WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

Если две поверхности S1 и S2 ориентированы некоторым способом, их границы ориентированы положительно, S1 и S2 пересекаются лишь по части своих границ, причем граничные контуры на этом пересечении ориентированы в противоположные стороны, то говорят, что S1 и S2 согласованно ориентированы.

Заметим, что если ориентированную гладкую поверхность разрезать на два куска вдоль некоторой гладкой кривой, то мы получим две согласованно ориентированные поверхности.

В более общем случае, если поверхность S — кусочно-гладкая, то она называется ориентируемой, если все ее куски можно ориентировать так, что любые два смежных куска будут согласованно ориентированы. В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые поверхности, если не оговорено противное.

Пример. Куб и сфера — ориентируемые поверхности, лист Мёбиуса — нет.

5.4.5 п.и. 2-го рода Пусть S — гладкая поверхность. Рассмотрим дифференциальную форму = P dydz + Qdzdx + Rdxdy.

Здесь, как и раньше (см. стр. 76) для исчисления дифференциальных форм мы пользуемся правилами перемножения дифференциалов как векторов. Таким образом, вектор dydz направлен вдоль первой орты, вектор dzdx — вдоль j, вектор dxdy — вдоль k.

Пусть W = (P, Q, R). Тогда = (W, n) EG - F dudv = (W, n)dr.

Определение. Поверхностный интеграл 1-го рода (W, n)dr называется по S верхностным интегралом 2-го рода вектор-функции W по внешней стороне поверхности S и обозначается P dydz + Qdzdx + Rdxdy =.

S+ S+ http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 82 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ По определению положим также, что = -.

S- S+ Если вектор-функция W задана на кусочно-гладкой поверхности, то ее интеграл вычисляется как сумма интегралов по кускам.

5.4.6 вычисление п.и. 2-го рода Часто нормаль n к поверхности S задают углами между этой нормалью и осями координат: — угол между n и, — угол между n и j, — угол между n и k, тогда координатами n являются направляющие косинусы: n = = (cos, cos, cos ). Поэтому = (P cos + Q cos + R cos )dr.

S+ S Из определения п.и. 2-го рода можно получить и его формулу вычисления через повторный интеграл:

(y, z) (z, x) (x, y) = P + Q + R dudv, S+ D (u, v) (u, v) (u, v) (z,x) где r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Отметим также, что якобиан = -(x,z).

(u,v) (u,v) Пример. рассмотреть поверхность, заданную графиком функции z = f(x, y).

5.4.7 формула Стокса Эта формула обобщает формулу Грина на случай, когда кривая и ограниченная ею область лежат на некоторой гладкой поверхности.

Теорема 5.15 (Стокса). Пусть S — гладкая второго порядка поверхность, вектор функция W определена и непрерывна на области G R3, содержащей в себе носитель S. Пусть также на носителе S задан кусочно-гладкий замкнутый контур, ограничивающий односвязную область поверхности S и положительно ориентированный. Тогда справедлива формула Стокса:

P dx + Qdy + Rdz = (Ry - Qz)dydz + (Pz - Rx)dzdx + (Qx - Py)dxdy.

Если, как и раньше обозначить = P dx + Qdy + Rdz и воспользоваться аксиомами исчисления дифференциальных форм, то формула Стокса принимает вид:

= d, где под следует понимать положительно ориентированную границу поверхности.

5.5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 5.4.8 формула Гаусса—Остроградского Это — формула, аналогичная формуле Грина, но в ней все рассматриваемые объекты имеют размерность на 1 больше: вместо кривой — поверхность, вместо формы первого порядка — форма второго порядка, вместо криволинейного интеграла — поверхностный.

Ранее мы оговаривали, что на плоскости замкнутый контур принято ориентировать против часовой стрелки, и это направление обхода называть положительным. Аналогично, в пространстве замкнутая поверхность (без края) ориентируется по умолчанию так, что вектор нормали направлен от поверхности во внешнюю сторону, и эта ориентация называется положительной.

Теорема 5.16. Пусть S — кусочно-гладкая поверхность без края (замкнутая), ограничивающая односвязную2 область D R3, на [D] определена непрерывно дифференцируемая форма второго порядка. Тогда справделива формула Гаусса—Остроградского:

= d.

S+ D Если = P dydz + Qdzdx + Rdxdy, то d = (Px + Qy + Rz)dxdydz.

Следствие 5.4. Объем тела D может быть вычислен через его поверхность S по формуле V = dxdydz = xdydz + ydzdx + zdxdy.

D 3 S+ 5.5 Элементы теории поля Здесь мы по большей части переложим все полученные ранее результаты на терминологию теории поля.

Полем на какой-либо области пространства Rn (обычно n = 2, 3 ) будем называть любую непрерывную функцию на ней. Поле называется скалярным, если его значения одномерны (число), векторным — если многомерны (вектор).

Пусть задано поле U(x, y, z) и некоторый вектор l единичной длины. Пусть M = M0 + l, где M0 — некоторая точка пространства, а M — произвольная точка, удаленная от M0 на расстояние в направлении l. Если существует предел U U(M) - U(M0) = lim, l то он называется производной поля U по навправлению l.

