WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

Пусть (x) — некоторое свойство объекта x (например, (x) [x A] или (x) [x = ] ). Тогда квантор {x| (x)} обозначает множество всех тех объектов x, для которых свойство (x) истинно.

[арифметические примеры] Пример. (парадокс Расселла) Поскольку при определении множеств не накладывается никаких ограничений, мы вправе рассмотреть следующее множество:

R = {x : x x}. Легко проверить тогда, что само множество R не может как / принадлежать самому себе, так и не принадлежать. Оба предположения приводят к противоречию.

Замечание. Этот парадокс и родственные ему пардоксы из логики и теории множеств заставляют нас принимать некоторые ограничения на понятие множества. Эти ограничения обычно записывают в виде правил построения множеств, отправляясь о пустого множества, и называют аксиомами. Таковы аксиоматические теории множеств Цермело—Френкеля (ZF) и Гёделя—Бернайса (GB). Вводя далее основные конструкции множеств мы по сути придерживаемся рамок этих аксиом.

Exp(X) = {M| M X} — степенное множество.

[примеры для конечных множеств и количество элементов в экспоненте] Пересечение (умножение): A B ( AB ).

Объединение (сумма): A B ( A + B ).

Разность: A \ B.

Дополнение: \A (показать, что A \B = A \ B ).

[примеры с кругами Вейля, конечными множествами, арифметические] Понятие упорядоченной пары объектов: (a, b). (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Если a = b, то (a, b) = (b, a). Здесь порядок уже существенен и следует отличать пару (a, b) от множества {a, b}, которое обычно называют двоеточием. У.п. можно определить (по Куратовскому) как множество {{a, b}, {a}} (все сводится к множествам!).

Прямое произведение: A B.

[пример с плоскостью, прямоугольником и цилиндром] Подмножество пар R A B называется соответствием (отношением) элементам множества A элементов множества B.

Пример. Пусть C — множество процессоров, F — числовое множество. Тогда каждому процессору c C соответствует несколько значений f1, f2,... частот ядра (в GHz, например), на которых оно может работать: c f1, c f2,... Это означает, что пары (c, f1), (c, f2),... принадлежат множеству R C F, ко1.2. ФУНКЦИИ торое является соответствием процессоров и частот их ядра. Неработающему процессору не соответствует ни одна частота.

Если A = B, то соответствие R A B называется отношением на A.

[пример: знакомство людей друг с другом] Обычно вместо (x, y) R пишут x R y, а само отношение R обозначают каким-либо экзотическим символом, например, x < y, x y, x y.

dom R — область определения (domain) отношения R ; ran R — область значений (range) отношения R.

[примеры] В заключение основные используемые множества: N (с единицы), Z, Q, R. Множество R позже будет определено более строго.

1.2 Функции Определение. Если f каждой точке непустого множества A ставит в соответствие один и только один элемент множества B, то f называется функцией из A в B. Обозначение: f : A B.

Отметим, что для произвольного соответствия возможны следующие три случая: (a) точке a A не поставлен в соответствие никакой элемент B, (b) точке a A поставлен в соответствие ровно один элемент B, (c) точке a A поставлено в соответствие более одного элемента B. Для функции — только второй вариант (b)! Если f ставит в соответствие элементу a A элемент b B, то пишут f :

a b или f(a) = b, при этом элемент a называется аргументом функции f, а элемент b называется значением функции f в точке a. Областью определения функции f : A B является множество A.

Определение. Если ran f = B, то говорят, что функция f действует из A на B или что f является сюрьекцией. Если f : A B принимает различные значения при разных аргументах ( a1 = a2 f(a1) = f(a2) ), то f называется инъекцией или «отображением ‘в’». Если f одновременно сюрьекция и инъекция, то f называется биекцией или взаимно однозначным соответствием.

Если f : A B биекция, то пишем f : A B.

[примеры разных функций] Множества X и Y эквивалентны ( X Y ) или равномощными, если они оба пустые, либо оба непустые и существует биекция f : A B. Если X N, то X называется счетным. Если X {1, 2,..., n} при некотором n N, то X называется конечным. Конечное, либо счетное множество называется не более чем счетным.

[ N 2N, Z счетно, Q счетно] Сужением функции f : A B на множество C A называется функция, которая определена на C и принимает в его точках ровно те же значения, что и функция f. Обозначение: f|C.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 10 ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ [пример] 1.2.1 способы задания функций 1. Аналитический. Если есть некоторая формула (свойство) (x, y), связывающая переменные x X и y Y, то можно определить множество пар R = {(x, y)| (x, y)}, которое будет соответствием элементов множества X и множества Y. Пусть A = dom R. Тогда R будет также и соответствием элементов множеств A и Y. Если полученное соответствие оказалось функцией R: A Y, то мы говорим, что функция R задана аналитически (т. е. с помощью формулы, выражающей зависимость переменных x и y ).

[примеры с формулами y = x2, x = y2, x2 + y2 = 1 ] 2. Табличный. Функцию f : A B можно задать при помощи таблицы, указав явно для каждого элемента a A, какой элемент b B ему соответствует.

