WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |

( D ) Если составить интегральные суммы Римана для измененной и исходной функций, то они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям (Dk ), задевающим кривую (L). Но, по обобщенной теореме о простой кривой, общая площадь этих областей стремится к нулю при 0, откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу, т. е. к I = f (x, y)dF.

( D ) Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых.

5°. Если область (D ), в которой задана функция f (x, y), разложена простой кривой (L) на две области (D1) и (D2 ), то из интегрируемости функции f (x, y) во всей области (D ) следует ее интегрируемость в областях (D1) и (D2 ), и обратно – из интегрируемости функции f (x, y) в обеих областях (D1) и (D2 ) вытекает ее интегрируемость в области (D ). При этом f (x, y)dF = f (x, y)dF + f (x, y)dF. (1) ( D ) ( D1) ( D2 ) Разложим области (D1) и (D2 ) произвольными сетями простых кривых на части; тем самым и (D ) разложится на части (D1), (D2 ), K, (Dn ). Если значком k отметить частичные области, содержащиеся в (D1), а значком k – частичные области, содержащиеся в (D2 ), то n Fk = Fk + Fk.

k k k k=n 1) Пусть функция f (x, y) R(D ). Но тогда lim Fk = 0, а, следоваk k=тельно, и подавно lim Fk = 0 и lim Fk = 0. Последнее означает, k k 0 что f (x, y) R(D1) и f (x, y) R(D2 ).

2) Пусть теперь дано, что функция f (x, y) R(D1) и f (x, y) R(D2 ). Но тогда lim Fk = 0 и lim Fk = 0, а, следовательно, и k k 0 lim Fk = 0 f (x, y) R(D ).

k n Однако нужно помнить, что Fk построена не для произвольного разk k=биения области (D ) на части: ведь мы исходим из разложения порознь областей (D1) и (D2 ). Чтобы от произвольного разложения области (D ) перейти к разложению рассмотренного частного вида, нужно присоединить к линиям деления кривую (L). Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые задевают кривую (L). Но по обобщенной теореме о простой кривой общая площадь этих областей стремится к нулю при 0 и, следовательно, соответствующие суммы будут разниться на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемости функции f (x, y) в (D ) будет выполнено.

Доказываемая формула (1) получается из равенства:

n f (xk, yk )Fk = f (xk, yk )Fk + f (xk, yk )Fk k=переходом в нем к пределу при 0.

6°. Пусть f (x, y) R(D ) и g(x, y) R(D ), и пусть всюду в (D ) выполняется неравенство f (x, y) g(x, y). Тогда f (x, y)dF g(x, y)dF.

(D ) ( D ) Произвольной сетью простых кривых разобьем (D ) на части (Dk ). В каждой частичной области (Dk ) берем произвольную точку (xk, yk ). Ясно, что f (xk, yk ) g(xk, yk ), k = 1, n. Умножим обе части этого неравенства на Fk ( Fk > 0). Получим f (xk, yk )Fk g(xk, yk )Fk. Просуммируем полученные неравенства по значку k от 1 до n. Будем иметь n n f (xk, yk )Fk g(xk, yk )Fk. Переходя здесь к пределу при 0, полу k=1 k=чим f (x, y)dF g(x, y)dF.

(D ) ( D ) 7°. Пусть f (x, y) R(D ) и пусть всюду в (D ): m f (x, y) M. Тогда m F f (x, y)dF M F.

( D ) Это следует из свойств 6°, 2°, 1°.

8°. Теорема о среднем значении. Пусть f (x, y) R(D ) и пусть всюду в (D ): m f (x, y) M. Тогда: существует число µ, удовлетворяющее условию m µ M, такое, что будет f (x, y)dF = µ F.

(D ) Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется неравенство mF f (x, y)dF MF. Разделим все части этого неравенства на F ( D ) 1 ( F > 0 ): m f (x, y)dF M. Обозначим f (x, y)dF =µ (ясно, что F F ( D ) ( D ) m µ M ). Тогда f (x, y)dF = µ F, а это и требовалось установить.

(D ) 9°. Частный случай теоремы о среднем значении. Если функция f (x, y) C(D ), то в (D ) обязательно найдется хотя бы одна точка (,) такая, что будет:

f (x, y)dF = f (,) F.

(D ) По условию f (x, y) C(D ) по теореме Вейерштрасса f (x, y) достигает в (D ) своего наименьшего m и наибольшего M значений. Так как f (x, y) C(D ), то f (x, y) R(D ). Тогда по теореме о среднем значении f (x, y)dF = µ F, где m µ M. Значения m и M функция f (x, y) при (D ) нимает в (D ). Если же m < µ < M, то по теореме о промежуточном значении для функции f (x, y) C(D ) заключаем: в области (D ) обязательно найдется хотя бы одна точка (,) такая, что будет f (,) = µ, а значит, и в этом случае f (x, y)dF = f (,) F.

