = (x - x1)/(x - x2) ;

2) ax2 + bx + c = ±t ± x a (первая подстановка Эйлера);

3) то ax2 + bx + c = ±tx ± c (вторая подстановка Эйлера).

Замечание. Подстановок Эйлера желательно избегать, вместо них использовать замену типа x = a tg t, сводя интеграл к тригонометрическому.

[Пример с 1/ x2 + 1.] 4.1.4 интегрирование биномиальных дифференциалов Определение. Биномиальным дифференициалом (дифференциальным биномом) называется функция вида f(x) = xm(a + bxn)p, где m, n, p Q.

Интеграл xm(a + bxn)pdx (4.2) вычисляется заменой t = xn, x = t1/n, dx = (1/n)t1/n-1dt.

a) если p Z, то, полагая q = (m + 1)/n - 1 = r/s, r, s Z, сводим интеграл (4.2) к интегралу от R(t, t1/s), где R — рациональная функция. Полученный интеграл вычисляется в элементарных функциях заменой u = t1/s ;

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 48 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ b) если q Z, то, полагая p = r/s, сводим интеграл (4.2) к интегралу от R(t, (a+ + bt)1/s), который вычисляется в элементарных функциях заменой u = (a + + bt)1/s ;

p c) в случае p + q Z, полагая p = r/s, преобразованием tq(a + bt)p = tp+q a+bt t 1/s a+bt и заменой u = сводим интеграл (4.2) к интегралу от рациональной t функции от u.

Тем самым доказана Теорема 4.5. В случаях p — целое, либо (m + 1)/n — целое, либо (m + 1)/n + p — целое, интеграл от дифференциального бинома вычисляется в элементарных функциях.

Теорема 4.6 (Чебышёва). Во всех остальных случаях интеграл от дифференциального бинома не вычисляется в элементарных функциях. [без доказательства] [пример с x1/3(1 + x1/2)1/3.] 4.1.5 интегрирование тригонометрических выражений Рассмотрим интеграл R(sin x, cos x)dx, (4.3) где R(u, v) — рациональная функция.

1) Универсальная подстановка t = tg(x/2) сводит интеграл (4.3) к интегралу от рациональной функции:

2t 1 - t2 2dt sin x = ; cos x = ; dx =.

1 + t2 1 + t2 1 + tЗамечание. Универсальная подставновка в ряде случаев бывает очень трудоемкой, ее желательно избегать.

2) Пусть R(u, v) — нечетная по u, т. е. R(-u, v) = -R(u, v).

(a) Пусть R — полином. Тогда R = aklukvl, и в силу нечетности R получаем тождество aklukvl = -ak (-u)kvl, которое выполняется только для нечетных l k, поэтому R имеет вид: uR1(u2, v), где R1 — некоторая рациональная функция. Далее, заменой t = cos x получаем sin x · R1(sin2 x, cos x)dx = -R1(sin2 x, cos x)d cos x = R2(t)dt, где R2 — рациональная функция, t = cos x.

(b) R = P/Q, где P, Q — многочлены. Условие нечетности R может быть выполнено, когда P — нечетный, а Q — четный. Тогда, аналогично (a), получаем, что P (u, v) = uP1(u2, v), Q(u, v) = Q1(u2, v). Здесь используется такая же подстановка: t = cos x. Аналогично, когда P — четный, Q — нечетный.

4.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3) R — нечетная по v : R(u, -v) = -R(u, v). Тогда R(u, v) = vR1(u, v2), и интеграл (4.3) сводится к интегралу от рациональной функции заменой t = = sin x.

4) R — четная по обоим аргументам: R(-u, -v) = R(u, v).

(a) Пусть R = aklukvl — полином. Тогда равенство (-u)k(-v)l = ukvl дает условие: k + l — четное. Тогда u k u k k+l ukvl = vk+l = v.

v v То есть R(u, v) = R1(u/v, v2), где R1 — полином. В этом случае замена t = = tg x сводит интеграл (4.3) к интегралу от рациональной функции.

(b) R = P/Q. Тогда либо P и Q оба четные, и R(u, v) = R1(u/v, v2), либо оба нечетные: P (-u, -v) = -P (u, v), Q(-u, -v) = -Q(u, v). Пусть P = aklukvl.

Из полученного равенства (-u)k(-v)l = -ukvl следует, что k + l — нечетное. Тогда ukvl = v(u/v)k(v2)(k+l-1)/2, т. е. P (u, v) = vP1(u/v, v2). Аналогично Q(u, v) = vQ1(u/v, v2). Тогда снова получаем, что R(u, v) = R1(u/v, v2), и интеграл (4.3) вычисляется заменой t = tg x.