[пример] 3. Числовую функцию ( f : R R ) можно задать графически, явно начертив ее в декартовой плоскости координат, либо поверхность для f : R2 R.

[пример] 4. Явный способ задания. В этом случае явно выписывается формула, по которой вычисляется значение функции в зависимости от аргумента. Например, f(x) = sin(x) + ex.

1.2.2 последовательности и кортежи Последовательностью элементов множества A называется функция, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая значения из A. В этом случае аргумент (натуральное число) принято приписывать нижним индексом: xn — n -ое значение последовательности x со значениями в множестве A. Способ записи последовательности: {xn}, либо (x1, x2,... ) Например, n=(0.2, 0.4, 0.8, 0.16,... ).

Подпоследовательность: сужение последовательности на бесконечное подмножество N. Пусть {nj} — возрастающая последовательность натуральных j=чисел. Ее значения образуют подмножество в N ( ran n N ). Построим сужение x на множество ran n. Тогда {xn } — подпоследовательность последоваj j=тельности x. Если в предыдущем примере взять подпоследовательность с четными номерами, то получим новую последовательность (0.4, 0.16, 0.64, 0.256,... ).

Кортеж — это функция, заданная на первых нескольких натуральных числах: x : {1, 2,..., n} M, обозначение: (x1, x2,..., xn). Кортеж также называется упорядоченным набором элементов. Множество всех кортежей длины n, для которых x1,..., xn M, обозначается Mn.

Mn = {(x1,..., xn)| x1,..., xn M}.

Если аргументами функции f являются кортежи фиксированной длины n, то говорят, что функция f зависит от n аргументов: f(x1,..., xn).

[пример] 1.3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА По аналогии с определением отношения, данным ранее, можно ввести понятие k -арного отношения на M как подмножества Mk. k -арной операцией на множестве M называется функция из Mk в M.

[примеры, показать связь с отношением] Здесь же добавить метод математической индукции.

[пример: (1 + x)n 1 + xn для n 1, x -1 ] 1.3 Действительные числа Теоретико-множественный и, в частности, функциональный аппарат является мощным средством для построения и изучения математических объектов (или математических структур). Мы рассмотрим построение числовых множеств с точки зрения потребностей в расширении их по мере введения новых операций над числами.

1.3.1 иерархия числовых множеств Натуральные числа в теории множеств строятся из пустого множества рекурсивно. При этом мы полагаем 1 = {}, 2 = {1, }, 3 = {2, 1, }, и так далее.

Мы не будем определять здесь стандартные операции сложения и умножения натуральных чисел.

Определение. Структурой называется кортеж (M, Rel, Op, F unc, F, µ), где M — произвольное множество (носитель структуры), Rel — набор отношений на M, Op — набор операций на M, F unc — набор функций, определенных на M или его степенях, F — набор подмножеств множества Exp(M), µ — набор функций, определенных на множествах из F.

Структура (N, +, ·) — это натуральные числа с заданными на нем стандартными бинарными операциями сложения и умножения. Плюс, можно рассмотреть отношение <, упорядочивающее натуральные числа по величине. Тогда речь идет о структуре (N, <, +, ·) Понятие нейтрального и обратного элементов и необходимость пополнения множества N до множества Z в связи с операцией сложения. Пополнение до Q в связи с операцией умножения.

Определение. Бинарное отношение R на множестве M называется отношением линейного порядка, если (a) для любых x, y M : x R y или x = y или y R x (связность), (b) для любого x M : не верно x R x (антирефлексивность), (c) для любых x, y, z M : если x R y и y R z, то x R z (транзитивность).

Обычно линейный порядок обозначают <.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 12 ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ 1.3.2 определение действительных чисел Определение. Пусть (M, <) — линейно упорядоченное множество. Если M можно представить в виде объединения множеств A и B таких, что для любых a A, b B имеет место a < b, то пара (A, B) называется сечением множества M. Сечение обозначается A|B.

Неполнота множества рациональных чисел.

[пример с 2, его иррациональность] Указание на построение множества действительных чисел как совокупности всех сечений (без подробностей).

Теорема 1.2. Множество Q можно пополнить до множества R действительных чисел с операциями + и ·, отношением <, которые обладают следующими свойствами:

1. x, y R : x + y = y + x (коммутативность сложения) 2. x, y, z R : (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения) 3. 0 R : x R : x + 0 = x (нейтральный элемент — ноль) 4. x R : - x R : x + (-x) = 0 (обратный элемент) 5. x, y R : x · y = y · x (коммутативность умножения) 6. x, y, z R : (x · y) · z = x · (y · z) (ассоциативность умножения) 7. 1 R : x R : x · 1 = x (нейтральный элемент — единица) 8. x R \ {0} : x-1 R : x · x-1 = 1 (обратный элемент) 9. x, y, z R : x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (дистрибутивность) 10. x R : x < x (антирефлексивность) 11. x, y, z R : (x < y) (y < z) (x < z) (транзитивность) 12. x, y R : (x < y) (x = y) (x > y) (связность) 13. x, y, z R : (x < y) (x + z < y + z) (связь + и <) 14. x, y, z R : (x < y) (z > 0) (x · z < y · z) (связь · и <) 15. если A|B — сечение R, то x R : a A, b B : a x b (непрерывность, полнота) [без доказательства, комментарии к аксиомам 1.–15.] Определение. Структура (R, <, +, ·) называется полем действительных чисел.

