WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 13 |

По условию f (x, y) R(D ). Пусть I = f (x, y)dxdy. Но тогда любому ( D ) >0 отвечает >0 такое, что для любого способа дробления (D ) на части (Dk ), у которого <, независимо от способа выбора точек (xk, yk ) в (Dk ), ~ будет - I <. В частности, числу = 1 (> 0) будет отвечать > 0 такое, что ~ для любого способа разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <, независимо от способа выбора точек (xk, yk ) в (Dk ), будет - I < 1.

~ Возьмем любой способ разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <, и закрепим его. (Тогда Fk, k = 1, n, будут определенными числами.) Для такого способа разбиения (D ) на части (Dk ), независимо от способа выбора точек n (xk, yk ) в (Dk ) будем иметь f (xk, yk ) Fk - I <1.

k=Теперь выберем и закрепим точки (x2, y2 ), (x3, y3), K, (xn, yn ) соответственно в областях (D2), (D3), K, (Dn ) (тогда f (x2, y2 ), f (x3, y3), K, f (xn, yn ) будут определенными числами). Точку (x1, y1) оставим свободной в (D1) (т. е. точка (x1, y1) может занимать любое положение в области (D1)).

Будем иметь при любом положении точки (x1, y1) в (D1):

n f (x1, y1) F1 + f (xk, yk ) Fk - I <1.

k=n Положим I - f (xk, yk ) Fk = C (C – определенное число, не зависящее от k=выбора точки (x1, y1)). Предыдущее неравенство запишется теперь так:

f (x1, y1) F1 - C <1, точка (x1, y1) (D1).

Имеем:

f (x1, y1) F1 = f (x1, y1) F1 - C + C ( ) f (x1, y1) F1 f (x1, y1) F1 - C + C 1+ C f (x1, y1) F1 <1+ C f (x1, y1) < F1.

Так как последнее неравенство верно для любого положения точки (x1, y1) в (D1), то заключаем, что функция f (x, y) – ограниченная в (D1). Совершенно аналогично устанавливается ограниченность функции f (x, y) в областях (D2 ), (D3), K, (Dn ).

Положим M1 = sup f (x, y), M2 = sup f (x, y), K, Mn = sup f (x, y).

{}( D2 ) } {} { (D1) ( Dn ) Пусть M = max M1, M2,K, Mn. Тогда f (x, y) M для любой точки (x, y) {} из (D ). А это и означает, что f (x, y) – ограниченная в (D ).

Замечание. Доказанная теорема необратима, т. е. не всякая функция f (x, y), заданная в (D ) и ограниченная там, оказывается интегрируемой в (D ). Следовательно, ограниченность функции f (x, y) в области (D ) является лишь необходимым условием интегрируемости этой функции в (D ).

§3. Признаки интегрируемости функций Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в области (D ), ограниченной простым контуром.

На вопрос, существует или не существует f (x, y)dxdy, ответить, поль (D ) зуясь непосредственным определением двойного интеграла, удается сравнительно легко лишь в отдельных частных случаях. В связи с этим оказывается важным установление признаков интегрируемости функции f (x, y) в области (D ). Но признаки интегрируемости f (x, y) в (D ) содержат понятия верхней и нижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти понятия.

Итак, пусть f (x, y) – ограниченная функция, определенная в области (D ).

Разложим (D ) произвольной сетью простых кривых на части (Dk ), k = 1, n, и положим Mk = sup f (x, y) ; mk = inf f (x, y). Отметим, что числа mk и { } { } (Dk ) ( Dk ) Mk, k = 1, n, существуют, ибо множество f (x, y), (x, y) (Dk ) – ограни{ } n n ченное и сверху, и снизу. Составим суммы s = Fk и S = Mk Fk. Эти mk k=1 k=суммы называют соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, отвечающими данному способу разбиения области (D ) на части (Dk ).

