WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 13 |

{ } k=0, n-2. На каждой дуге (Ak Ak+1 берем произвольную точку (xk, yk, zk ) и вычисляем в ней значение функции f, т. е. находим f (xk, yk, zk ).

3. Умножаем найденное значение функции на длину соответствующей частичной дуги: f (xk, yk, zk ) sk, k = 0,1,K, n -1.

4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму n-= f (xk, yk, zk ) sk.

k=Отметим, что значение суммы зависит, вообще говоря, как от способа разбиения кривой (l) на части (Ak Ak+1, k = 0, n -1, так и от выбора точки (xk, yk, zk ) на (Ak Ak+1.

5. Измельчаем дробление так, чтобы 0, и ищем lim. Если существует конечный предел I = lim и этот предел не зависит ни от способа разбиения кривой (l) на части (Ak Ak+1, k = 0, n -1, ни от способа выбора точек (xk, yk, zk ) на (Ak Ak+1, то его называют криволинейным интегралом первого рода от функции f (x, y, z) по кривой (l) и обозначают символом f (x, y, z)ds. (1) ( AB Если, в частности, кривая (l) лежит в плоскости Oxy, то функция f от координаты z не зависит, и вместо (1) появляется интеграл f (x, y)ds. (2) ( AB Замечание 1. Из самого определения криволинейного интеграла первого рода вытекает следующее свойство:

f (x, y, z)ds = f (x, y, z)ds, ( AB (BA т. е. направление, которое может быть придано пути интегрирования, никакой роли не играет. В самом деле, ведь длина sk дуги (Ak Ak+1 не зависит от того, какая из точек Ak и Ak+1 принята за начало и какая – за конец дуги.

Замечание 2. Принимая во внимание определение криволинейного интеграла первого рода, можно заключить, что в задаче пункта 1° масса m кривой (l) определяется по формуле: m = (x, y, z)ds.

( AB 3°. Теорема (о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой).

x = (t), 1. Пусть кривая (AB задана уравнениями: t [p,q], где и y = (t), – функции, заданные на промежутке [p,q] и имеющие там непрерывные производные (t), (t). Пусть ( p),( p) = A, (q),(q) = B. Пусть точки () ( ) (t),(t) следуют друг за другом на (AB именно в том порядке, в каком () соответствующие значения t следуют друг за другом на [p,q]. (Считаем (AB незамкнутой и не имеющей кратных точек.) 2. Пусть функция f (x, y) задана на (AB и непрерывна там.

Тогда I = f (x, y)ds существует и выражается обыкновенным определен ( AB ным интегралом по формуле:

q f (x, y)ds = f (t),(t) (t) + (t) dt ( p < q). (3) ( ) ( )2 ( )( AB p (подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (3) должен быть меньше верхнего).

Заметим сначала, что интеграл, стоящий в правой части (3), существует, ибо подынтегральная функция в нем непрерывна на промежутке [p,q].

Напомним, что в условиях теоремы кривая (AB спрямляема и ее длина s q равна: s = (t) + (t) dt ( p < q). Составим сумму Римана для кри( )2 ( ) p волинейного интеграла f (x, y)ds. Для этого надо разбить (AB точками Ak ( AB на дуги Ak Ak+1 (k = 0, n -1). Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток [p,q] произвольным образом точками t0 = p < t1 < t2 < K < tn = q и положить Ak = (tk ),(tk ), k = 0, n. Тогда ( ) tk+ sk = (t) + (t) dt, k = 0, n -1. (4) ( )2 ( ) tk Затем на каждой частичной дуге (Ak Ak+1 нужно взять произвольную точку Mk (xk, yk ). Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [tk,tk+1] взять произвольную точку k и положить xk = (k ), yk = (k ).

Будем иметь тогда:

tk+n-1 n- = f (xk, yk )sk = f (k ),(k ) (t) + (t) dt.

() ( )2 ( ) k=0 k=tk По теореме о среднем для определенного интеграла (4) tk+sk = (t) + (t) dt = (k ) + (k ) (tk+1 - tk ), ( )2 ( )2 )2 ()( tk где k [tk,tk+1]. Поэтому n- = f (k ),(k ) (k ) + (k ) tk.

() ( ))2 ( k=Полученное выражение для сходно с суммой Римана для определенного интеграла, стоящего в правой части (3), но таковой не является, так как k и k, вообще говоря, различны.

Составим сумму n-* = f (k ),(k ) (k ) + (k ) tk.

