WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |

n-Составим сумму * = f (k ),(k ),(k ) (k ) tk. Это уже на() k=стоящая интегральная сумма Римана для I*. Было отмечено выше, что интеграл I* существует, и потому * I* при * 0 (* = max tk ). Отметим, { } k=0, n-что 0, если * 0.

Рассмотрим очевидное равенство = * + ( - *). (2) Из (2) видим, что теорема будет доказана, если показать, что lim ( - *) = 0.

*(0) Имеем n- - * = f (k ),(k ),(k ) - f (k ),(k ),(k ) (k ) tk.

() () [] k =По условию (t) C [a,b] (t) – ограниченная в [a,b], т. е. существует ( ) число M > 0 такое, что (t) M для всех t [a,b]. Поэтому n- - * M f (k ),(k ),(k ) - f (k ),(k ),(k ) tk.

() () k =Функция f (t),(t),(t) C [a,b] как суперпозиция непрерывных функ() ( ) ций f (t),(t),(t) – равномерно непрерывная в [a,b]. Значит, всякому () >0 (сколь угодно малому) отвечает > 0 такое, что для любых двух точек t и t из [a,b], для которых t - t <, будет f (t),(t),(t) - f (t),(t),(t) <.

() ( ) Возьмем дробление промежутка [a,b] на части [tk,tk+1] любым, но таким, чтобы было * <. У нас k и k [tk,tk+1]. Следовательно, k - k tk+1 - tk * <, для любого k = 0,1, 2,K, n -1. А тогда для любого k = 0,1, 2,K, n -1 будем иметь f (k ),(k ),(k ) - f (k ),(k ),(k ) <.

() ( ) n-Следовательно, - * < M tk k= - * < M (b - a). (3) Отметим, что число M(b - a) сколь угодно мало вместе с. Так как для достижения неравенства (3) потребовалось лишь, чтобы было * <, то заключаем, что lim ( - *) = 0, а значит, lim( - *) = 0.

*0 Частные случаи.

y I. 1) Пусть кривая (AB плоская, заданная B явным уравнением y = (x), где функция (x), определенная и непрерывная на промежутке [a,b], причем a – абсцисса точки A A, а b – абсцисса точки B.

2) Пусть функция f (x, y) определена и x a непрерывна на кривой (AB.

b O Рис. 3.7. К частному случаю I Тогда f (x, y)dx существует, и ( AB b y f (x, y)dx = f x,(x) dx.

() B ( AB a II. Пусть (AB – прямолинейный отрезок, расположенный в плоскости Oxy и перпендикулярный к оси Ox. Тогда f (x, y)dx существует для любой функции A ( AB x f (x, y), определенной на (AB, причем O Рис. 3.8. К частному f (x, y)dx = 0.

случаю II ( AB 3°. Механический смысл криволинейного интеz грала второго рода.

r B Механический смысл криволинейного интеFxk, yk,zk) ( грала второго рода вытекает из решения следующей задачи.

Ak+Задача. Материальная точка перемещается A по кривой (AB из точки A в точку B под дейy Ak ствием переменной по величине и направлению r r силы F(x, y, z). Требуется найти работу F на криволинейном пути (AB.

x Разбиваем путь (AB на столь малые части Рис. 3.9. К решению задачи (Ak Ak+1, чтобы каждую такую часть можно r было считать приближенно прямолинейной, а силу F(x, y, z), в пределах этой части, считать приближенно постоянной по величине и направлению. Тогда раr бота силы F(x, y, z) на элементарном участке (Ak Ak+1 приближенно будет r равна: F(xk, yk, zk ) lk. Но r r r r F(xk, yk, zk ) = Fx(xk, yk, zk ) i + Fy(xk, yk, zk ) j + Fz(xk, yk, zk ) k, r rr lk = xk i + yk j + zk k.

Поэтому r F(xk, yk, zk ) lk = Fx(xk, yk, zk ) xk + Fy(xk, yk, zk )yk + Fz(xk, yk, zk ) zk.

r Следовательно, работа силы F на всем пути (AB приближенно будет равна:

n- Fx(xk, yk, zk ) xk + Fy(xk, yk, zk )yk + Fz(xk, yk, zk ) zk. (4) () k=Предел суммы (4) при 0 будет давать точное значение работы силы r F(x, y, z) на пути (AB. А этим пределом является Fx(x, y, z)dx + Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz.

