WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 11 |

(dx)Теорема 3.42 (достаточное условие экстремума). Пусть f определена и имеет все частные производные второго порядка в окрестности точки x0. Пусть, кроме того, grad f(x0) = 0. Тогда в этой точке:

(a) строгий минимум, если D2(f; x0, t) положительно определена, (b) строгий максимум, если D2(f; x0, t) отрицательно определена, (c) не имеет экстремума, если D2(f; x0, t) не определена.

Следствие 3.6. Пусть f = f(x, y), a = fxx(x0, y0), b = fxy(x0, y0), c = fyy(x0, y0).

Тогда если a > 0 и ac - b2 > 0, то (x0, y0) — точка строгого минимума, если a < 0 и ac - b2 > 0, то (x0, y0) — точка строгого максимума, и если ac - b2 < 0, то экстремума нет.

3.7 Неявные функции 3.7.1 основные теоремы о неявных функциях Определение неявной функции y(x) с помощью уравнения F (x, y) = 0.

Теорема 3.43 (о неявной функции). Пусть F (x, y) определена в окрестности U точки P0 = (x0, y0) и 1) F (P0) = 0 ;

2) F (x, y) непрерывна на U ;

3) существует производная Fy(x, y) на U, Fy(P0) = 0, Fy(x, y) непрерывна в точке P0.

3.7. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Тогда существуют, > 0 такие, что в прямоугольнике |x - x0|, |y - y0| уравнение F (x, y) = 0 задает функцию y = f(x) для всех x [x0 -, x0 + ], причем функция f(x) непрерывна на своей области определения.

Теорема 3.44. Пусть F (x, y) определена в окрестности U точки P0 = (x0, y0) и выполнены следующие условия 1) F (P0) = 0 ;

2) F (x, y) непрерывна на U ;

3) существует производная Fy(x, y) на U, Fy(P0) = 0, Fy(x, y) непрерывна в точке P0 ;

4) существует производная Fx(x, y) на U, Fx(x, y) непрерывна в точке P0.

Тогда заданная уравнением F (x, y) = 0 функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, причем:

Fx(x0, y0) f (x0) = -.

Fy(x0, y0) Если, кроме того, производные Fx, Fy непрерывны на U, то и f (x) существует и непрерывна на dom f.

[пример вычисления угла наклона касательной к эллипсу двумя способами:

параметрическим и через неявную функцию] Теорема 3.45 (о неявной функции нескольких переменных). Пусть F (x, y), x Rn, y R, определена в окрестности U точки P0 = (x0, y0) и 1) F (P0) = 0 ;

2) F (x, y) непрерывна на U ;

3) существует производная Fy(x, y) на U, Fy(P0) = 0, Fy(x, y) непрерывна в точке P0.

Тогда существуют, > 0 такие, что в цилиндре |x - x0|, |y - y0| уравнение F (x, y) = 0 задает функцию y = f(x) для всех x B(x0, ), причем функция f(x) непрерывна.

Если, кроме того, выполнено условие 4) существуют производные Fx (x, y) на U, Fx (x, y) непрерывны в точке P0, i i то существуют частные производные fx (x0), причем i Fx (x0, y0) i fx (x0) = -. (3.5) i Fy(x0, y0) Если же производные Fx, Fy непрерывны на U, то существуют и непреi рывны на dom f производные fx.

i http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 38 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теорема 3.46. Пусть F (x, y), x Rn, y R, дифференцируема на области U Rn+1, и Fy(x, y) = 0 на этом множестве. Тогда уравнение F (x, y) = 0 задает функцию y = f(x). При этом f дифференцируема на dom f, а ее частные производные выражаются соотношениями (3.5).

3.7.2 вектор-функции нескольких переменных Рассматривается вектор-функция 1(x1,..., xn).

.

(x) =,.

k(x1,..., xn) d(x) ее производная (матрица Якоби, матрица частных производных – (3.4)):.

dx Теорема 3.47. Пусть (x) : Rn Rk, (y) : Rk Rm, обе функции дифференци руемы. Тогда суперпозиция (x) = ((x)) также дифференцируема и d d(y) d(x) (x) = · dx dy dx ( матричное произведение ).