Отметим, что для закрепленного способа разбиения (D ) на части (Dk ) суммы s и S – определенные числа. Если же способ разбиения изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и S. Отметим далее, что интегральные суммы Римана даже для закрепленного способа дробления (D ) на части (Dk ) принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений (за счет различного выбора точек (xk, yk ) в (Dk ).

Суммы Дарбу обладают следующими свойствами.

1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области (D ). Пусть – множество интегральных { } сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области (D ). Тогда для любой интегральной суммы Римана из будет: s S.

{ } 2. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области (D ). Пусть – множество интегральных { } сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области (D ). Тогда s = inf, S = sup.

{ } { } 3. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие какомунибудь способу дробления области (D ). Добавим теперь еще одну простую кривую дробления (все прежние кривые дробления сохраняются). В результате ~ у нас получится некоторый новый способ дробления области (D ). Пусть s и ~ S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие этому новому способу дроб~ ~ ления области (D ). Справедливо утверждение, что S S, s s, т. е. что от добавления новых кривых дробления верхняя сумма Дарбу не увеличивается, а нижняя сумма Дарбу не уменьшается.

4. Выше было отмечено, что для закрепленного способа дробления области (D ) нижняя и верхняя суммы Дарбу s и S суть определенные числа. Если же способ дробления области (D ) изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и S. Следовательно, как s, так и S принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений.

Пусть s – множество значений, принимаемых нижней суммой Дарбу, S { } { } – множество значений, принимаемых верхней суммой Дарбу. Справедливо утверждение:

Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу, т. е.

для всякой s из s и для любой S из S оказывается { } { } s S.

Видим, что перечисленные здесь свойства сумм Дарбу являются дословным повторением аналогичных свойств сумм Дарбу, установленных для функций f (x), заданных на промежутке [a,b] (см. главу 1, §2 учебного пособия [4]) Следует отметить, что и доказательства этих свойств совершенно аналогичны прежним.

Приступим теперь к установлению признаков интегрируемости.

Теорема 1 (основной признак интегрируемости). Пусть функция f (x, y) – ограниченная, заданная в области (D ). Для того, чтобы f (x, y) R(D ), необходимо и достаточно, чтобы было lim(S - s) = 0 (разности S - s составляются каждый раз из чисел s и S, отвечающих одному и тому же способу дробления области (D )).

Необходимость. Дано: f (x, y) R(D ), I = f (x, y)dF. Доказать:

( D ) lim(S - s) = 0.

Возьмем >0 – любое. По условию f (x, y) R(D ) взятому >0 отвечает >0 такое, что для любого разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <, для каждой из множества, отвечающих этому способу разбиения, { } будет - I <. Выберем и закрепим какой-нибудь способ разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <. Будем иметь - I <, для любой из { } (здесь – множество интегральных сумм Римана, отвечающих нашему за{ } крепленному способу разбиения (D )), или, что то же самое, I - < < I +. (1) { } 33, 1) Из соотношения (1) имеем, в частности, < I +, I + – { } 3 верхняя граница. Мы знаем, что S = sup. Поэтому { } { } S I + (2) ( S – верхняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения (D )).

2) Из соотношения (1) имеем также > I -, I - – нижняя { } 3 граница. Мы знаем, что s = inf. Поэтому { } { } s I - (3) ( s – нижняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения (D )).

Из соотношений (2) и (3) следует, что 0 S - s.

Тогда 0 S - s < S - s <. Последнее неравенство получено нами лишь в предположении, что <. Следовательно, lim S - s = 0.

( ) Достаточность. Дано: lim S - s = 0. Доказать: f (x, y) R(D ).

( ) По условию, lim(S - s) = 0. Это означает, что любому > 0 отвечает > такое, что для любого разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <, оказывается S - s <, или S - s < (так как S - s 0 ). Рассмотрим множества s { } и S. Выберем и закрепим любую S и S. Обозначим ее через S0. По свой{ } { } ству 4) сумм Дарбу, имеем s S0, s s. Это означает, что s ограничено { } { } сверху. Но тогда, как мы знаем, существует sup s. Пусть A = sup s ( A – оп{ } { } ределенное число). Ясно, что s A, s s. Ясно далее, что A S0 (так как A { } – точная верхняя граница s, а S0 – просто верхняя граница этого множества).