( AB Таким образом, всякий криволинейный интеграл второго рода:

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ( AB можно истолковать как работу, которую производит сила с проекциями P, Q, R на оси Ox, Oy, Oz соответственно, по перемещению материальной точки по пути (AB из точки A в точку B.

Примеры на вычисление криволинейных интегралов второго рода.

1. Вычислить I = (x + y)dx + 2z dy + xy dz, где (AB – линия, заданная (AB x = t, уравнениями y = t2, причем точка A соответствует значению параметра z = 3- t, t = 1, а точка B – значению параметра t = 2.

2 2 I = + t2 )dt + (t 2(3- t) 2t dt + t (-dt) = 35.

1 1 2. Вычислить I = (x + y2)dx + (x2 y2 )dy, где (l) – кривая, заданная (l ) y уравнением: y = 1- 1- x, x [0, 2]. Интегриро1 вание вдоль (l) ведется в направлении, соответствующем возрастанию параметра.

Имеем:

x y = 1- (1- x) y = x, x [0,1];

1 y = 1+ (1- x) y = 2 - x, x [1, 2];

Рис. 3.10. К примеру (l) = (l1) U (l2 ), где (l1): y = x, x [0,1], (l2 ):

y = 2 - x, x [1, 2].

I = I1 + I2, где 2 I1 = - (x + y2 )dx + (x2 y2)dy, I2 = (x + y2)dx + (x2 y2)dy.

(l1) (l2 ) На (l1): y = x, dy = dx, x [0,1]. Поэтому 2 I1 = + x2 )dx + 0 dx = x3 =.

(x 3 На (l2 ): y = 2 - x, x [1, 2]; dy = -dx. Поэтому 2 2 I2 = + (2 - x)2 - x2 + (2 - x)2 = 2 - x)2 dx = - (2 - x)3 =.

[x ]dx (3 1 Следовательно, I =.

(x + y)dx - (x - y)dy 3. Вычислить I =, где (l) – окружность x2 + y(l ) x2 + y2 = a2, пробегаемая против хода стрелки часов.

Перейдем к параметрическому заданию кривой (l). Положим x = a cost, t [0, 2], dx = -asin t dt, y = asin t, dy = a cost dt.

2 -a2(cost + sin t)sin t - a2(cost - sin t)cost I = dt =- dt =-2.

a0 y 4. Вычислить I = arctg x dy - dx, где OmA – отрезок параболы y = x2, OmAnO OnA – отрезок прямой y = x.

I = I1 + I2, где I1 =, I2 =.

(OmA (AnO (OmA : y = x2, x [0,1], dy = 2x dx. Поэтому dx u = arctg x, du = I1 = = 1+ xarctg x 2x dx - dx = 2xdx = dv, v = x 1 1 x2 dx = x2 arctg x - - dx + 1+ x2 dx -1 = 1+ x2 -1 = 2 2.

4 0 0 y (AnO : y = x, x изменяется от 1 до 0; dy = dx. Поэтому A 0 y = x n I2 = -y = x(arctg1-1)dx = dx = 1-.

4 m 1 x Значит, O 1- = Рис. 3.11. К примеру -1.

I = 2 -1 + 4 4 5. Вычислить I = y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y2)dz, где (l) – кон( (l ) тур, ограничивающий часть сферы x2 + y2 + z2 = 1, x 0, y 0, z 0, пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности осz (l2 ) тается слева.

(l3) I = I1 + I2 + I3, где I1 = ; I2 = ; I3 =.

(l1) (l2 ) (l3) (l1): x2 + y2 = 1 (1-я четверть), y (l2 ): y2 + z2 = 1 (1-я четверть), x (l1) (l3): z2 + x2 = 1 (1-я четверть).

Рис. 3.12. К примеру Контур (l1) расположен в плоскости Oxy. Следовательно, на (l1): z = 0; dz = 0. Поэтому y=x=0 yI1 = y2dx - x2dy = - - y = (1- x2 )dx - (1- y2 )dy = x - x (l1) 1 0 x=y=1 1- 1 =- =-1- -.

3 3 Контур (l2 ) расположен в плоскости Oyz. Следовательно, на (l2 ): x = 0, dx = 0.

