WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

3.2.4 формула Тейлора Теорема 3.17 (Тейлора—Пеано). Пусть f непрерывно дифференцируема (n-1) раз в окрестности точки x0 и n раз дифференцируема в точке x0. Тогда при x xf (x0) f(n)(x0) f(x) = f(x0) + f (x0)(x - x0) + (x - x0)2 + · · · + (x - x0)n + o ((x - x0)n), 2! n! где o ((x - x0)n) — остаточный член в форме Пеано.

Теорема 3.18 (Тейлора—Лагранжа). Пусть f имеет n+1 производную в окрестности x0. Тогда для любого x их данной окрестности существует (x; x0) (x0; x) такая, что f(n)(x0) f(n+1)() f(x) = f(x0) + f (x0)(x - x0) + · · · + (x - x0)n + (x - x0)n+1, n! (n + 1)! f(n+1)() где (x - x0)n+1 — остаточный член в форме Лагранжа.

(n+1)! http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 28 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3.3 Исследование функций 3.3.1 экстремумы Определение точки экстремума (локальный максимум и минимум), строгого экстремума (строгий максимум, минимум).

Теорема 3.19 (необходимое условие экстремума).

Если x0 — точка экстремума f, f определена в окрестности x0, существует f (x0), то f (x0) = 0.

Теорема 3.20 (достаточное условие экстремума).

Пусть f : U(x0) R, существует f (x) на U(x0). Тогда:

(a) если f меняет знак с + на - при переходе через x0, то x0 — точка строгого максимума (b) если f меняет знак с - на + при переходе через x0, то x0 — точка строгого минимума.

Теорема 3.21. Пусть f : U(x0) R, существует f(n-1)(x) на U(x0), для k = = 1, n - 1 f(k)(x0) = 0, существует f(n)(x0) = 0. Тогда 1) если n нечетно, то экстремума нет 2) если n четно, то экстремум есть, причем (a) если f(n)(x0) < 0, то строгий максимум (b) если f(n)(x0) > 0, то строгий минимум.

3.3.2 наибольшее и наименьшее значение Поиск точки на отрезке [a; b], где непрерывная функция f достигает своего максимума или минимума.

3.3.3 выпуклость и точки перегиба Определение выпуклой вверх и выпуклой вниз (вогнутой) на интервале функции.

Теорема 3.22. f дифференцируема на (a; b), тогда f выпукла вверх ( вниз ) f (x) убывает ( возрастает ).

Следствие 3.2. Если f дважды дифференцируема, то f выпукла вверх ( вниз ) f 0 (f 0).

Теорема 3.23. Если f дважды дифференцируема и f < 0 (f > 0), то f строго выпукла вверх ( вниз ).

Теорема 3.24. Если f дважды дифференцируема и f > 0, то для x = x0 f(x) > f (x0)(x - x0) + f(x0).

Определение точки перегиба.

3.4. ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ Теорема 3.25 (достаточный признак точки перегиба).

Пусть f дважды дифференцируема на (a; b) и f меняет знак при переходе через точку x0. Тогда x0 — точка перегиба.

Теорема 3.26 (необходимое условие точки перегиба).

Если f дважды дифференцируема и x0 — точка перегиба, то f (x0) = 0.

3.3.4 асимптоты Определение асимптот, нахождение их коэффициентов, примеры.

3.3.5 построение эскизов графиков 1) Область определения, непрерывности, точки разрыва и их тип, пределы в точках разрыва, пересечение с осями координат.

2) Симметрия и периодичность.

3) Производная, экстремумы, значения в точках экстремумов.

4) Интервалы монотонности.

5) Вторая производная, точки перегиба.

6) Участки выпуклости (вверх или вниз).

7) Углы наклона графика в характерных точках.

8) Асимптоты.

9) Эскиз графика.

[Пример.] 3.4 Введение в дифференциальную геометрию 3.4.1 пространство Rn и вектор-функции Определение линейного нормированного пространства, скалярного произведения. Некоторые свойства операций в линейном пространстве. Свойства нормы (неравенство, противоположное неравенству треугольника), свойства скалярного произведения.

