WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 13 |

y Пусть функции ( y), ( y) определены в промежутке [c,d] и имеют там про( y) изводные ( y), ( y). Пусть I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. Тогда для любо ( y) го y [c,d] существует I( y), причем ( y) I( y) = f (x, y)dx + f ( y), y ( y) - f y), y ( y). (4) ) () (( y ( y) Выберем и закрепим любое y0 [c,d].

I. Пусть ( y0 ) < ( y0 ). При доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что в этом случае существует окрестность: u1( y0 ) такая, что для любого y u1( y0 ) будет: ( y) < < ( y). Дадим y0 приращение y – любое, но такое, что y 0 и y0 + y u1( y0 ). Будем иметь, следовательно, ( y0 + y) < < ( y0 + y). Положим p = max y0 ),( y0 + y) ;

{( } q = min ( y0),( y0 + y). Могут реализоваться следующие случаи:

{} 1) p =( y0 ), q = ( y0 ) ;

2) p =( y0 ), q = ( y0 + y);

3) p = ( y0 + y), q =( y0 ) ;

4) p = ( y0 + y), q = ( y0 + y).

1. Рассмотрим случай, когда p = ( y0 ), q = ( y0 ). Имеем в этом случае ( y0 ) ( y0+y) I( y0 ) = f (x, y0 )dx, I( y0 + y) = f (x, y0 + y)dx = ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 ) ( y0 ) ( y0 +y) = f (x, y0 + y)dx + f (x, y0 + y)dx + f (x, y0 + y)dx.

( y0 +y) ( y0 ) ( y0 ) А тогда I( y0 + y) - I( y0) = ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 +y) = f (x, y0 + y) - f (x, y0 ) dx + f (x, y0 + y)dx - f (x, y0 + y)dx.

[] ( y0 ) ( y0 ) ( y0 ) По теореме Лагранжа f (x, y0 + y) - f (x, y0 ) = f (x, y0 + y) y. По частy ному случаю теоремы о среднем для определенного интеграла ( y0 +y) f (x, y0 + y)dx = f (c1, y0 + y) ( y0 + y) - ( y0 ), [] ( y0 ) где c1 ( y0 ),( y0 + y) c1 ( y0), если y 0;

[] ( y0 +y) f (x, y0 + y)dx = f (c2, y0 + y) ( y0 + y) - ( y0 ), [] ( y0 ) где c2 ( y0 ),( y0 + y) c2 ( y0), если y 0. Следовательно, [] ( y0 ) J( y0 + y) - J( y0 ) = f (x, y0 + y)dx + y y ( y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) + f (c1, y0 + y) - f (c2, y0 + y).

y y Переходя к пределу при y 0, получаем:

( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx + f ( y0 ), y0 ( y0 ) - f y0 ), y0 ( y0 ). (5) () (( ) y ( y0 ) 2. Рассмотрим случай, когда p = ( y0 ), q = ( y0 + y).

В этом случае ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx = f (x, y0)dx + f (x, y0 )dx ;

( y0 ) ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 ) ( y0 +y) I( y0 + y)= f (x, y0 + y)dx = f (x, y0 + y)dx + f (x, y0 + y)dx ;

( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 ) ( y0 +y) I( y0 + y) - I( y0 ) = f (x, y0 + y) - f (x, y0 ) dx + [] ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 +y) + f (x, y0 )dx - f (x, y0 + y)dx = f (x, y0 + y) y dx + y ( y0 ) ( y0 ) ( y0 ) + f (c1, y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) - f (c2, y0 + y) ( y0 + y) - ( y0 ) [] [ ] ( y0 +y) I( y0 + y) - I( y0 ) = f (x, y0 + y)dx + y y ( y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) ( y0 + y) - ( y0) + f (c1, y0 ) - f (c2, y0 + y) y y Переходя в этом соотношении к пределу при y 0, находим ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx + f ( y0 ), y0 ( y0 ) - f y0 ), y0 ( y0 ). (5) () (( ) y ( y0 ) 3. Рассмотрим случай, когда p = ( y0 + y), q = ( y0 ).