0 I2 = z2dy - y2dz = (1- y2 )dy - (1- z2 )dz = - 4.

(l2 ) 1 Контур (l3) расположен в плоскости Oxz. Следовательно, на (l3): y = 0, dy = 0.

0 I3 = x2dz - z2dx = (1- z2 )dz - (1- x2 )dx = - 4.

(l3 ) 1 Таким образом, получаем I =- 3 =-4.

§3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Формула Грина 1°. Станем рассматривать криволинейные интегралы второго рода вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy, (1) (K ) z где (K ) – замкнутый самонепересекающийся контур, расположенный в плоскости Oxy. Если на контуре (K ) выбрать какое-нибудь направление y O интегрирования, то оказывается безразличным, каII кую точку на (K ) взять за начало (а значит, и ко- B x A нец) пути интегрирования. В самом деле, пусть A (K ) I и B – любые две различные точки на (K ). Имеем:

Рис. 3.13. К определению Pdx + Qdy = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy =положительного обхода (AA (AI B (BII A контура (K ) = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy = Pdx + Qdy.

(BII A (AI B (BB Замечание. Особенность обсуждаемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления интегрирования на (K ). Конечно, можно было бы в каждом случае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Но обычно поступают иначе, а именно: из двух возможных направлений одно принимается за положительное, другое – за отрицательное.

Условимся за положительное направление обхода контура (K ) принимать такое направление, когда наблюдатель (у которого направление от ног к голове совпадает с направлением оси Oz ), обходящий контур (K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной (K ), слева от себя. Это соглашение относится к случаю правой системы координат.

В дальнейшем интеграл (1), взятый по (K ) в положительном направлении, будем обозначать символом: P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

(K ) 2°. Формула Грина.

I. Пусть (D) – область, ограниченная y y =(x) B замкнутым контуром (K ). Пусть (K ) состоит из отрезков прямых: x = a, x = b A (a < b ) и из кривых, заданных уравнения(D) ми: y = (x), x [a,b]; y = (x), x [a,b]. Предполагается, что (x) и B A (x) непрерывны на [a,b] и такие, что y =(x) x (x) < (x), x [a,b]. Такую область a O b (D) будем называть областью типа I.

Рис. 3.14. К выводу формулы Грина Пусть в (D ) задана непрерывная функция P P(x, y), имеющая в (D ) непрерывную частную производную. Рассмотрим y двойной интеграл P I = dxdy.

y ( D ) Мы знаем, что этот двойной интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом:

y=(x) b b P y=( x) I = dx dy I = P(x, y) dx = [] y=( x) y a y=( x) a b b b = P x,(x) - P x,(x) dx = P x,(x) dx - P x,(x) dx.

() () () () [] a a a Но b P x,(x) dx = P(x, y)dx = - P(x, y)dx, () a (AB (BA b P x,(x) dx = P(x, y)dx.

() a (AB Поэтому I =- P(x, y)dx - P(x, y)dx. Так как P(x, y)dx = 0 и (BA (AB ( BB P(x, y)dx = 0, то можем написать ( AA I =- P dx - P dx - P dx - P dx =- P(x, y)dx.

(AB (A ( K ) BB (BA (A Таким образом, получили P dxdy =- P(x, y)dx. (2) y (D ) (K ) Замечание. Формула (2) установлена для области типа I, но она верна и тогда, когда область (D) прямыми, параллельными оси Oy, может быть разложена на конечное число областей типа I (рис. 3.15).

В самом деле, для каждой области типа I, на которые разложена область (D), пишем формулу (2), а затем складываем соответствующие части полученных соотношений. Так как криволинейные интегралы по вспомогательным прямым линиям равны нулю, то получим формулу (2), в которой (D) – вся область, а (K ) – контур всей этой области.

y y (D3) A B d x =( y) (D1) x =( y) (D) (D2) A c B x x Рис. 3.15. К выводу формулы Грина Рис. 3.16. К выводу формулы Грина II. Пусть (D) – область, ограниченная замкнутым контуром (K ), и пусть теперь (K ) состоит из отрезков прямых y = c, y = d (c < d и из кривых, заданных уравнениями: x =( y), x = ( y), где ( y) и ( y) – функции, непрерывные на [c,d] и такие, что ( y) < ( y), y [c,d] (рис. 3.16). Такую область (D) будем называть областью типа II.

