WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
Математический анализ конспект лекций для первого курса специальности «физика» Н. И. Казимиров Петрозаводск 2002 Оглавление 1 Базовые понятия 7 1.1 Множества и операции над множествами................ 7 1.1.1 понятие ’множество’......................... 7 1.1.2 способы определения множеств.................. 8 1.2 Функции..................................... 9 1.2.1 способы задания функций..................... 10 1.2.2 последовательности и кортежи................... 10 1.3 Действительные числа............................ 11 1.3.1 иерархия числовых множеств................... 11 1.3.2 определение действительных чисел................ 12 1.3.3 ограниченные множества...................... 13 1.4 Вопросы для коллоквиума.......................... 14 2 Теория пределов 15 2.1 Предел последовательности......................... 15 2.1.1 определение и свойства, число e................. 15 2.1.2 бесконечно малые, бесконечно большие величины, их иерархия.................................. 16 2.1.3 частичные пределы.......................... 16 2.2 Пределы и непрерывность функций................... 17 2.2.1 открытые и замкнутые множества................ 17 2.2.2 предел функции............................ 18 2.2.3 непрерывность функции...................... 19 2.2.4 монотонные функции........................ 20 2.2.5 свойства непрерывных функций................. 21 2.2.6 элементарные функции....................... 21 2.2.7 замечательные пределы....................... 2.2.8 равномерная непрерывность.................... 2.3 Вопросы для коллоквиума.......................... 3 Дифференциальное исчисление 3.1 Производная и дифференциал....................... 3.1.1 производная.............................. 3.1.2 дифференциал............................. 3.1.3 независимость формы первого дифференциала........ ОГЛАВЛЕНИЕ 3.1.4 дифференцируемость обратной функции............ 3.1.5 производные высших порядков.................. 3.1.6 дифференциалы высших порядков................ 3.2 Основные теоремы о дифференцируемых функциях......... 3.2.1 теоремы о среднем значении.................... 3.2.2 правило Лопиталя........................... 3.2.3 теоремы о монотонных функциях................. 3.2.4 формула Тейлора........................... 3.3 Исследование функций........................... 3.3.1 экстремумы............................... 3.3.2 наибольшее и наименьшее значение............... 3.3.3 выпуклость и точки перегиба................... 3.3.4 асимптоты................................ 3.3.5 построение эскизов графиков................... 3.4 Введение в дифференциальную геометрию............... 3.4.1 пространство Rn и вектор-функции............... 3.4.2 путь и кривая............................. 3.4.3 параметрическое дифференцирование.............. 3.4.4 кривизна простой кривой...................... 3.5 Частные производные............................ 3.5.1 пространство Rn........................... 3.5.2 частная производная и дифференцируемость......... 3.5.3 геометрический смысл дифференциала, касательная плоскость................................... 3.5.4 дифференцирование сложной функции и независимость формы первого дифференциала.................. 3.5.5 производная по направлению, градиент............. 3.5.6 независимость производной от порядка дифференцирования 3.5.7 дифференциалы высших порядков................ 3.5.8 формула Тейлора........................... 3.6 Экстремумы функции нескольких переменных............ 3.7 Неявные функции............................... 3.7.1 основные теоремы о неявных функциях............ 3.7.2 вектор-функции нескольких переменных............ 3.8 Условный экстремум.............

................ 3.9 Вопросы для коллоквиума.......................... 4 Интегральное исчисление 4.1 Неопределенный интеграл.......................... 4.1.1 определение и свойства первообразной............. 4.1.2 интегрирование рациональных дробей.............. 4.1.3 интегрирование некоторых иррациональностей........ 4.1.4 интегрирование биномиальных дифференциалов....... 4.1.5 интегрирование тригонометрических выражений....... http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.1.6 некоторые интегралы, невычислимые в элементарных функциях................................... 4.2 Определенный интеграл........................... 4.2.1 интеграл Римана............................ 4.2.2 суммы Дарбу.............................. 4.2.3 свойства интеграла Римана..................... 4.2.4 связь определенного и неопределенного интегралов..... 4.2.5 методы интегрирования....................... 4.2.6 формула Бонэ............................. 4.2.7 неравенства Гёльдера и Минковского.............. 4.3 Введение в теорию меры.......................... 4.3.1 мера Жордана на плоскости.................... 4.3.2 мера Лебега............................... 4.4 Приложения определенного интеграла.................. 4.4.1 вычисление площадей........................ 4.4.2 площадь в полярных координатах................. 4.4.3 длина дуги гладкой кривой..................... 4.4.4 вычисление объемов и поверхностей тел вращения..... 4.5 Несобственные интегралы.......................... 4.5.1 определение н.и............................. 4.5.2 виды и признаки сходимости н.и.................. 4.6 Интегралы с параметрами.......................... 4.6.1 предел функции по параметру................... 4.6.2 собственные интегралы с параметром.............. 4.6.3 равномерная сходимость н.и..................... 4.6.4 непрерывность и дифференцируемость н.и........... 4.6.5 вычисление н.и. дифференцированием по параметру.... 4.6.6 интегрирование н.и. по параметру................ 4.6.7 интеграл Пуассона.......................... 4.6.8 функции Эйлера............................ 4.7 Вопросы для коллоквиума.......................... 5 Некоторые виды интегралов 5.1 Кратные интегралы.............................. 5.1.1 интеграл Римана от функции нескольких переменных.... 5.1.2 суммы Дарбу и критерий R-интегрируемости......... 5.1.3 свойства интеграла Римана..................... 5.1.4 вычисление двойного интеграла.................. 5.1.5 вычисление тройного интеграла.................. 5.2 Криволинейные интегралы......................... 5.2.1 к.и. 1-го рода.............................. 5.2.2 свойства к.и. 1-го рода........................ 5.2.3 вычисление к.и. 1-го рода...................... 5.2.4 к.и. 2-го рода.............................. 5.2.5 свойства к.и. 2-го рода........................ ОГЛАВЛЕНИЕ 5.2.6 вычисление к.и. 2-го рода...................... 5.2.7 формула Грина............................. 5.2.8 независимость криволинейного интеграла от пути...... 5.3 криволинейные координаты........................ 5.4 Поверхностные интегралы......................... 5.4.1 поверхность, площадь поверхности................ 5.4.2 п.и. 1-го рода.............................. 5.4.3 вычисление п.и. 1-го рода...................... 5.4.4 ориентированные поверхности.................. 5.4.5 п.и. 2-го рода.............................. 5.4.6 вычисление п.и. 2-го рода...................... 5.4.7 формула Стокса............................ 5.4.8 формула Гаусса—Остроградского................. 5.5 Элементы теории поля............................ 5.6 Вопросы для коллоквиума.