Определение и свойства функции |x| : |x| 0 ; |x| = 0 x = 0 ; |xy| = |x||y| ;

|x + y| |x| + |y| ; |x - y| ||x| - |y||.

Операции на подмножествах R : X + Y = {x + y| x X, y Y } и т. п. Аналогично сравнения: c X x X : c x и т. п.

1.3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1.3.3 ограниченные множества Определение ограниченных снизу или сверху множеств, верхней и нижней граней, точной верхней и точной нижней граней.

Теорема 1.3. Если X R ограничено сверху, то существует sup X R ; если X R ограничено снизу, то существует inf X R.

Теорема 1.4. Теорема 1.3 эквивалентна аксиоме непрерывности.

-окрестность точки x : U(x) = (x - ; x + ). Проколотая окрестность:

U(x) = (x -, x) (x, x + ). Окрестность бесконечности.

Свойства inf, sup :

1 ) s = sup X (s X) ( > 0 : U(s) X = ) 2 ) s = inf X (s X) ( > 0 : U(s) X = ) 3 ) если X Y, Y — ограниченное, то sup X sup Y и inf X inf Y 4 ) sup(X + Y ) = sup X + sup Y ; inf(X + Y ) = inf X + inf Y 5 ) sup(-X) = - inf X; inf(-X) = - sup X 6 ) sup |X| = max{| sup X|, | inf X|} 7 ) sup |X - X| = sup X - inf X Аксиомы метрики:

M1 (x, y) 0 и (x, y) = 0 x = y ;

M2 (x, y) = (y, x) ;

M3 (x, z) (x, y) + (y, z) (неравенство треугольника).

Определение евклидовой метрики (x, y) в пространстве Rn и ее свойства.

Определение -окрестности в Rn :

U(x) = {y Rn| (x, y) < }.

Замкнутый шар с центром x и радиусом r : B(x, r).

Определение ограниченного множества в Rn. Примеры множеств в Rn и функций вида f : Rn Rm.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 14 ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ 1.4 Вопросы для коллоквиума 1) Определить операции,, \ и отношение = на множествах через отношение принадлежности.

2) Построить Exp({a, b, c}) 3) Дать определение отношения и следующих его видов: линейный порядок, отношение эквивалентности.

4) Дать определение функции и последовательности.

5) Бином Ньютона.

6) Доказать иррациональность 2.

7) Неравенство треугольника и противоположное ему, для модуля действительного числа.

8) Определение граней и точных граней множеств действительных чисел.

Глава Теория пределов 2.1 Предел последовательности 2.1.1 определение и свойства, число e Определение предела последовательности действительных чисел, в том числе и на языке окрестностей, эквивалентность определений. Выражение ‘почти все’.

Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности, эквивалентность этого аксиоме непрерывности.

Свойства пределов:

1 ) xn a, yn b, тогда xn + yn a + b 2 ) xn a, yn b, тогда xnyn ab 3 ) xn a, yn b, yn = 0, b = 0, тогда xn/yn a/b 4 ) xn a < b, тогда почти все xn < b 5 ) xn a, тогда |xn| |a| 6 ) xn a, yn b, почти все xn yn, то a b 7 ) (лемма ‘о двух милиционерах’) xn yn zn, xn, zn a, тогда yn a Пример. Определение числа e через последовательность, доказательство существования: монотонность:

n n n k 1 n 1 n - j + 1 + = = 1 +, n k nk nj k=0 k=1 j= n n+n - j + 1 n + 1 - j + 1 1 1 + 1 +, nj (n + 1)j n n + ограниченность:

n n n - j + 1 1 1 1 +.

nj j n k! k=16 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ( e 2.71828 ) [Практика: индукция и определение предела] Теорема 2.1 (о вложенных отрезках).

Если [an; bn] [an+1; bn+1] для всех n N и bn - an 0, то [an; bn] = {c} n и an c, bn c при n.

Теорема 2.2 (критерий Коши). {xn} сходится тогда и только тогда, когда n=для любого > 0 существует N такой, что для любых n, m > N выполняется неравенство |xn - xm| <.

2.1.2 бесконечно малые, бесконечно большие величины, их иерархия Символы o, O, отношение, свойства бесконечно малых (б.м.в.) и бесконечно больших величин (б.б.в.):

1 ) o(const) = o(1) 2 ) o(1) + o(1) = o(1) 3 ) o(1) · O(1) = o(1) 4 ) o(1) = O(1) 5 ) xn a xn - a = o(1) 6 ) xn (xn = 0) — б.б.в. (xn)-1 = o(1) 7 ) 1/n2 1/n 1/ n 1 n n nОтношения и на последовательностях.

2.1.3 частичные пределы Определение, примеры. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.