() ( ))2 ( k=Это уже настоящая сумма Римана для определенного интеграла, стоящего в правой части (3), т. е. для интеграла q I* = f (t),(t) (t) + (t) dt.

() ( )2 ( ) p Было отмечено, что I* существует. Следовательно, * I* при * (* = max tk ). Заметим, что ( 0) (* 0). Рассмотрим очевид{ } k=0, n-ное равенство = * + ( - *). (5) Из (5) видно, что теорема будет доказана, если показать, что lim ( - *) = 0.

*Имеем n- - * = f (k ),(k ) - f (k ),(k ) sk.

() () [] k=Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое. Функция f (t),(t) C [p,q], ( ) ( ) как суперпозиция непрерывных функций. Значит, она и равномерно непрерывна на промежутке [p,q] взятому > 0 отвечает > 0 такое, что для любых двух точек t и t из [p,q], для которых t - t <, будет f (t),(t) - f (t),(t) <.

() ( ) Возьмем любое разбиение промежутка [p,q] на части [tk,tk+1], у которого ранг дробления * <. Так как k и k [tk,tk+1], то k - k tk+1 - tk * <.

Следовательно, для любого k = 0, n -1 будем иметь:

f (k ),(k ) - f (k ),(k ) <.

() ( ) Поэтому, считая дробление промежутка [p,q] таким, что * <, получим n- - * < sk = s (здесь s – длина (AB ). Так как для достижения нера k=венства - * < s потребовалось лишь, чтобы было * <, то заключаем, что lim ( - *) = 0, а значит, и lim( - *) = 0.

*0 Частные случаи.

I. Пусть кривая (AB дана явным уравнением: y = (x), x [a,b], a < b.

Тогда:

1) если функция (x) имеет на промежутке [a,b] непрерывную производную (x) и 2) если функция f (x, y) непрерывна на (AB, то f (x, y)ds существует, и ( AB b f (x, y)ds = f x,(x) 1+ (x) dx.

() ( ) ( AB a II. Пусть (AB задана уравнением в полярных координатах: r = r(), [,], <. Тогда:

1) если функция r() имеет на промежутке [,] непрерывную производную r() и 2) если функция f (x, y) непрерывна на (AB, то f (x, y)ds существует, и ( AB f (x, y)ds = f r cos,r sin r2 + (r )2 d.

() ( AB Замечание. Совершенно аналогично доказывается теорема о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода по пространственной кривой.

Теорема.

1. Пусть пространственная кривая (AB задана уравнениями:

x = (t), y = (t), t [p,q] и p < q z = (t), (считаем (AB незамкнутой и не имеющей кратных точек).

2. Пусть функции (t), (t), (t) имеют на промежутке [p,q] непрерывные производные (t), (t), (t).

3. Пусть ( p),( p),( p) = A, (q),(q),(q) = B и точки () ( ) (t),(t),(t) следуют друг за другом на (AB именно в том порядке, в ка() ком соответствующие значения t следуют друг за другом на [p,q].

Тогда, если функция f (x, y, z) непрерывна на (AB, то I = f (x, y, z)ds ( AB существует и выражается через обыкновенный определенный интеграл по формуле:

q f (x, y, z)ds= f (t),(t),(t) (t) + (t) + (t) dt ( p < q).

() ( )2 ( )2 ( ) ( AB p Примеры.

y 4 3 1. Вычислить I = a (x + y4 )ds, где (l) – дуга (l ) астроиды x2 3 + y2 3 = a2 3.

x Вычисление I удобнее производить, взяв уравa -a нение астроиды (l) в параметрической форме:

x = a cos3 t, -a (l) = t [0, 2].

y = asin3 t, Рис. 3.2. К примеру Имеем xt =-3a cos2 t sin t ; yt = 3asin2 t cost ;

ds = (xt)2 + ( yt)2 = 9a2 sin2 t cos2 t dt = 3a sin t cost dt.

Поэтому 4 I = a (cos4 t + sin4 t)3a sin t cost dt = 5 = 3a7 (cos sin t + sin5 cost)dt - (cos sin t + sin5 cost)dt + 0 3 5 + (cos sin t + sin5 cost)dt - (cos sin t + sin5 cost)dt 3 I = a7 3(- cos6 t + sin6 t) + (cos6 t - sin6 t) + 0 3 2 a7 +(- cos6 t + sin6 t) + (cos6 t - sin6 t) = 2 + 2 + 2 + 2 = 4a7 3.