Теорема 3.27 (Неравенство Коши—Буняковского). |(x, y)|2 (x, x)(y, y).

Теорема 3.28. ||x|| = (x, x) является нормой.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 30 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение. Углом между векторами x и y называется число (x, y) arccos.

||x|| · ||y|| Векторы x и y ортогональны (обознач: x y ), если (x, y) = 0 ; коллинеарны (обознач: x y ), если |(x, y)| = ||x|| · ||y|| ; сонаправлены (обознач: x y ), если (x, y) = ||x|| · ||y|| ; противоположно направлены (обознач: x y ), если (x, y) = = -||x|| · ||y||.

Определение Rn и операций в нем. Определение скалярного произведения векторов.

Теорема 3.29 (Неравенство Минковского).

n n n (xi + yi)2 x2 + yi i i=1 i=1 i=Отсюда следует, что | является нормой на Rn.

x| Определение. Вектор-функция — это функция вида:

= (a1(t), a2(t),..., an(t)), a(t) в случае трехмерного пространства чаще пишут (x(t), y(t), z(t)).

Вектор b называется пределом вектор-функции при t t0, если сущеa(t) ствует lim | - = 0.

b a(t)| ttВ частности, когда t пробегает множество натуральных чисел, получаем предел последовательности векторов.

Теорема 3.30. b ai(t) bi, i = 1, n.

a(t) Теорема 3.31. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, норма и скалярное произведение непрерывны.

Производная и дифференциал вектор-функции. Свойства производной.

1 ) ( + = (t) + a(t) b(t)) a b (t) 2 ) ((t) = (t) + (t) (t) a(t)) a(t) a 3 ) ( b(t)) = ( (t), + ( b (t)) a(t), a b(t)) a(t), 4 ) дифференцируема при любом i ai(t) дифференцируема a(t) 3.4.2 путь и кривая Определение. Путем в Rn будем называть любую непрерывную вектор-функцию, отображающую некоторый отрезок [a; b] в Rn.

3.4. ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ Определение носителя пути, обратного пути, склейки путей: ( µ)(t). Простой путь (инъективный).Элементарный путь — у которого все координаты выражаются как непрерывнфе функции от одной из координат.

[Пример с (x, y(x)) ] Определение пути k -го порядка гладкости, гладкого пути. Касательный вектор, касательная, вывод формулы касательной: (t-t0) a(t0). Особые точки.

a(t0) + Регулярный путь.

[Пример с (t2, t3) ] Диффеоморфизм, примеры. Эквивалентность путей, свойства. Определение кривой как класса эквивалентных гладких путей. Параметризация кривой — это любой путь, принадлежащий этой кривой (как классу эквивалентных путей).

Теорема 3.32. Касательная к кривой не зависит от ее параметризации.

Простая по отношению к координатной оси кривая — когда ее параметризация есть элементарный путь.

3.4.3 параметрическое дифференцирование Определение кривой на плоскости.

Теорема 3.33. Пусть y = (t), x = (t) – кривая, t [a; b],, непрерыв но дифференцируемы и (t) = 0 на [a; b]. Тогда существует yx = (t)/ (t) (dy/dx = (dy/dt)/(dx/dy)).

[пример с циклоидой] 3.4.4 кривизна простой кривой Определение. Пусть f(x) и g(x) — гладкие функции. Точка x0 называется точкой касания порядка k гладких элементарных путей (x, f(x)) и (x, g(x)), если f(i)(x0) = g(i)(x0), i = 0, k; f(k+1)(x0) = g(k+1)(x0).

Определение радиуса кривизны и кривизны простой по отношению к оси Ox кривой в данной точке. Эволюта. Формулы (без доказательства): радиус кривизны:

(1 + (y )2)3/R = ; k = 1/R;

|y | эволюта:

y (1 + (y )2) 1 + (y ) = x - ; = y +.

y y http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 32 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3.5 Частные производные 3.5.1 пространство Rn Повторение понятий, связанных с Rn и функциями из Rn в Rm : операции, скалярное проивзедение, норма, метрика, окрестности, открытые и замкнутые множества, пределы, непрерывность. Если этого не было ранее, то определение и вывод всех необходимых результатов.