{ } У нас S0 – любая из S. Следовательно, A S, S S. Таким образом, по{ } { } лучили s A S. (4) Отметим, что в соотношении (4) s и S могут отвечать как различным, так и одному и тому же способу разбиения (D ) на части (Dk ). Возьмем любой способ разбиения (D ) на части (Dk ). Пусть – множество интегральных сумм { } Римана, отвечающих этому способу разбиения (D ), а s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу. Одновременно будут иметь место соотношения s S, ; s A S.

{ } Тогда -(S - s) - A (S - s), или - A (S - s),. Если { } { } брать любой способ разбиения (D ) на части, у которого <, то будет S - s <, а значит, - A <,.

{ } Последнее означает, что A = lim f (x, y) R(D ).

Замечание. Имеем n n n n S - s = Mk Fk - Fk = Fk.

mk ( Mk - mk )Fk = k k=1 k=1 k=1 k=Здесь k = Mk - mk – колебание функции f (x, y) в (Dk ). Теперь основной признак интегрируемости может быть сформулирован так.

Пусть функция f (x, y) – ограниченная, заданная в области (D ). Для того, чтобы f (x, y) R(D ), необходимо и достаточно, чтобы любому >0 отвечало >0 такое, что для любого способа разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <, было бы n Fk <.

k k=Теорема 2. Если f (x, y) C(D ), то f (x, y) R(D ) (т. е. если функция f (x, y) определена и непрерывна в (D ), то f (x, y)dxdy существует).

(D ) Возьмем >0 – любое. По условию f (x, y) C(D ). Так как (D ) – ограниченное замкнутое множество, то по теореме Кантора f (x, y) равномерно непрерывна в (D ). Следовательно, взятому > 0 отвечает > 0 такое, что для любого разбиения (D ) на части (Dk ), у которого <, будет k < одноF временно для всех k = 1, n (см. следствие из теоремы Кантора; здесь F – площадь области (D )). Возьмем любой способ разбиения (D ) на части (Dk ) ( k = 1, n ), у которого <. Будем иметь для такого способа разбиения (D ) n n n Fk < Fk = = F =.

k Fk F F F k=1 k=1 k=n Неравенство Fk < получено нами лишь в предположении, что <.

k k=Последнее означает, что f (x, y) R(D ).

Теорема 3. Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в области (D ) и непрерывна там всюду, за исключением множества точек, лежащих на конечном числе простых кривых. Тогда f (x, y) R(D ).

Пусть для определенности y (K ) у функции f (x, y) в (D ) имеется лишь одна линия разрыва (L).

Возьмем >0 – любое. По тео(D*) реме о простой кривой линию (L) можно заключить внутрь (L) многоугольной области (D*), (K*) площадь которой меньше.

x Контур (K*) области (D*) есть замкнутая ломаная, звенья Рис. 2.3. К доказательству теоремы которой параллельны координатным осям. (L) и (K*) не пересекаются.

Пусть (D ) \ (D*) – область, остающаяся после удаления (D*) из (D ).

(Контур (K*) причисляем к области (D ) \ (D*) ). Ясно, что f (x, y) – непрерывна в (D ) \ (D*).

Так как (D ) \ (D*) – ограниченное замкнутое множество, то f (x, y) равномерно непрерывна в (D ) \ (D*). Следовательно, взятому > 0 отвечает число 1 > 0 такое, что для любых двух точек (x, y); (x, y) из (D ) \ (D*), для которых (x, y); (x, y) < будет f (x, y) - f (x, y) <.

() Контур (K*) есть простая кривая. По обобщенной теореме о простой кривой, взятому >0 отвечает 2 > 0 такое, что для любого способа дробления, у которого < 2, сумма площадей тех частичных областей, которые задевают (K*), будет меньше.