[] 3 y = = 4 2. Вычислить I = y ds, где (l) – дуга (l ) x лемнискаты (x2 + y2 )2 = a2(x2 - y2 ).

-a a Перейдем к полярным координатам:

=- =x = r cos, Тогда уравнение лемнискаты по Рис. 3.3. К примеру y = r sin.

лучим в виде: r = a cos2. Имеем sin 2 ad a2 ; ds = r2 + (r )2 d = r =-a ; r2 + (r )2 = ;

coscos2 cosy = a cos2 sin, y ds = a2 sin d. Поэтому -3 I = a2 d + sin sin d - sin d - sin d = 0 3 4 - - 4 -3 4 = a2 - cos - cos + cos + cos = a2 4 - 2 2.

() [] 0 3 4 - - 3. Вычислить I = + y)ds, где (l) – контур треугольника с вершинами в (x (l ) точках O(0, 0), A(1, 0), B(0,1).

(l) = (l1) U (l2) U (l3);

y I = + y)ds = + y)ds + + y)ds + + y)ds.

B(01), (x (x (x (x (l ) (l1) (l2 ) (l3) (l2) (l3) 1) (l1) = OA: y = 0, x [0,1] x ds = 1+ ( yx )2dx = dx ;

O (l1) A(10), Рис. 3.4.

I1 = + y)ds = + 0)dx = =.

(x (x x2 1 К примеру 2 (l1) 2) (l2 ) = AB : y = 1- x, x [0,1] ds = 1+ ( yx )2dx = 2 dx ;

1 I2 = + y)ds = +1- x) 2 dx = 2 dx = 2 x = 2.

(x (x (l2 ) 0 3) (l3) = OB: x = 0; y [0,1] ds = 1+ (x )2 dy = dy ;

y yI3 = + y)ds = + y)dy = =.

(x (2 (l3) Значит, 1 I = I1 + I2 + I3 = + 2 + = 1+ 2.

2 4. Вычислить I = z ds, где (l) – коническая винтовая линия:

(l ) x = t cost, y = t sin t, t [0, t0].

z = t, Имеем: xt = cost - t sin t ; yt = sin t + t cost ; zt = 1;

ds = (xt)2 + ( yt + (zt)2dt = 2 + t2 dt.

)Тогда tt1(2 I = z ds = 2 + t2 dt = + t2)3 2 = (2 + t0 )3 2 - 23 2.

() t 3 (l ) x2 + y2 + z2 = a2, 5. Вычислить I = x2ds, где (l) – окружность:

x + y + z = 0.

(l ) Плоскость x + y + z = 0 проходит через начало координат и пересекается со сферой x2 + y2 + z2 = a2 по окружности радиуса a. Таким образом, (l) – окружность радиуса a длина (l) равна 2a. Легко понять, что x2ds = y2ds = z2ds. А тогда I = x2ds = (x + y2 + z2 )ds. Заметим, (l ) (l ) (l ) (l ) (l ) что на (l), т. е. на окружности радиуса a с центром в точке O, подынтегральная функция равна a2. Следовательно, I = ds. Но ds равен a ds = a(l ) (l ) (l ) 2a3.

значению длины окружности (l), т. е. 2a. Поэтому I = §2. Криволинейные интегралы второго рода 1°. Определение. Пусть в z B= An пространстве дана непрерывAn-1 ная кривая (AB. Пусть на (AB задана функция f (x, y, z). Выберем на (AB Ak+какое-нибудь направление Ak (xk, yk, zk ) (одно из двух возможных), например, от точки A к точке B.

A= AA1 Ay Проделаем следующие операции.

O 1. Разбиваем (AB точкаx ми A0 = A, A1, A2, K, An-1, Рис. 3.5. К определению криволинейного An = B на n частичных дуг интеграла второго рода (Ak Ak+1, k = 0,1, 2,K, n -1.

Точки Ak (xk, yk, zk ) следуют друг за другом вдоль (AB в направлении от точки A к точке B. Пусть dk – диаметр (Ak Ak+1 ( dk = sup ( M, N ) ), {} M( Ak Ak+1, N ( Ak Ak+и пусть = max dk.