[пример с cos-3 x.] Рассмотрим интеграл sinµ x cos x dx, µ, Q. (4.4) Сводим к дифференциальному биному:

µ-sinµ x cos x dx = - sinµ-1 x cos x d cos x = -(1 - t2) dt заменой t = cos x. Из теоремы 4.5 следует, что интеграл (4.4) вычисляется в элементарных функциях, если:

a) µ — нечетное целое;

b) — нечетное целое;

c) µ + — четное.

В последнем случае применима также подстановка t = tg x.

4.1.6 некоторые интегралы, невычислимые в элементарных функциях sin x sin x 1. dx, dx x xn cos x cos x 2. dx, dx x xn http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 50 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ dx dx 3., ln x lnn x ex ex 4. dx, dx x xn 2 5. e-x dx, x2ne-x dx 6. R(x, P3(4)(x))dx, где n Z, P3(4)(x) — полиномы 3 и 4 степени. (Для некоторых таких полиномов интегралы берутся, а вообще говоря — нет.) 4.2 Определенный интеграл 4.2.1 интеграл Римана Определение. Разбиением отрезка [a; b] называется множество точек a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Диаметром разбиения T = {x0,..., xn} называется число diam(T ) = max (xi - xi-1). Пусть набор точек = (1,..., n) таков, что xi-1 i n i xi, i = 1, n. Тогда называется сечением разбиения T.

Пусть на [a; b] задана функция f(x), T — разбиение отрезка [a; b] и — сечение T.

Определение. Интегральной суммой Римана для функции f, разбиения T и сечения называется число n (f, T, ) = f(i)(xi - xi-1).

i= Определение. Если существует конечный предел lim (f, T, ), не завиdiam(T ) сящий от выбора разбиений T и их сечений, то этот предел называется интегралом Римана функции f по отрезку [a; b] и обозначается b f(x)dx, a при этом функция f называется интегрируемой по Риману ( R -интегрируемой, суммируемой) на отрезке [a; b].

[Задача о нахождении массы стержня и работы силы.] Теорема 4.7. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a; b], то она ограничена на нем.

4.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 4.2.2 суммы Дарбу Пусть f : [a; b] R ограничена. Для данного разбиения T определим следующие числа:

mi = inf f(); Mi = sup f(); i = i, n.

xi-1 xi xi-1 xi Определение. Суммы n n s(T ) = mi(xi - xi-1); S(T ) = Mi(xi - xi-1) i=1 i=называются, соответственно, нижней и верхней суммами Дарбу для функции f и разбиения T.

[Геометрический смысл сумм Дарбу в связи с понятием площади] Свойства сумм Дарбу.

1 ) s(T ) S(T ) 2 ) если T1 T2 ( T2 — измельчение T1 ), то s(T1) s(T2) и S(T1) S(T2) 3 ) для любых разбиений T1 и T2 : s(T1) S(T2) 4 ) для любого сечения разбиения T : s(T ) (T, ) S(T ) 5 ) s(T ) = inf (T, ), S(T ) = sup (T, ) Определение. Числа I = sup s(T ); I = inf S(T ) T T называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу функции f по отрезку [a; b].

Теорема 4.8 (критерий интегрируемости по Риману). Ограниченная функция f : [a; b] R интегрируема по Риману на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует разбиение T отрезка [a; b] такое, что S(T ) - s(T ) <.

Следствие 4.1. Ограниченная функция f : [a; b] R интегрируема по Риману на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда I = I.

[функция Дирихле не интегрируема по Риману] 4.2.3 свойства интеграла Римана Теорема 4.9. Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.

Теорема 4.10. Монотонная на отрезке функция интегрируема на нем http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 52 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение. Если b < a, то полагаем b a f(x)dx = - f(x)dx, a b если последний интеграл существует. Кроме того, мы полагаем, что интеграл по отрезку [a; a] существует и равен нулю.