(D ) 10°. Если функция f (x, y) R(D ), то и функция f (x, y) R(D ), причем f (x, y)dF f (x, y) dF.

( D ) (D ) По условию f (x, y) R(D ) f (x, y) – ограниченная в (D ), т. е. существует число L > 0 такое, что f (x, y) L в (D ). Последнее означает, что функция f (x, y) – ограниченная в (D ). Следовательно, существуют ~ ~ m = inf f (x, y), M = sup f (x, y), m = inf f (x, y), M = sup f (x, y), а {} {}( D ) { } {} (D ) ( D ) ( D ) ~ ~ ~ значит, существуют = M - m и = M - m ( – колебание функции ~ ~ f (x, y) в (D ), а – колебание f (x, y) в (D )). Легко понять, что.

Возьмем произвольное разбиение области (D ) сетью простых кривых на ~ части (Dk ), k = 1, n. Пусть k – колебание f (x, y) в (Dk ), а k – колебание ~ ~ f (x, y) в (Dk ). Имеем 0 k k, k = 1, n 0 k Fk k Fk, k = 1, n.

Следовательно, n n ~ 0 Fk Fk. (2) k k k=1 k=n Так как f (x, y) R(D ), то lim Fk = 0. Тогда из (2) заключаем, что k k=n ~ lim Fk = 0. Последнее означает, что f (x, y) R(D ). Имеем, далее, k k=n n f (xk, yk )Fk f (xk, yk ) Fk, k=1 k=т. е. ( f ) | f |. Переходя в последнем неравенстве к пределу при 0, ( ) получим f (x, y)dF f (x, y) dF.

( D ) (D ) §5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в прямоугольнике a x b, (P ) = c y d.

1) Пусть при каждом закрепленном y из [c,d] функция f (x, y) интегрируема на [a,b], т. е. при каждом закрепленном y из [c,d] существует b b f (x, y)dx. Следовательно, f (x, y)dx представляет собой функцию аргу a a мента y, заданную на промежутке [c,d]. Станем обозначать b f (x, y)dx =( y), y [c,d]. Допустим теперь, что эта функция a d d b d b ( y) R [c,d]. Тогда y)dy = f (x, y)dx dy = dy f (x, y)dx назы( ) ( c c a c a вается повторным интегралом от функции f (x, y) в (P ).

2) Допустим еще, что при каждом закрепленном x из [a,b] существует d f (x, y)dy. Ясно, что каждому x из [a,b] будет отвечать свое, вполне опре c d d деленное значение интеграла f (x, y)dy. Следовательно, f (x, y)dy пред c c ставляет собой функцию аргумента x, определенную на промежутке [a,b].

d Станем обозначать f (x, y)dy =(x), x [a,b]. Допустим, что эта функция c b b d b d (x) R [a,b]. Тогда f (x, y)dy dx = dx f (x, y)dy назы( ) (x)dx = a a c a c вается еще одним повторным интегралом от функции f (x, y) в (P ).

Теорема 1. Если у ограниченной функции f (x, y), заданной в прямоугольнике (P ), существуют одновременно Iдв. = f (x, y)dxdy и (P ) d b Iповт. = dy f (x, y)dx, то они равны, т. е. Iдв. = Iповт..

c a y (Pik ) d yk+yk c x xi xi+a b Рис. 2.4. К вычислению двойного интеграла в случае прямоугольной области Разобьем (P ) отрезками прямых x = xi (i = 0,1, 2,K, n, x0 = a, xn = b ), y = yk ( k = 0,1, 2,K, m, y0 = c, ym = d ), на частичные прямоугольники xi x xi+1, (Pik ), где (Pik ) = Пусть mik = inf f (x, y), {} yk y yk+1. ( Pik ) Mik = sup f (x, y). Значит, если точка (x, y) (Pik ), то {} ( Pik ) mik f (x, y) Mik. (1) Возьмем любое y из [yk, yk+1] и закрепим его. Сделав это, проинтегрируем неравенство (1) по x от xi до xi+1. Получим xi+ mik (xi+1 - xi ) f (x, y)dx Mik (xi+1 - xi ). (2) xi xi+Интеграл f (x, y)dx существует, так как существует по условию Iповт., а это xi значит, что при любом закрепленном y из [c,d] f (x, y) R [a,b] ; тем более ( ) f (x, y) R [xi, xi+1]. Просуммируем неравенства (2) по значку i от 0 до n -() (во всех этих неравенствах считаем y одним и тем же, взятым из [yk, yk+1]).