{ } k=0, n-2. На каждой (Ak Ak+1 берем произвольную точку (xk, yk, zk ) и вычисляем в ней значение данной функции f (xk, yk, zk ). Соединим концы каждой частичной дуги хордой и придадим этим хордам направления соответствующих дуг. Получим направленную ломаную. Звенья этой ломаной есть векторы l0, l1, K, ln-1. Спроектируем эти векторы на ось Ox. Получим числа x0, x1, K, xn-1 ( xk = xk+1 - xk = прOx Ak Ak+1 = прOx lk ). Эти числа могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

3. Каждое вычисленное значение функции f (xk, yk, zk ) Ak+умножаем на проекцию соответствующего звена ломаной на lk ось Ox. Получим f (xk, yk, zk ) xk, k = 0,1, 2,K, n -1.

4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму n-= f (xk, yk, zk ) xk ( – интегральная сумма).

Ak k=Рис. 3.6. К 5. Измельчаем дробление (AB на части (Ak Ak+1 так, определению криволинейного чтобы 0, и ищем lim. Если существует конечный 0 интеграла второго рода I = lim и этот предел не зависит ни от способа разбиения (AB на части (Ak Ak+1, ни от выбора точки (xk, yk, zk ) на (Ak Ak+1, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции f (x, y, z) по кривой (AB (по x ) и обозначается f (x, y, z)dx.

( AB Замечания.

1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при перемене направления линии, по которой производится интегрирование, т. е.

f (x, y, z)dx =- f (x, y, z)dx.

( AB ( BA Это ясно, ибо проекции звеньев ломаной lk на ось Ox существенно зависят от направления (Ak Ak+1 и меняют знак с изменением этого направления на обратное.

2. Если звенья lk направленной ломаной проектировать на ось Oy, то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f (x, y, z) по (AB (по y ):

n-f (x, y, z)dy = lim f (xk, yk, zk )yk.

k=( AB 3. Если звенья lk направленной ломаной проектировать на ось Oz, то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f (x, y, z) по (AB (по z ):

n-f (x, y, z)dz = lim f (xk, yk, zk )zk.

k=( AB 4. Если на кривой (AB определены три функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и если существуют интегралы P(x, y, z)dx, Q(x, y, z)dy, ( AB ( AB R(x, y, z)dz, то их сумму называют криволинейным интегралом второго ро ( AB да («общего вида») и полагают P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( AB = P(x, y, z)dx + R(x, y, z)dz.

Q(x, y, z)dy + ( AB ( AB ( AB Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла.

2°. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода.

Теорема.

x = (t), 1. Пусть кривая (AB задана параметрическими уравнениями y = (t), z = (t), где (t), (t), (t) – функции, заданные и непрерывные на промежутке [a,b]. Кроме того, у функции (t) на [a,b] существует непрерывная производная (t). Пусть (a),(a),(a) = A, (b),(b),(b) = B, причем () ( ) A B, т. е. кривая (AB – незамкнутая. Пусть точки (t),(t),(t) следу( ) ют друг за другом на (AB именно в том порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за другом на [a,b].

2. Пусть функция f (x, y, z), заданная на (AB, непрерывна там.

Тогда I = f (x, y, z)dx существует и выражается обыкновенным опреде ( AB ленным интегралом по формуле b f (x, y, z)dx = f (t),(t),(t) (t)dt. (1) () ( AB a Замечания.

b 1. Интеграл I* = f (t),(t),(t) (t)dt существует, ибо подынте() a гральная функция в нем непрерывна на [a,b].

2. Нижний предел в I* должен отвечать началу пути интегрирования в I, а верхний предел – концу пути интегрирования.

Составим интегральную сумму для I. Для этого надо разбить (AB точками Ak (xk, yk, zk ) на частичные дуги (Ak Ak+1, k = 0,1, 2,K, n -( A0 = A, An = B). Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток [a,b] произвольным образом точками t0 = a < t1 < t2 < K < tn = b и положить Ak (tk ),(tk ),(tk ), k = 0,1, 2,K, n. Затем на каждой дуге (Ak Ak+() надо взять произвольную точку (xk, yk, zk ). Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [tk,tk+1] взять произвольную точку k и положить xk =(k ), yk =(k ), zk =(k ). Тогда получим n-1 n- = f (xk, yk, zk )(xk+1 - xk ) = f (k ),(k ),(k ) (tk+1) - (tk ).

()( ) k=0 k=По формуле Лагранжа (tk+1) - (tk ) = (k )(tk+1 - tk ), где k [tk,tk+1].

n-Поэтому = f (k ),(k ),(k ) (k ) tk. Видим, что эта сумма по() k=хожа на интегральную сумму Римана для определенного интеграла I*, но таковой не является, ибо, вообще говоря, k k.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.