3.5.2 частная производная и дифференцируемость f Определение частной производной, примеры. Частные производные высxi ших порядков, смешанные производные, обозначения. Геометрический смысл частной производной.

Для функций одной переменной из существования производной следует непрерывность. Контрпример для аналогичного утверждения в случае функции нескольких переменных:

xy, (x, y) = (0, 0), x2+yf(x, y) = (3.1) 0, x = y = 0.

Дифференцируемость функции n переменных:

f(x0) = f(x) - f(x0) = A1x1 + · · · + Anxn + o(|x - x0|).

Теорема 3.34. Если f дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в точке x0, у нее существуют все частные производные первого порядка и совпадают с коэффициентами Ai в выражении дифференциала.

Функция (3.1) является контрпримером к обратному утверждению. То есть из существования частных производных не следует дифференцируемость.

Определение непрерывной дифференцируемости.

Теорема 3.35. Если f непрерывно дифференцируема, то она дифференцируема.

3.5.3 геометрический смысл дифференциала, касательная плоскость Уравнение касательной плоскости к поверхности u(x, y) в точке (x0, y0, z0), z0 = u(x0, y0) :

ux(x0, y0)(x - x0) + uy(x0, y0)(y - y0) = z - z0.

3.5.4 дифференцирование сложной функции и независимость формы первого дифференциала Определение. Вектор-функция, определенная на Rn называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке дифференцируемы все ее координаты.

3.5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Теорема 3.36. Пусть (x) : U(x0) Rn, f : V (y0) R, где y0 = (x0), U(x0) — окрестность точки x0 Rm, V (y0) — окрестность точки y0, содержащая образ U(y0). Пусть h(x) = f((x)) и функции и f дифференцируемы в точках x0 и y0 соответственно. Тогда функция h дифференцируема в точке x0, причем n h f j = (y0) · (x0).

xi j=1 yj xi Теорема 3.37. Форма дифференциала df функции f(x1,..., xn) не зависит от того, являются ли переменные xi независимыми переменными или функциями от других переменных, и имеет вид:

n f df = dxi.

xi i=Следствие 3.3. d(u + v) = du + dv, d(uv) = udv + vdu, d(u/v) = (vdu - udv)/v2, где u, v — функции от x1,..., xn.

2u 2u [Пример волнового уравнения для функции u(x, t) a2 =, его сведение к x2 t2v уравнению вида = 0 линейной заменой координат: = x - at, = x + at.

Подчеркнуть, что используется условие независимости порядка дифференцирования (т.е. v = v ).] 3.5.5 производная по направлению, градиент Определение производной по направлению, градиента. Градиент grad f в матричной форме записывается как вектор-строка:

f f grad f =.... (3.2) x1 xn Градиент указывает направление наибольшего роста функции. Обозначим dx = (dx1,..., dxn). В матричной форме дифференциал, как и обычный вектор, записывается как столбец. Отсюда следует, что производная вектор-функции одной пеменной в матричной форме также представляется столбцом:

a1(x) a (x) d..

..

=. (3.3)..

dx an(x) a (x) n Тогда df = (grad f, dx) = grad f · dx (первое произведение — скалярное, второе — матричное). Отсюда второе обозначение градиента: df/dx (производная функции f ). Для вектор-функции (x) = (1(x),..., k(x)) получаем:

d = ((grad 1, dx),..., (grad k, dx)).

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 34 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Производная вектор-функции (матрица Якоби, матрица частных производных):

1 1 · · · x1 x2 xn 2 2 d · · · x1 x2 xn = (3.4) dx..............

k k k · · · x1 x2 xn (сравнить с градиентом (3.2) при k = 1 и с производной вектор-функции от d одной переменной (3.3) при n = 1 ). Тогда: d = · dx (матричное произведе dx ние).