В этом случае ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx = f (x, y0 )dx + f (x, y0)dx ;

( y0 ) ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 ) ( y0 +y) I( y0 + y)= f (x, y0 + y)dx = f (x, y0 + y)dx + f (x, y0 + y)dx ;

( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 ) ( y0 ) I( y0 + y) - I( y0 ) = [ f (x, y0 + y) - f (x, y0)]dx + ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 ) + f (x, y0 + y)dx - f (x, y0)dx = f (x, y0 + y) y dx + y ( y0 ) ( y0 ) ( y0 +y) + f (c1, y0 + y) ( y0 + y) - ( y0 ) - f (c2, y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) [ ] [ ] ( y0 ) I( y0 + y) - I( y0 ) = f (x, y0 + y)dx + y y ( y0 +y) ( y0 + y) - ( y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) + f (c1, y0 + y) - f (c2, y0 ) y y Переходя здесь к пределу при y 0, получим ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx + f ( y0 ), y0 ( y0 ) - f y0 ), y0 ( y0 ). (5) () (( ) y ( y0 ) 4. Рассмотрим случай, когда p = ( y0 + y), q = ( y0 + y).

В этом случае ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx = f (x, y0 )dx + f (x, y0 )dx + f (x, y0)dx ;

( y0 ) ( y0 ) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 +y) I( y0 + y) = f (x, y0 + y)dx ;

( y0 +y) ( y0 +y) I( y0 + y) - I( y0 ) = [ f (x, y0 + y) - f (x, y0)]dx + ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 +y) ( y0 +y) + f (x, y0 )dx - f (x, y0 )dx = f (x, y0 + y) y dx + y ( y0 ) ( y0 ) ( y0 +y) + f (c1, y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) - f (c2, y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) [] [ ] ( y0 +y) I( y0 + y) - I( y0 ) = f (x, y0 + y)dx + y y ( y0 +y) ( y0 + y) - ( y0 ) ( y0 + y) - ( y0 ) + f (c1, y0 ) - f (c2, y0 ) y y Переходя в этом соотношении к пределу при y 0, находим ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx + f ( y0 ), y0 ( y0 ) - f y0 ), y0 ( y0 ). (5) () (( ) y ( y0 ) II. Пусть ( y0 ) = ( y0 ).

( y0 ) В этом случае I( y0 ) = f (x, y0)dx = 0 (как интеграл, у которого совпа ( y0 ) дают нижний и верхний пределы интегрирования);

( y0 +y) I( y0 + y) = f (x, y0 + y)dx. А тогда ( y0 +y) ( y0 +y) I( y0 + y) - I( y0 ) = f (x, y0 + y)dx = ( y0 +y) = f (c, y0 + y) ( y0 + y) - ( y0 + y).

[ ] Здесь ( y0 + y) c ( y0 + y) c ( y0 ) = ( y0 ). Имеем [ ] yI( y0 + y) - I( y0 ) = y ( y0 + y) - ( y0 ) -(( y0 + y) - ( y0) () ) = f (c, y0 + y).

y Переходя здесь к пределу при y 0, находим:

I( y0 ) = f ( y0 ), y0 ( y0 ) - ( y0 ) = f y0 ), y0 ( y0 ) - ( y0 ), () (( ) [] [ ] ибо ( y0 ) = ( y0 ). Последняя формула может быть записана также в виде I( y0 ) = f ( y0), y0 ( y0 ) - f y0 ), y0 ( y0 ). (6) () (( ) Легко видеть, что формула (6) является частным случаем формулы (5) (она получается из (5), если положить в (5) ( y0 ) = ( y0 )).

Так как у нас y0 – любое, принадлежащее [c,d], то приходим к выводу, что I( y) существует для любого y [c,d] и что ( y) I( y) = f (x, y)dx + f ( y), y ( y) - f y), y ( y).

) () (( y ( y) §7. Примеры к главе 1. Дано: I( y) = x2 + y2 dx. Найти lim I( y).

y- Так как подынтегральная функция f (x, y) = x2 + y2 непрерывна на всей плоскости Oxy, то она непрерывна, в частности, в прямоугольнике -1 x 1, (P ) = где d > 0 – любое конечное число. По теореме §2 заключа -d y d, ем, что допустим предельный переход по параметру под знаком интеграла, когда y 0. Имеем 1 1 lim x2 + y2 dx = lim x2 + y2 dx = x dx = y0 y-1 -1 -0 0 x2 x2 1 = xdx = - + = + = 1.