Пусть в (D ) задана непрерывная функция Q(x, y), имеющая в (D ) непреQ рывную частную производную. Рассмотрим двойной интеграл x Q I = dxdy.

x ( D ) Мы знаем, что этот интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом:

x=( y) d d Q x=( y) I = dy dx I = Q(x, y) dy = [] x=( y) x c x=( y) c d d = Q(( y), y)dy - Q(( y), y)dy.

c c Но d Q(( y), y)dy = Q(x, y)dy ;

c ( BB d Q(( y), y)dy = Q(x, y)dy = - Q(x, y)dy.

c ( (A AA A Поэтому I = Q(x, y)dy + Q(x, y)dy. Так как Q(x, y)dy = 0 и (AA (AB BB ( Q(x, y)dy = 0, то можем написать (BA I = Q(x, y)dy + Q(x, y)dy + (AB (Q(x, y)dy + Q(x, y)dy = Q(x, y)dy.

BB (BA (A ( K ) A Таким образом, получили:

Q dxdy = (3) Q(x, y)dy.

x (D ) ( K ) Замечание. Формула (3) верна и тогда, когда область (D) прямыми, параллельными оси Ox, разлагается на конечное число областей типа II. Это устанавливается совершенно аналогично тому, как это сделано в предыдущем замечании.

Пусть область (D) такая, что она прямыми линиями, параллельными оси Oy, разлагается на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ox – на конечное число областей типа II. Пусть в (D ) заданы функции P P(x, y), Q(x, y), непрерывные там вместе с частными производными и y Q. Тогда верны одновременно формулы (2) и (3). Вычитая из формулы (3) x соответствующие части формулы (2), получим Q P P(x, y)dx + Q(x, y)dy = - dxdy. (4) x y (K ) (D ) (4) – формула Грина. Она преобразует криволинейный интеграл второго рода по замкнутому самонепересекающемуся контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Определение 1.

1. Область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром, называется односвязной.

2. Область, ограниченная замкнутым самонепересекающимся контуром (K1) и (n -1) замкнутыми самонепересекающимися контурами (K2 ), (K3), K, (Kn ), лежащими внутри (K1) и вне друг друга, называется n -связной.

Теорема. Формула Грина Q P P(x, y)dx + Q(x, y)dy = - dxdy (5) x y (K ) ( D ) верна и для многосвязной области, если под контуром (K ) понимать объединение всех контуров (K1), (K2 ), K, (Kn ), ограничивающих область (D), причем направление интегрирования такое, что наблюдатель, обходящий контур (K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной (K ), слева от себя (система координат предполагается правой).

(K3) (K2) (K ) (K1) Односвязная область Трехсвязная область y (K3) (K2) BBAABA(K1) x Рис. 3.17. К выводу формулы Грина для многосвязных областей Рассмотрим для простоты трехсвязную область (D). Возьмем на (K1) точки A1 и B1; на (K2 ) – точки A2и B2 ; на (K3) – точки A3 и B3. Проведем линии: (AA2; (B2A3; (B3B1. Тогда область (D) разобьется на две односвязные области. Написав формулу Грина для каждой из этих двух односвязных областей и сложив результаты, мы получим формулу (5). (По каждой вспомогательной кривой: (AA2, (B2A3, (B3B1 интегрирование ведется дважды в двух противоположных направлениях. Следовательно, криволинейные интегралы по вспомогательным кривым взаимно уничтожаются.) §4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования Пусть (D) – область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром (K ) (значит, (D) – односвязная область). Пусть в (D) заданы две непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y).

Будем говорить, что функции P(x, y) и y Q(x, y) образуют в (D) пару типа « », если (K) криволинейный интеграл второго рода (D) Pdx + Qdy, взятый по незамкнутому пути B A ( AB (AB, целиком лежащему в (D), не зависит от x формы пути (а зависит только от концов пути).

Рис. 3.18. К определению Будем говорить, что функции P(x, y) и интеграла, не зависящего от Q(x, y) образуют в (D) пару типа «», если для формы пути любого замкнутого самонепересекающегося контура (C), целиком лежащего в (D), оказывается:

y (K) Pdx + Qdy = 0.

(C) (D) I C B Лемма 1. Если функции P(x, y) и Q(x, y) обA II разуют в области (D) пару типа « », то они обраx зуют в (D) также и пару типа «».

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.