Следствие 3.7 (якобиан сложной функции). Пусть,, — функции из теоремы, и n = k = m. Тогда d (x) d(y) d(x) =.

dx dy dx Следствие 3.8. Пусть : A B (A, B Rn) — биекция, причем (x) и (y) = = ()-1(y) дифференцируемы. Тогда d(x) d(y) · = En, dx dy где y = (x), En — единичная матрица размерности n n.

Определение. Дифференцируемые на области G Rn функции 1(x),..., m(x) называются зависимыми на G, если для некоторого k существует дифференцируемая на Rm-1 функция такая, что k(x) = (1(x),..., k-1(x), k+1(x),..., m(x)), x G.

Теорема 3.48. Пусть (x) = (1(x),..., m(x)) и функции 1,..., m зависимы на d(x) области G, m n. Тогда ранг матрицы частных производных меньше dx m.

3.8. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Следствие 3.9. Если 1,..., n зависимы на области G, то якобиан тожде ственно равен нулю на G.

Следствие 3.10. Если якобиан отличен от нуля в некоторой точке области G, то функции 1,..., n независимы на G.

Теорема 3.49 (о неявной вектор-функции нескольких переменных). Пусть функция F (x, y) = (F1(x, y),..., Fm(x, y)) определена на области U Rn Rm, x Rn, y Rm. Пусть, кроме того, 1) F (x, y) дифференцируема на U ;

F (x, y) 2) якобиан отличен от нуля на области U.

y Тогда уравнение F (x, y) = 0 задает дифференцируемую вектор-функцию y = = f(x). При этом имеет место матричное равенство:

- df(x) F (x, f(x)) F (x, f(x)) = -.

dx y x 3.8 Условный экстремум Определение условного экстремума функции f(x) при условиях (x) = 0. x — вектор из Rn, (x) = (1(x),..., m(x)), m < n. Обозначим x = (x1,..., xn-m); x = (xn-m+1,..., xn).

При этом мы пишем, что x = x x.

Теорема 3.50. Пусть условия (x) = 0 в окрестности точки x0 задают един ственным образом зависимость x = (x). Пусть g(x) = f(x (x)). Тогда x0 — точка условного максимума (минимума) при условии (x) = 0 функции f тогда и только тогда, когда x0 — точка максимума (минимума) функции g.

T Определение. Функция L(x, ) = f(x) + (x), Rm, называется функцией Лагранжа, — вектор параметров.

Упражнение. Пусть A, B, C, D — матрицы размерностей, соответственно, k l, k t, l p, t p. Тогда C (A B) = AC + BD.

D Теорема 3.51 (необходимое условие условного экстремума). Пусть функция f определена и дифференцируема в окрестности U(x0), и ее производные непрерывны в точке x0. Пусть также на U(x0) существует и непрерывна матрица http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 40 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ частных производных, причем в точке x0 якобиан отличен от ну x x ля. Пусть x0 — точка условного экстремума f при условии (x) = 0. Тогда L существует единственный такой, что (x0, ) = 0.

x (x0) Доказательство. Из условия = 0 легко получить, что существует един x ственный вектор такой, что L(x0, ) f(x0) (x0) T = + = 0. (3.6) x x x L(x0, ) Осталось показать, что = 0 при найденном.

x По теореме 3.49 о неявной вектор-функции нескольких переменных в неко торой окрестности точки x0 существует единственное решение x = (x) урав нения (x) = 0. При этом:

- d(x0) (x0) (x0) = -. (3.7) dx x x По теореме 3.50 и следствию 3.5 получаем, что grad g(x0) = 0, где g(x) = = f(x (x)). Отсюда и из (3.6), (3.7) следует, что En-m f(x0) f(x0) d(x0) dg(x0) df(x0) 0 = = + = d(x0) = dx dx x x dx dx -f(x0) (x0) (x0) (x0) f(x0) (x0) L(x0, ) T T = + = + =.

x x x x x x x Теорема доказана.

Упражнение. Пусть матрица A имеет размерность mn, m n, rang A = m.