Будем иметь b n-1 n- (xi+1 - xi ) f (x, y)dx Mik (xi+1 - xi ). (3) mik i=0 i=a Проинтегрируем неравенство (3) по y от yk до yk+1. Получим yk+b n-1 n- (xi+1 - xi )( yk+1 - yk ) dy f (x, y)dx (xi+1 - xi )( yk+1 - yk ). (4) mik Mik i=0 i=yk a Просуммируем неравенства (4) по значку k от 0 до m -1. Будем иметь d b m-1n-(xi+1 - xi )( yk+1 - yk ) dy f (x, y)dx mik k=0i=c a =Fik =s m-1n- Mik (xi+1 - xi )( yk+1 - yk ) s Iповт. S.

k=0i==Fik =S Так как s Iдв. S, то -(S - s) Iповт. - Iдв. (S - s), т. е.

Iповт. - Iдв. S - s. По условию, Iдв. существует lim(S - s) = 0. Следовательно, Iповт. - Iдв. = 0 Iдв. = Iповт..

Замечание. Совершенно аналогично устанавливается:

Если у ограниченной функции f (x, y), заданной в прямоугольнике (P ), b d ~ существуют одновременно Iдв. = f (x, y)dxdy и Iповт. = dx f (x, y)dy, то ( P ) a c ~ Iдв. = Iповт..

Теорема 2. Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна в b a x b, (P ) = y [c,d]. Тогда функция c y d. Пусть ( y) = f (x, y)dx, a ( y) C [c,d].

( ) Эта теорема была доказана ранее. См. главу 1, §3. О непрерывности интеграла как функции параметра.

Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справедливость утверждения:

d Пусть f (x, y) C(P ) и пусть (x) = f (x, y)dy, x [a,b]. Тогда функ c ция (x) C [a,b].

( ) Следствие. Если функция f (x, y) определена и непрерывна в (P ), то суd b b d ~ ществуют Iповт. = dy f (x, y)dx и Iповт. = dx f (x, y)dy.

c a a c b Действительно, в этом случае ( y) = f (x, y)dx C [c,d], а ( ) a d (x) = f (x, y)dy C [a,b]. Следовательно, ( y) R [c,d] ;

( ) ( ) c d b ~ (x) R [a,b], т. е. y)dy = Iповт. и ( ).

( (x)dx = Iповт существуют.

c a Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если f (x, y) C(P ), то f (x, y) R(P ), т. е. существует Iдв. = f (x, y)dxdy.

( P ) Таким образом, приходим к выводу: если f (x, y) C(P ), то существуют ~ одновременно Iдв., Iповт., Iповт.. А тогда по теореме 1 настоящего параграфа, получаем, что Iдв. = Iповт., т. е.

d b f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx. (5) (P ) c a ~ и Iдв. = Iповт., т. е.

b d f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. (6) (P ) a c 3 x 4, dxdy Пример 1. Вычислить I =, где (P ) = 1 y 2.

(x + y) (P ) 2 dxdy dx По формуле (5) имеем = dy. Находим сначала (x + y)2 (x + y)(P ) 1 внутренний интеграл:

x=dx 11.

=- = (x + y)2 x + y x=3 y + 3 y + А тогда y=dxdy y + 1 5 4 = - dy = ln = ln - ln = ln.

y + 4 6 5 (x + y)2 y + 3 y + y=(P ) ydxdy 0 x 1, Пример 2. Вычислить I =, где (P ) = 0 y 1.

(1+ x2 + y2 )3 ( P ) Здесь для вычисления I удобнее воспользоваться формулой (6), т. е. взять внешнее интегрирование по x, а внутреннее – по y. Будем иметь:

1 ydy I = dx. Находим внутренний интеграл:

(1+ x2 + y2)3 0 y=ydy 1 1 =- = -.

(1+ x2 + y2 )3 2 1+ x2 + y2 x2 +1 x2 + y=А тогда x= x + x2 +1 2 + I = - dx =ln =ln1+ 2 +ln 2 =ln.

1+ 3 1+ x2 +1 x2 + 2 x + x2 + x=Замечание. Если вычислять I по формуле (5), то квадратуры окажутся бо1 dx лее сложными. В самом деле, будем иметь: I = y dy. Нахо (1+ x2 + y2 )3 0 дим внутренний интеграл:

x=dx 1 x 1 = =.