b 1 ) dx = b - a a 2 ) если [c; d] [a; b] и f интегрируема на [a; b], то f интегрируема на [c; d] 3 ) если c [a; b] и f интегрируема на отрезках [a; c] и [c; b], то b c b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a a c 4 ) если f и g интегрируемы на [a; b], то f + g также интегрируема и b b b (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx a a a 5 ) если f интегрируема на [a; b], то для любого числа c R :

b b cf(x)dx = c f(x)dx a a 6 ) если f интегрируема на [a; b], то |f| интегрируем на [a; b] и b b f(x)dx |f(x)|dx a a 7 ) если f и g интегрируемы на [a; b], то их произведение также интегрируемо на [a; b] b 8 ) если f 0 интегрируема на [a; b], то f(x)dx a Следствие 4.2. если f g и обе функции интегрируемы на [a; b], то b b f(x)dx g(x)dx a a 4.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 9 ) если f 0 интегрируема на [a; b], в некоторой точке x0 [a; b] она непрерывная и положительна, то интеграл от f положителен Теорема 4.11 (о среднем). Пусть f интегрируема на [a; b], M = sup f, m = = inf f. Тогда существует число c [m; M] такое, что b f(x)dx = c(b - a).

a Следствие 4.3. Если f непрерывна на [a; b], то существует число [a; b] такое, что b f(x)dx = f()(b - a).

a 4.2.4 связь определенного и неопределенного интегралов Для функции f, интегрируемой на [a; b], положим:

x (x) = f(t)dt, x [a; b].

a Интеграл, в котором верхний предел является переменной величиной, называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 4.12. Если f интегрируема на [a; b], то (x) непрерывна на [a; b].

Теорема 4.13. Если f непрерывна на [a; b], то (x) дифференцируема на [a; b] и (x) = f(x).

Следствие 4.4. Если f непрервна на [a; b], то у нее существует первообразная, представимая в виде:

x f(t)dt + C = f(x)dx.

a Теорема 4.14 (формула Ньютона—Лейбница). Если f непрерывна на [a; b] и F — некоторая ее первообразная, то b f(x)dx = F (b) - F (a).

a 4.2.5 методы интегрирования Теорема 4.15. Пусть f : [a; b] R непрерывна, : [, ] [a; b] непрерывно дифференцируема и () = a, () = b. Тогда b f(x)dx = f((t)) (t)dt.

a http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 54 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теорема 4.16. Пусть u, v : [a; b] R непрерывно дифференцируемы. Тогда b b u(x)v (x)dx = u(x)v(x)|b - v(x)u (x)dx.

a a a [ ex sin(x)dx ] 4.2.6 формула Бонэ Теорема 4.17. Пусть f непрерывна на [a; b], g монотонна и непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда существует число [a; b] такое, что b b f(x)g(x)dx = g(a) f(x)dx + g(b) f(x)dx.

a a 4.2.7 неравенства Гёльдера и Минковского Определение. Функция f, определенная на отрезке [a; b], абсолютно интегрируема на нем, если |f| интегрируема на данном отрезке. Функция f абсолютно интегрируема с показателем p на отрезке [a; b], если на данном отрезке интегрируема функция |f|p. При p = 2 говорят, что f суммируема с квадратом.

Определение. Числа p, q > 0 называются сопряженными показателями, если p-1 + q-1 = 1.

Теорема 4.18. Пусть функции f и g абсолютно суммируемы на отрезке [a; b] с сопряженными показателями p и q соответственно, а также на данном отрезке интегрируема функция |fg|. Тогда имеет место неравенство Гёльдера:

1/p 1/q b b b |f(x)g(x)|dx |f(x)|p |g(x)|q.

a a a Замечание. Аналогично доказывается соответствующее неравенство Гёльдера для сумм:

1/p 1/q n n n |xkyk| |xk|p |yk|q, k=1 k=1 k=где p и q — сопряженные показатели. При p = q = 2 получаем неравенство Коши—Буняковского.

Теорема 4.19. Пусть функции f и g абсолютно интегрируемы с показателем p. Тогда имеет место неравенство Минковского:

1/p 1/p 1/p b b b |f(x) + g(x)|p |f(x)|p + |g(x)|p.

a a a 4.3. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МЕРЫ Замечание. Аналогично доказывается соответствующее неравенство Минковского для сумм:

1/p 1/p 1/p n n n |xk + yk|p |xk|p + |yk|p.

k=1 k=1 k=При p = q = 2 получаем неравенство треугольника для случая евклидовой метрики на Rn.

4.3 Введение в теорию меры 4.3.1 мера Жордана на плоскости Определение. Ячейкой на плоскости (и в Rn ) называется прямое произведение промежутков (прямоугольник). Ячейки называются перекрывающимися, если их внутренности пересекаются, касающимися, если они имеют общие граничные точки, но не имеют общих внутренних точек.

Определение. Мерой (Жордана) ячейки = a; b c; d называется число mes = (b - a)(d - c).

Определение. Покрытием множества X R2 называется конечный набор ячеек 1,..., k, в объединении которых содержится X.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.