Положим = min 1,2. Разобьем область (D ) произвольной сетью про{ } стых кривых на части (Dk ), k = 1, n, так, чтобы оказалось < и составим n разность сумм Дарбу S - s = Fk.

k k=Из областей (D1), (D2 ), K, (Dn ) образуем три группы.

В группу I отнесем те из (Dk ), k = 1, n, которые лежат в (D ) \ (D*) и не задевают контура (K*).

В группу II отнесем те из (Dk ), k = 1, n, которые лежат в (D*) и не задевают контура (K*).

В группу III отнесем те (Dk ), которые задевают контур (K*).

n Тогда и сумма Fk разобьется на три суммы,,. В сумме k I II III k= будет k < и поэтому k Fk < F. В суммах и будет I I II III k, где – колебание функции f (x, y) в (D ) (число существует, ибо f (x, y) – ограниченная в (D )). Так как суммы площадей областей (Dk ), попавших в группу II и в группу III меньше, то будем иметь:

k Fk Fk <, II II k Fk Fk <.

III III А тогда n S - s = Fk < (F + 2) (5) k k=(число (F + 2) сколь угодно мало вместе с ).

Так как для достижения неравенства (5) нам потребовалось лишь чтобы было <, то заключаем, что lim(S - s) = 0, а это означает, что f (x, y) R(D ).

§4 Свойства двойных интегралов 1°. dF = F ( F – площадь области (D )).

( D ) В самом деле, здесь f (x, y) 1 всюду в (D ). Поэтому, взяв любое разбиение области (D ) на части (Dk ), k = 1, n, и выбрав произвольно точки (xk, yk ) в (Dk ), будем иметь f (x1, y1) = 1; f (x2, y2 ) = 1, f (x3, y3) = 1, K, f (xn, yn ) = 1. Следовательно, n n n = f (xk, yk ) Fk = Fk = = F lim = F.

1 Fk k=1 k=1 k=2°. Если f (x, y) R(D ) и – произвольное число, то f (x, y) R(D ), причем f (x, y)dF = f (x, y)dF.

(D ) ( D ) Возьмем произвольное разбиение сетью простых кривых области (D ) на части (Dk ) и составим интегральную сумму Римана для функции f (x, y).

Будем иметь n n ( f ) = f (xk, yk )Fk = f (xk, yk )Fk = (F).

k=1 k=По условию, f (x, y) R(D ) lim ( f ) существует, конечный и равный f (x, y)dF. Но тогда lim ( f ) = lim ( f ) = f (x, y)dF, т. е.

0 (D ) ( D ) lim ( f ) существует, конечный f (x, y)dF существует, причем (D ) f (x, y)dF.

f (x, y)dF = ( D ) ( D ) 3°. Если f (x, y) R(D ) и g(x, y) R(D ), то f (x, y) ± g(x, y) R(D ), ( ) причем f (x, y)dF ± g(x, y)dF.

( f (x, y) ± g(x, y))dF = (D ) ( D ) (D ) Берем произвольное разбиение сетью простых кривых области (D ) на части (Dk ) и составляем интегральную сумму Римана для функции f (x, y) ± g(x, y). Будем иметь n n n ( f ± g) = f (xk, yk ) ± g(xk, yk ) Fk = f (xk, yk )Fk ± g(xk, yk )Fk = () k=1 k=1 k== ( f ) ± (g).

По условию f (x, y) R(D ) и g(x, y) R(D ) существуют конечные lim ( f ) и lim ( g). Но тогда существует конечный lim ( f ± g), причем 0 0 lim ( f ± g) = lim ( f ) ± lim (g) f (x, y) ± g(x, y) dF существует, ) ( 0 0 (D ) причем f (x, y) ± g(x, y) dF = f (x, y)dF ± g(x, y)dF.

() (D ) ( D ) (D ) 4°. Пусть f (x, y) R(D ). Если изменить значения функции f (x, y) вдоль какой-нибудь простой кривой (L) (с тем лишь условием, чтобы и измененная функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в (D ) и ее двойной интеграл по области (D ) равен f (x, y)dF.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.