(1+ x2 + y2 )3 2 1+ y2 1+ x2 + y2 1+ y2 2 + yx=А тогда y=2 + y2 -ydy 1 1 3 -1 1 2 -I = = ln = ln - ln = 2 3 +1 2 +(1+ y2 ) 2 + y2 2 2 + y2 +y=3 -1 2 +1 3 -1 2 +()() ( ) ( ) 1 1 2 + = ln = ln = ln.

2 2 1+ 3 +1 2 -()() §6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в области (D ), огра- y ниченной линиями: y = c, y = d d (c < d ) и x =( y); x =( y), где ( y), ( y) – функции, непрерывные (D) на промежутке [c,d] и такие, что x =( y) ( y) ( y), y [c,d].

c Определение. Пусть при каждом x =( y) x закрепленном y из [c,d] существует ( y) ( y) Рис. 2.5. К определению повторного f (x, y)dx. Тогда f (x, y)dx интеграла от функции f (x, y) ( y) ( y) в области (D ) представляет собой функцию аргумента y, определенную на проме( y) жутке [c,d], т. е. f (x, y)dx = ( y), y [c,d]. Если эта функция ( y) обозн.

( y) оказывается интегрируемой на промежутке [c,d], то ( y) d d dy f (x, y)dx называется повторным интегралом от функции ( y)dy = c c ( y) f (x, y) в области (D ).

Теорема 1. Если у ограниченной функции f (x, y), заданной в области (D ), существуют одновременно оба интеграла: Iдв. = f (x, y)dxdy и (D ) ( y) d Iповт. = dy f (x, y)dx, то они равны, т. е. Iдв. = Iповт..

c ( y) По условию ( y) и ( y) – функции, непрерывные на [c,d]. Значит, они – ограниченные на [c,d]. Следовательно, найдутся числа a и b такие, что будет: a < ( y) ( y) < b, y [c,d]. Построим прямоугольник a x b, (P ) = c y d. Ясно, что (D ) (P ). Введем в рассмотрение вспомогатель ную функцию g(x, y), определив ее в прямоугольнике (P ) следующим образом:

y f (x, y) в (D ), g(x, y) = x =( y) x =( y) 0 в (P ) \ (D ).

d Покажем, что у функции g(x, y) в (P ) сущест(D) * вуют оба интеграла Iдв. = g(x, y)dF и y ( P ) c d b x * Iповт. = dy g(x, y)dx.

a b c a Рис. 2.6. К доказательству 1) Действительно, g(x, y) R(D ), ибо в теоремы (D ) g(x, y) f (x, y). Кроме того, g(x, y) R (P ) \ (D), ибо g(x, y) = 0 всюду в (P ) \ (D), за исключением, () быть может, множества точек, лежащих на двух простых кривых: x = ( y) и x =( y), y = [c,d] (мы знаем, что существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функций вдоль конечного числа простых кривых). Значит, g(x, y) R(P ), т. е.

* Iдв. = g(x, y)dF существует. Имеем, далее, ( P ) * Iдв. = g(x, y)dF = g(x, y)dF + g(x, y)dF = (P ) ( D ) (P \(D) 1)4 == f (x, y)dF + 0 = Iдв..

( D ) * Итак, Iдв. существует, и * Iдв. = Iдв.. (1) * 2) Покажем теперь, что у функции g(x, y) в (P ) существует Iповт.. Для этого возьмем любое y из [c,d] и закрепим его. Имеем [a,b] = a,( y) U ( y),( y) U ( y),b.

[] [ ] [ ] Функция g(x, y) интегрируема по x на каждом из этих трех промежутков, ибо на ( y),( y) она совпадает с f (x, y), а на остальных двух – g(x, y) = 0 всю[] ду за исключением, быть может, двух точек. Имеем, далее, ( y) ( y) ( y) b b g(x, y)dx = g(x, y)dx + g(x, y)dx + g(x, y)dx = f (x, y)dx.

a a ( y) ( ) ( y) 4 1y4 ==По условию, правая часть последнего равенства интегрируема на промежутке [c,d] (по условию, Iповт. существует). Значит, интегрируема на промежутке d b * [c,d] и левая часть этого равенства, т. е. существует Iповт. = dy g(x, y)dx.

c a * Таким образом, показано, что Iповт. существует и что * Iповт. = Iповт.. (2) Так как у ограниченной функции g(x, y), заданной в прямоугольнике (P ), су* * ществуют оба интеграла Iдв. и Iповт., то по теореме 1 предыдущего параграфа заключаем, что * * Iдв. = Iповт.. (3) * * У нас Iдв. = Iдв., Iповт. = Iповт.. Следовательно, Iдв. = Iповт..

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.