Пусть поле U непрерывно дифференцируемо в окрестности точки M0. Тогда производная по любому направлению l в точке M0 существует и равна скалярному произведению (grad U, l) или проекции градиента поля на направление l. Отсюда видно также, что наибольший рост поля в точке M0 достигается в направлении градиента и равен | grad U|.

Аналогично случаю R2 односвязную область в R3 можно определить с помощью замкнутых поверхностей.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 84 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛОВ Градиент скалярного поля суть векотрное поле. Существует терминология, связывающая эти два поля друг с другом. Обозначим E = grad U. Тогда E называется напряженностью поля U, а U называется потенциалом поля E.

Если векторное поле имеет потенциал, то оно называется потенциальным.

Пример. Гравитационное и электрическое поля.

Криволинейный интеграл 2-го рода (E, d по замкнутому кусочно-гладкому s) контуру называется циркуляцией поля E вдоль контура.

Теорема 5.17. Поле E потенциально тогда и только тогда, когда его циркуляция по любому кусочно-гладкому контуру равна нулю.

Пример. Поле x + y потенциально, а поле y - x — нет.

j j Поверхностный интеграл (E, n)dr называют потоком векторного поля E S через поверхность S в направлении нормали n.

Пусть E = (P, Q, R). Тогда вектор rot E = (Ry - Qz) + (Pz - Rx) + (Qx - Py)k j называется ротором или вихрем поля E. Ротор может быть записан с помо щью символьного вектора производных = + j + k в виде векторного x y z произведения [, E]. Заметим, что для скалярного поля U произведение U представляет собой grad U.

Пример. найти роторы из предыдущего примера Теорема 5.18. В односвязной области непрерывно дифференцируемое поле потенциально тогда и только тогда, когда его ротор равен нулю.

Формула Стокса в терминах теории поля принимает следующий вид: поток вихря через поверхность в направлении нормали n равен циркуляции поля вдоль края поверхности :

(rot E, n)dr = (E, d s).

Дивиргенцией поля E = (P, Q, R) называется величина E = Px + Qy + Rz.

По формуле Гаусса—Остроградского поток поля E через замкнутую поверхность S, ограничивающую область D, в направлении внешней нормали равен (E, n)dr = Edxdydz.

S D Непрерывно дифференцируемое поле E называется соленоидальным, если его дивиргенция равна нулю.

Пример. соленоидальное поле y - x j 5.6. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА Теорема 5.19. В односвязной области D непрерывно дифференцируемое поле E соленоидально тогда и только тогда, когда его поток через любую кусочногладкую замкнутую поверхность, лежащую в D, равен нулю.

5.6 Вопросы для коллоквиума 1. Кратный интеграл Римана и сведение его к повторному на плоскости и в пространстве.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода и его вычисление.

3. Ориентация контура, криволинейный интеграл 2-го рода и его вычисление.

4. Формула Грина, вычисление площади плоской области через криволинейный интеграл.

5. Замена переменной в кратном интеграле.

6. Поверхностный интеграл 1-го рода и его вычисление.

7. Ориентация поверхности, поверхностный интеграл 2-го рода и его вычисление.

8. Формула Стокса.

9. Формула Гаусса—Остроградского.

10. Потенциальное поле, градиент скалярного поля.

11. Поток, вихрь (ротор).

12. Дивиргенция, соленоидальное поле.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров Глава Основы теории рядов 6.1 Числовые ряды 6.1.1 основные свойства рядов Пусть задана последовательность {an}.

n= Определение. Символическая запись a1 + a2 +... или an называется ряn=дом.

Частная сумма ряда: sn = a1 + · · · + an. Формула, выражающая значение an через номер n, называется общим членом ряда. Если существует предел частных сумм ряда (в R или [R] ), то ряд называют сходящимся (соответственно, в R или в [R] ), в противном случае — расходящимся. Иногда в случае lim sn = говорят, что ряд расходится к бесконечности.

Если ряд сходится, то значение предела частных сумм называют суммой ряда и приравнивают его к символу ряда.

Пример. геометрическая прогрессия, «дурная» бесконечность, 1-1+1-1+...

1 ) для любой константы c : can = c an n=1 n= 2 ) если сходятся ряды an и bn, то сходится ряд (an + bn) и n=1 n=1 n=его сумма равна сумме исходных рядов 3 ) если ряд an сходится, то an n= rn = — n -ый остаток ряда.

k=n+4 ) если ряд сходится, то rn Теорема 6.1 (критерий Больцано—Коши). Ряд an сходится тогда и только n=тогда, когда для любого > 0 существует N такое, что для всех n N и всех натуральных p |sn+p - sn| < (словами: любой достаточно далекий отрезок ряда сколь угодно мал).