Тогда для любого z Kern A существует единственный вектор k Rm такой, T что z = A k.

Теорема 3.52. Пусть матрица A имеет размерность mn, m n, rang A = m, z Kern A и |z| 0. Тогда | A z| |z|.

T Доказательство. Квадратная матрица A A размерности m m невырождеT T на, поэтому квадратичная форма t A A t положительно определена (поскольT T T ку t A A t = | A t|2 ). Пусть S s > 0 — точные границы значений функции T T H(t) = t A A t на единичной сфере. Тогда T T T T |z|2 = k A A k = |k|2t A A t [s|k|2; S|k|2], Kern A = {y| A y = 0} — ядро линейного оператора с матрицей A.

3.8. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ T где t = k/|k|, k находится из уравнения z = A k. Аналогично, T T T | A z|2 = k A A A A k [s1|k|2; S1|k|2], T T T где S1 s1 > 0 — точные границы значений H1(t) = t A A A A t на единичной сфере. Отсюда следует, что |z|2 | A z|2.

Обозначим E = {x| (x) = 0}.

Теорема 3.53 (достаточное условие условного экстремума). Пусть f и опре делены и дважды дифференцируемы в окрестности точки x0 E. Пусть, кроме того, grad L(x0, ) = 0 при некотором, и для всех векторов y, удовлетворяющих равенству d(x0) y = 0, (3.8) dx d2L(x0, ) T квадратичная форма y y :

(dx)(a) положительна, тогда x0 — точка условного минимума f(x) при условии (x) = 0 ;

(b) отрицательна, тогда x0 — точка условного максимума f(x) при условии (x) = 0.

d(x0) Доказательство. Предположим, что M = = 0. Тогда условия (a) и (b) dx являются достаточными условиями экстремума функции L(x, ) в точке x0 по теореме 3.42. Но для всех x E имеем f(x) = L(x, ), поэтому x0 будет точкой условного экстремума для f(x) при условии (x) = 0.

Пусть теперь M = 0. Будем считать, что ранг этой матрицы равен m. Если это не так, то в исходной задаче рассмотрим только те k условий j (x) = = · · · = j (x) = 0, для которых векторы grad j (x0),..., grad j (x0) линейно k 1 k независимы, поскольку если x0 — точка условного экстремума f(x) при данных k условиях, то x0 будет точкой экстремума и при всех m условиях.

Пусть x = x - x0. Обозначим через y проекцию x на пространство Kern M. Тогда y - x ортогонально этому пространству, и, по теореме 3.52, |y - x| | M(y - x)| (3.9) при x 0. По формуле Тейлора для x E имеем 0 = (x) - (x0) = M x + o(|x|) (3.10) при x 0. Поскольку y удовлетворяет уравнению (3.8), из (3.10) и (3.9) получаем, что |y - x| | M(y - x)| = o(|x|), последнее слагаемое cуть вектор, каждая компонента которого есть o(|x|).

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 42 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ следовательно, x = y +, где i = o(|x|), i = 1, n.

Для x E по формуле Тейлора получаем, что f(x) - f(x0) = L(x, ) - L(x0, ) = (3.11) = grad L(x0, )x + D2(L; x0, x) + o(|x|2) при x x0. По условию теоремы grad L(x0, ) = 0. Кроме того, d2L(x0, ) d2L(x0, ) T T D2(L; x0, x) = (x) x = (y + ) (y + ) = (dx)2 (dx)d2L(x0, ) d2L(x0, ) d2L(x0, ) T T T = y y + 2y + = (dx)2 (dx)2 (dx) d2L(x0, ) d2L(x0, ) T T = |y|2t t + o(|y|2) = |x|2 t t + o(1), (dx)2 (dx)где t = y/|y|. Очевидно, что t удовлетворяет уравнению (3.8), поэтому функция d2L(x0,) T H(t) = t t сохраняет знак при выполнении условия (a) или условия (b).

(dx)В силу непрерывности H(t) на замкнутом ограниченном множестве {t| M t = = 0, |t| = 1} из полученных соотношений и формулы (3.11) получаем, что знак разности f(x) - f(x0) в достаточно малой окрестности x0 при x E совпадает со знаком H(t). Теорема доказана.

