WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||

n=Теорема 6.15 (предельный переход). Пусть x0 — предельная точка X. Если ряд un(x) сходится равномерно на X и для любого n существует предел n= lim un(x) = cn, то существует и предел lim u(x) равный сумме ряда cn.

n=xx0 xx6.2.2 интегрирование и дифференцирование рядов Обозначения заимствуем из предыдущего раздела.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 90 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ Теорема 6.16 (интегрирование). Если ряд un(x) сходится равномерно на n=отрезке [a; b], функции un(x) непрерывны на [a; b], тогда сходится ряд b b un(x)dx = u(x)dx.

a a n= Теорема 6.17 (дифференцирование). Если ряд un(x) сходится равномерно n=на отрезке [a; b], функции un(x) непрерывно дифференцируемы на [a; b] и ряд из производных u (x) сходится равномерно на [a; b], то u(x) дифференn=1 n цируема на [a; b] и u (x) = u (x).

n n=6.2.3 признаки равномерной сходимости Теорема 6.18 (Вейерштрасс). Если для всех x X и всех n N имеют ме сто неравенства |un(x)| an и ряд an сходится, тогда ряд un(x) n=1 n=сходится равномерно.

[привести примеры] Теорема 6.19 (признак Дирихле). Если частные суммы sn(x) равномерно по n и x ограничены, а vn(x) монотонно по n и равномерно по x стремится к нулю, то ряд un(x)vn(x) сходится равномерно на X.

n=[сравнить с теоремой 4.40] Теорема 6.20 (признак Абеля). Если ряд un(x) сходится равномерно на n=X, а vn(x) равномерно по n и x ограничены и монотонны по n, то ряд un(x)vn(x) сходится равномерно на X.

n=[сравнить с теоремой 4.41] Пример. сходимость ряда n-1 sin(nx), 0 < x 2 - n=6.3 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида an(x - x0)n. Даn=лее рассматриваем случай только x0 = 0.

Теорема 6.21. Для любого степенного ряда anxn существует число R таn=кое, что в интервале (-R; R) этот ряд сходится, а на множестве R \ [-R; R] расходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда anxn.

n=1 ) число R может быть найдено как предел lim |an/an+1|, если таковой n существует 6.3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2 ) число R может быть найдено как предел lim |an|-1/n, если таковой суn ществует 3 ) на любом отрезке [a; b] (-R; R) ряд anxn сходится равномерно n= 4 ) на интервале (-R; R) функция f(x) = anxn бесконечно дифференn=цируема, причем an = f(n)(0)/n! 5 ) ряд anxn можно почленно интегрировать на любом отрезке [a; b] n=(-R; R) Если функция f(x) может быть представлена в виде степенного ряда на некотором открытом множестве, то она называется аналитической на этом множестве.

Пример. Разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора: ex, sin(x), cos(x), ln(1 + x).

Пример. Вычисление числа /4 с помощью разложения в ряд функции arctg(x) в окрестности единицы.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров Глава Основы ТФКП 7.1 Комплексная переменная и функции от нее 7.1.1 комплексные числа и действия над ними 7.1.2 пределы комплексных последовательностей 7.1.3 функции к.п.

7.1.4 дифференцирование ф.к.п.

7.1.5 интегралы от ф.к.п., формула Коши 7.2 аналитические функции 7.2.1 степенной ряд, круг сходимости 7.2.2 единственность а.ф.

7.2.3 аналитическое продолжение 7.2.4 элементарные функции 7.3 Ряд Лорана 7.4 Вычеты 7.5 Конформные отображения

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.