Математический анализ конспект лекций для первого курса специальности «физика» Н. И. Казимиров Петрозаводск 2002 Оглавление 1 Базовые понятия 7 1.1 Множества и операции над множествами................ 7 1.1.1 понятие ’множество’......................... 7 1.1.2 способы определения множеств.................. 8 1.2 Функции..................................... 9 1.2.1 способы задания функций..................... 10 1.2.2 последовательности и кортежи................... 10 1.3 Действительные числа............................ 11 1.3.1 иерархия числовых множеств................... 11 1.3.2 определение действительных чисел................ 12 1.3.3 ограниченные множества...................... 13 1.4 Вопросы для коллоквиума.......................... 14 2 Теория пределов 15 2.1 Предел последовательности......................... 15 2.1.1 определение и свойства, число e................. 15 2.1.2 бесконечно малые, бесконечно большие величины, их иерархия.................................. 16 2.1.3 частичные пределы.......................... 16 2.2 Пределы и непрерывность функций................... 17 2.2.1 открытые и замкнутые множества................ 17 2.2.2 предел функции............................ 18 2.2.3 непрерывность функции...................... 19 2.2.4 монотонные функции........................ 20 2.2.5 свойства непрерывных функций................. 21 2.2.6 элементарные функции....................... 21 2.2.7 замечательные пределы....................... 2.2.8 равномерная непрерывность.................... 2.3 Вопросы для коллоквиума.......................... 3 Дифференциальное исчисление 3.1 Производная и дифференциал....................... 3.1.1 производная.............................. 3.1.2 дифференциал............................. 3.1.3 независимость формы первого дифференциала........ ОГЛАВЛЕНИЕ 3.1.4 дифференцируемость обратной функции............ 3.1.5 производные высших порядков.................. 3.1.6 дифференциалы высших порядков................ 3.2 Основные теоремы о дифференцируемых функциях......... 3.2.1 теоремы о среднем значении.................... 3.2.2 правило Лопиталя........................... 3.2.3 теоремы о монотонных функциях................. 3.2.4 формула Тейлора........................... 3.3 Исследование функций........................... 3.3.1 экстремумы............................... 3.3.2 наибольшее и наименьшее значение............... 3.3.3 выпуклость и точки перегиба................... 3.3.4 асимптоты................................ 3.3.5 построение эскизов графиков................... 3.4 Введение в дифференциальную геометрию............... 3.4.1 пространство Rn и вектор-функции............... 3.4.2 путь и кривая............................. 3.4.3 параметрическое дифференцирование.............. 3.4.4 кривизна простой кривой...................... 3.5 Частные производные............................ 3.5.1 пространство Rn........................... 3.5.2 частная производная и дифференцируемость......... 3.5.3 геометрический смысл дифференциала, касательная плоскость................................... 3.5.4 дифференцирование сложной функции и независимость формы первого дифференциала.................. 3.5.5 производная по направлению, градиент............. 3.5.6 независимость производной от порядка дифференцирования 3.5.7 дифференциалы высших порядков................ 3.5.8 формула Тейлора........................... 3.6 Экстремумы функции нескольких переменных............ 3.7 Неявные функции............................... 3.7.1 основные теоремы о неявных функциях............ 3.7.2 вектор-функции нескольких переменных............ 3.8 Условный экстремум.............
1. Математика есть единая симфония бесконечного (Д. Гильберт) 2. Математика — это искусство избегать вычислений (К. Ф. Гаусс) 3. Математика — наука о порядке и мере (Р. Декарт) 4. Математика — наука о математических структурах. Говорить ’математика’ — значит говорить ’доказательство’ (Н. Бурбаки).
5. Математика — то, чем занимаются Чебышёв, Ляпунов, Стеклов и я (Марков).
6. Математика — наука, изучающая объекты, свойства которых строго сформулированы (Н. Н. Непейвода).
7. Математика — это язык (Гельмгольц).
8. Математика — то, что написано в книгах по математике.
9. Математика — наука о решении математических задач, математические задачи — это задачи, сформулированные крупными математиками.
10. Математика — наука о числах и фигурах (К. Маркс).
Примечания к тексту:
1) Упражнение — утверждение, которое предлагается для самостоятельного доказательства, либо может быть добавлено в качестве теоремы;
2) особым цветом выделены абзацы или более крупные блоки текста, засчет которых в первую очередь следует сокращать программу в случае нехватки времени; наивысший приоритет сокращаемости имеют наименьшие блоки текста.
Глава Базовые понятия 1.1 Множества и операции над множествами 1.1.1 понятие ’множество’ Определение. Множество — произвольная определяемая совокупность объектов (это определение т. н. ‘наивной’ теории множеств, поэтому ниже будет упомянут парадокс Расселла и необходимость аксиоматического подхода).
Если объект x принадлежит множеству M, то пишут x M или M x.При этом x называется элементом или точкой множества M.
[примеры] Обычно будем обозначать множества большими латинскими буквами, а их элементы — маленькими латинскими. Однако элементы множества также могут быть множествами, поэтому данное разграничение несущественно.
[примеры] Если множество N состоит из тех же элементов (всех или не всех), что и множество M, то N называется частью или подмножеством множества M :
N M ( N содержится в M ) или M N ( M содержит N ).
[примеры, диагр. Вейля] Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов (т. е. M = = N, если N M и M N ).
Если N — часть M, но N = M (т. е. N содержит не все элементы M ), то N — собственное подмножество M ( N M или M N ).
[подчеркнуть отличие символов и ] Теорема 1.1. Свойства равенства:
1) A = A 2) A = B B = A 3) (A = B) (B = C) (A = C) символ происходит от первой буквы греч. слова µ (exartomai) — принадлежать, быть частью.
8 ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1.2 способы определения множеств Если множество состоит из элементов a, b, c,..., f, то его можно обозначать так: {a, b, c,..., f}. Порядок записи элементов значения не имеет. Аналогия с коробкой, содержащей предметы. {a, a} = {a} (синглет).
Пустое множество — множество без элементов (аналогия с нулем в арифметике): {} =.