Пример. Пусть f(x) = x1 · · · xn при условии x1 + x2 + · · · + xn = 1. Для поиска условного экстремума находим grad L(x, ) = (f(x)/x1 +,..., f(x)/xn + ) = 0, откуда x0 = · · · = x0 = = 1/n. Условие (3.8) равносильно y1 + · · · + yn = 0.

1 n Далее, 0 n-n+2... n-n+ d2L(x0, ) n-n+2 0... n-n+T T y y = y y = -|y|2n-n+2 < 0.

(dx)...................

n-n+2 n-n+2... Поэтому f(x) достигает максимума в точке x1 = · · · = xn = 1/n. Отсюда сле дует, что x1 · · · xn (1/n)n и для любых yi 0, полагая xi = yi/ yi, легко i получаем, что n y1 · · · yn (y1 + · · · + yn)/n.

3.9 Вопросы для коллоквиума 1) Производная произведения, частного, обратной функции.

3.9. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА 2) Формула Лейбница.

3) Теорема о конечном приращении.

4) Правило Лопиталя.

5) Формула Тейлора и разложения exp, sin, cos, ln.

6) Достаточное условие экстремума (о смене знака производной).

7) Достаточное условие экстремума ( n -ая производная).

8) Неравенство Коши—Буняковского для скалярного произведения.

9) Неравенство Минковского.

10) Путь, обратный путь, склейка путей.

11) Диффеоморфизм, кривая.

12) Производная параметризованной кривой dy(t)/dx(t).

13) Частные производные, градиент.

14) Производная по направлению.

15) Дифференциал вектор-функции нескольких переменных, якобиан.

16) Биномиальная формула для dnf(x, y) ( x, y R ).

17) Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

18) Критерий Сильвестра.

19) Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

20) Производная неявной функции.

21) Условный экстремум.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров Глава Интегральное исчисление 4.1 Неопределенный интеграл 4.1.1 определение и свойства первообразной Определение. Промежутком мы будем называть любое множество X R, удовлетворяющее для некотрых a, b [R], a < b, неравенствам: (a; b) X [a; b]. То есть промежуток — это интервал, либо интервал с одной или обеими границами.

Определение. Пусть действительная функция f определена на промежутке. Если существует такая функция F, определенная на, что F = f на, то F называется первообразной функции f.

Теорема 4.1. 1. Если F — первообразная для f, то для любой C R функция F + C также является первообразной для f.

2. Если F1 и F2 — первообразные для f, то F1 - F2 = const.

Определение. Множество {F + C}CR всех первообразных функции f называется неопределенным интегралом функции f и обозначается f(x)dx или fdx.

Здесь f называется подынтегральной функией, а fdx — подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

1 ) d fdx = fdx ; dF = F + C Замечание. Под дифференциалом интеграла понимается дифференциал любого элемента семейства первообразных.

2 ) (f + g)dx = fdx + gdx 3 ) если постоянная k = 0, то kfdx = k fdx 4.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Таблица интегралов x+1. xdx = + C, = -1.

+ dx 2. = ln |x| + C.

x ax 3. axdx = + C, a > 0, a = 1 ; exdx = ex + C.

ln a dx 4. = arctg x + C.

1+x dx 5. = arcsin x + C.

1-x 6. sin xdx = - cos x + C.

7. cos xdx = sin x + C.

dx 8. = tg x + C.

cos2 x dx 9. = - ctg x + C.

sin2 x dx 1 x 10. = arctg + C.

x2+a2 a a dx x 11. = arcsin + C.

a a2-x dx 12. = ln(x + a2 + x2) + C.

a2+x 13. sh xdx = ch x + C.

14. ch xdx = sh xdx.

dx 15. = - cth x + C.

sh2 x dx 16. = th x + C.

ch2 x Замена переменной (независимость формы интеграла):

dx f(g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C f(x)dx = f(x) dt, dt где F — первообразная для f, а функция g диффренцируема.

Интегрирование по частям:

udv = uv - vdu; uv dx = uv - u vdx.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.