Пример. расходимость гармонического ряда, -функция Римана 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 6.1.2 ряды с неотрицательными членами Рассматривается ряд an, an 0.

n= 1 ) ряд an сходится тогда и только тогда, когда последовательность n=частных сумм ограничена 2 ) если an bn и ряд bn сходится, то сходится и ряд an n=1 n= 3 ) пусть an/bn K, тогда при K = 0 из сходимости ряда bn следуn= ет сходимость an (обратное неверно), при K = из сходимости ряда n= an следует сходимость bn (обратное неверно), при 0 < K < схоn=1 n=димость обоих рядов равносильна Теорема 6.2 (признак Даламбера). Если начиная с некоторого n имеем an+ qan, где постоянная q < 1, то ряд an сходится.

n=Следствие 6.1. Если an+1/an q, то при q < 1 ряд сходится, при q > 1 — расходится.

n Теорема 6.3 (признак Коши). Если начиная с некоторого n имеем an q < 1, то ряд an сходится.

n= n Следствие 6.2. Если an q, то при q < 1 ряд сходится, при q > 1 — расходится.

Теорема 6.4 (признак Раабе). Если начиная с некоторого n an n = n - 1 > 1, an+ то ряд an сходится.

n=Следствие 6.3. Если n, то при > 1 ряд сходится, при < 1 — расходится.

Теорема 6.5 (интегральный признак). Если an = f(n), где f(x) — непрерыв ная убывающая функция, то ряд an сходится или расходится вместе с n= интегралом f(x)dx.

Пример. область существования -функции Римана 6.1.3 дальнейшие свойства произвольных рядов 1 ) признак Лейбница: если неотрицательные an 0, то ряд (-1)nan n=сходится.

Ряд an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |an|.

n=1 n=2 ) если ряд сходится абсолютно, то он сходится http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 88 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ Ряд сходится условно, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Пример. (-1)n/n, (-1)n/nn=1 n=Положим по определению a+ = max{an, 0}, a- = min{an, 0}.

n n 3 ) ряд an сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся n=ряды a+ и an=1 n n=1 n 4 ) если ряд an сходится условно, то ряды a+ и a- оба расn=1 n=1 n n=1 n ходятся [контрпример к обратному: 1 - 1 + 1 - 1 +... ] Биекция : M M не более чем счетного множества на себя называется в некоторых приложениях подстановкой (или перестановкой). Пусть имеется подстановка натуральных чисел и последовательность {an}. Построим новую последовательность bn = a(n), полученную перемешиванием номеров исходной последовательности.

Теорема 6.6 (коммутативность). если ряд an сходится абсолютно, то ряд n= bn также сходится абсолютно и к тому же пределу.

n=Пусть {nk} — возрастающая последовательность натуральных чисел, n0 = k== 0. Обозначим ck = an +1 + an +2 + · · · + an, k = 1, 2,... Новая последоваk-1 k-1 k тельность — это расстановка скобок в исходной.

Теорема 6.7 (ассоциативность). Если ряд an сходится, то сходится и ряд n= cn к тому же пределу.

n=[контрпример к обратному: (1 - 1) + (1 - 1) +... ] Замечание. Обратное утверждение будет справедливо в том случае, когда каждая скобка содержит слагаемые с одинаковыми знаками (т. е. скобки расставлены в местах смены знака значений an ).

Теорема 6.8 (Римана). Если ряд an сходится условно, то для любого A n= [R] существует такая подстановка натуральных чисел, что ряд bn n=сходится к A.

6.1.4 признаки Абеля и Дирихле Теорема 6.9 (преобразование Абеля).

n n n-1 k akbk = an bk - (ak+1 - ak) bi k=1 k=1 k=1 i=[сравнить с интегрированием по частям] Теорема 6.10 (признак Дирихле). Если частные суммы ряда bn ограничеn= ны, an монотонно стремится к нулю, то ряд anbn сходится.

n=6.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ [сравнить с теоремой 4.23] Теорема 6.11 (признак Абеля). Если ряд bn сходится, {an} монотонна и n= ограничена, то ряд anbn сходится.

n=[сравнить с теоремой 4.24] 6.2 Функциональные ряды 6.2.1 равномерная сходимость рядов Рассмотрим ряд un(x), члены которого являются функциями от x и опреn=делены на множестве X. Такие ряды принято называть функциональными.

Если при x = x0 ряд un(x0) сходится, то говорят, что ряд сходится в точке n= n x0. Обозначим sn(x) = uk(x). Это — частные суммы исходного функциоk= нального ряда. Если на множестве D X ряд un(x) сходится в каждой n=точке, это равносильно поточечной сходимости последовательности функцмй sn(x) на D. Далее для простоты мы будем считать, что ряд un(x) сходится n=на множестве X, его сумму в каждой точке x X обозначим u(x).

X Ряд un(x) сходится равномерно на X, если sn(x) u(x).

n=n Теорема 6.12 (критерий Больцано—Коши). Ряд un(x) сходится равномерn=но на X тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует N такое, что для всех n > N и для всех x X, p N имеет место неравенство:

n+p uk(x) <.

k=n+ Теорема 6.13. Если все un(x) непрерывны в точке x0 и ряд un(x) сходится n=равномерно, то u(x) непрерывна в точке x0.

Теорема 6.14 (Дини). Пусть un(x) сходится на X, n=1) un(x) непрерывны на X, 2) u(x) непрерывна на X, 3) un(x) 0, 4) X — компакт.

Тогда ряд un(x) сходится равномерно на X.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.