Если k = n, то определитель матрицы частных производных называют якобианом.

[Пример с полем c/|, c = const > 0.] r| Если частные производные берутся не по всем аргументам, а лишь по некоторым из них xi,..., xi, m < n и i1 < · · · < im, то тогда матрица частных 1 m производных обозначается так:

1 1 · · · xi1 xi2 xim 2 2 · · · xi1 xi2 xim =.

(xi,..., xi ) 1 m...............

k k k · · · xi1 xi2 xim Если k n, то всегда определена квадратная матрица, определи(x1,..., xk) тель которой также называют якобианом.

3.5.6 независимость производной от порядка дифференцирования Теорема 3.38. Если в окрестности точки (x0, y0) существуют производные fx, fy, fxy, fyx и в точке (x0, y0) производные fxy, fyx непрерывны, то fxy(x0, y0) = = fyx(x0, y0).

[Пример с функцией xy(x2 - y2)/(x2 + y2).] 3.5.7 дифференциалы высших порядков Второй дифференциал:

d2f = d(df) = d(grad f, dx) = (d grad f, dx) + (grad f, d2x).

В случае, если x — независимая переменная, d2x = 0, поэтому:

n n 2f d2f = · dx = dxidxj.

(grad fx, dx) · · · (grad fx, dx) 1 n xixj i=1 j=3.6. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Форма второго дифференциала является независимой только в случае, если все переменные xi являются линейными функциями от других переменных.

Т. е. если x = At + c, где A — матрица из n строк и k столбцов, c — векторконстанта, то d2x = d(Adt) = d2t = 0.

3.5.8 формула Тейлора Общий вид дифференциала порядка p функции f(x1,..., xn) :

pf(x) dpf(x) = dxi... dxi.

1 p xi... xi 1 p 1 i1,...,ip n Дифференциальный оператор порядка p от функции f(x1,..., xn) :

pf(x) Dp(f; x, t) = ti... ti.

1 p xi... xi 1 p 1 i1,...,ip n Ясно, что dpf = Dp(f; x, dx).

Теорема 3.39 (Тейлора). Пусть f в окрестности точки x0 имеет все частные производные порядка p. Тогда имеет место формула Тейлора:

D1(f; x0, x) Dp-1(f; x0, x) Dp(f; x0 + x, x) f(x) = f(x0) + + · · · + +, 1! (p - 1)! p! где x = x - x0, (0; 1).

Следствие 3.4. Пусть f в окрестности точки x0 имеет все частные производные порядка p, и эти производные непрерывны. Тогда при x xD1(f; x0, x) Dp(f; x0, x) f(x) = f(x0) + + · · · + + o(|x|p), 1! p! 3.6 Экстремумы функции нескольких переменных Определение локального [строгого] экстремума.

Теорема 3.40 (необходимое условие экстремума). Если в точке x0 функция f f f имеет экстремум и частную производную, то (x0) = 0.

xi xi Следствие 3.5. Если в точке x0 функция f имеет экстремум и дифференцируема в этой точке, то grad f(x0) = 0.

T Определение квадратичной формы: x A x, где A — квадратная матрица.

T Форма x A x положительно определена, если она положительна для всех x Rn\{0}, отрицательно определена, если она отрицательна для всех x Rn\{0}, а если знаки разные — не определена.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 36 ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ T Теорема 3.41 (критерий Сильвестра). Форма x A x положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A положительны.

T Форма x A x отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров чередуются начиная с минуса.

D2(f; x, t) — квадратичная форма с матрицей 2f(x) 2f(x) 2f(x) · · · x1x1 x1x2 x1xn 2f(x) 2f(x) 2f(x) d2f(x) d · · · T x2x1 x2x2 x2xn = (grad f) = (dx)2 dx...................

2f(x) 2f(x) 2f(x) · · · xnx1 xnx2 xnxn d2f(x) T То есть D2(f; x, t) = t t.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.