......................... 6 Основы теории рядов 6.1 Числовые ряды................................. 6.1.1 основные свойства рядов...................... 6.1.2 ряды с неотрицательными членами................ 6.1.3 дальнейшие свойства произвольных рядов........... 6.1.4 признаки Абеля и Дирихле..................... 6.2 Функциональные ряды............................ 6.2.1 равномерная сходимость рядов.................. 6.2.2 интегрирование и дифференцирование рядов......... 6.2.3 признаки равномерной сходимости................ 6.3 Степенные ряды................................ 7 Основы ТФКП 7.1 Комплексная переменная и функции от нее.............. 7.1.1 комплексные числа и действия над ними............ 7.1.2 пределы комплексных последовательностей.......... 7.1.3 функции к.п............................... 7.1.4 дифференцирование ф.к.п...................... 7.1.5 интегралы от ф.к.п., формула Коши............... 7.2 аналитические функции........................... 7.2.1 степенной ряд, круг сходимости.................. 7.2.2 единственность а.ф........................... 7.2.3 аналитическое продолжение.................... 7.2.4 элементарные функции....................... 7.3 Ряд Лорана................................... 7.4 Вычеты...................................... 7.5 Конформные отображения......................... http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf © Н. И. Казимиров Введение О математике, ее роли в науке (mathema ( µµ ) — познание, наука (греч.)).

Определения математики:

1. Математика есть единая симфония бесконечного (Д. Гильберт) 2. Математика — это искусство избегать вычислений (К. Ф. Гаусс) 3. Математика — наука о порядке и мере (Р. Декарт) 4. Математика — наука о математических структурах. Говорить ’математика’ — значит говорить ’доказательство’ (Н. Бурбаки).

5. Математика — то, чем занимаются Чебышёв, Ляпунов, Стеклов и я (Марков).

6. Математика — наука, изучающая объекты, свойства которых строго сформулированы (Н. Н. Непейвода).

7. Математика — это язык (Гельмгольц).

8. Математика — то, что написано в книгах по математике.

9. Математика — наука о решении математических задач, математические задачи — это задачи, сформулированные крупными математиками.

10. Математика — наука о числах и фигурах (К. Маркс).

Примечания к тексту:

1) Упражнение — утверждение, которое предлагается для самостоятельного доказательства, либо может быть добавлено в качестве теоремы;

2) особым цветом выделены абзацы или более крупные блоки текста, засчет которых в первую очередь следует сокращать программу в случае нехватки времени; наивысший приоритет сокращаемости имеют наименьшие блоки текста.

Глава Базовые понятия 1.1 Множества и операции над множествами 1.1.1 понятие ’множество’ Определение. Множество — произвольная определяемая совокупность объектов (это определение т. н. ‘наивной’ теории множеств, поэтому ниже будет упомянут парадокс Расселла и необходимость аксиоматического подхода).

Если объект x принадлежит множеству M, то пишут x M или M x.При этом x называется элементом или точкой множества M.

[примеры] Обычно будем обозначать множества большими латинскими буквами, а их элементы — маленькими латинскими. Однако элементы множества также могут быть множествами, поэтому данное разграничение несущественно.

[примеры] Если множество N состоит из тех же элементов (всех или не всех), что и множество M, то N называется частью или подмножеством множества M :

N M ( N содержится в M ) или M N ( M содержит N ).

[примеры, диагр. Вейля] Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов (т. е. M = = N, если N M и M N ).

Если N — часть M, но N = M (т. е. N содержит не все элементы M ), то N — собственное подмножество M ( N M или M N ).

[подчеркнуть отличие символов и ] Теорема 1.1. Свойства равенства:

1) A = A 2) A = B B = A 3) (A = B) (B = C) (A = C) символ происходит от первой буквы греч. слова µ (exartomai) — принадлежать, быть частью.

8 ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1.2 способы определения множеств Если множество состоит из элементов a, b, c,..., f, то его можно обозначать так: {a, b, c,..., f}. Порядок записи элементов значения не имеет. Аналогия с коробкой, содержащей предметы. {a, a} = {a} (синглет).

Пустое множество — множество без элементов (аналогия с нулем в арифметике): {} =.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.