-xdx + 22 2 -1 -1 1+ y dx 2. Дано: I( y) =. Найти lim I( y).

1+ x2 + y2 yy Здесь подынтегральная функция f (x, y) =. Она непрерывна 1+ x2 + yна всей плоскости Oxy. Функции ( y) = y, ( y) = 1+ y непрерывны для всех y (-,+ ). Следовательно, в частности, f (x, y) непрерывна в области y x 1+ y, (D ) = где d > 0 – любое конечное число, а функции -d y d, ( y), ( y) непрерывны на промежутке [-d,d]. Видим, что выполнены условия теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра (см. §6). По этой теореме I( y) C [-d,d], а значит, I( y) непрерывна в точке y = 0. Сле() довательно, lim I( y) = I(0), т. е.

y1+ y dx dx lim = 1+ x2 = arctg x =.

y1+ x2 + yy xb - xa dx (a, ), применяя интегрирование по па3. Вычислить > 0 b > ln x раметру под знаком интеграла.

Отметим прежде всего, что данный интеграл – несобственный, Подынтегральная функция имеет две особые точки. Это – точки x = 0 и x = 1. Имеем:

xb - xa 0 подынтегральная функция в правой полуокрестно1) lim = ln x x+сти точки x = 0 – ограниченная.

xb - xa lim bxb-1 - axa-1 lim (bxb axa ) = b - a – опреде2) lim = =ln x 1 x x-0 x-0 x-1 1 ленное число. подынтегральная функция в левой полуокрестности точки x = 1 – ограниченная.

Положим b x - xa, x (0,1);

ln x ~ f (x) = 0, x = 0;

b - a, x = 1.

~ ~ Ясно, что f (x) C [0,1] f (x) R [0,1], а значит, данный интеграл ( ) ( ) xb - xa dx сходится.

ln x b y Введем в рассмотрение интеграл I(x) = x dy (a > 0, b > 0 ), x [0,1].

a Этот интеграл представляет собой функцию параметра x, определенную в проy межутке [0,1]. Здесь f (x, y) = x определена и непрерывна в прямоугольнике a y b, (P ) = 0 x 1. А тогда по теореме об интегрировании по параметру под зна ком интеграла (см. §5) имеем:

1 1 b b y y I(x)dx = x dy dx = x dx dy.

0 0 a a y=b b y x xb - xa, то предыдущее равенство примет y Так как I(x) = x dy = = ln x ln x y=a a вид:

1 b xb - xa dx = x dx dy y ln x 0 a x=1 b b y+ dy xb - xa dx = x y=b b += ln( y +1) = ln.

y +1 dy = y=a ln x y +1 a + 0 a x=0 a y- yx4. Вычислить I( y), если I( y) = e dx.

y Здесь f (x, y) = e- yx2, ( y) = y, ( y) = y2 ; ( y) ( y), если y (-, 0] U [1, + ) ; ( y) ( y), если y [0,1]. Пусть d1 > 0 – любое конечное число; d2 >1 – любое конечное число. Введем в рассмотрение области -d1 y 0, 0 y 1, 1 y d2, (D1) = (D2 ) = (D3) = y2 x y; y x y2.

y x y2;

В каждой из этих трех областей f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную f (x, y) =-x2e- yx2.

y В каждом из промежутков: [-d1, 0]; [0,1]; [1, d2] существуют ( y), ( y), причем ( y) = 1, ( y) = 2 y. По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) заключаем, что для любого y [-d1, 0] U [1, d2] I( y) существует и ( ) yI( y) =- x2e- yx2dx + e- y5 2 y - e- y3.

y Пусть теперь y – любое из промежутка [0,1]. Имеем I( y) =-~( y), где I y ~( y) = - yx2dx. По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) для I e yy ~ ~ любого y [0,1] I ( y) существует и I ( y) =- x2e- yx2dx + e- y3 - e- y5 2 y.

yСледовательно, для любого y [0,1] существует I( y), причем y I( y) =-~( y), т. е. I( y) = x2e- yx2dx + e- y5 2 y - e- yI yy I( y) =- x2e- yx2dx + e- y5 2 y - e- y3, y [0,1].

y Глава 2. Двойные интегралы §1. Область и ее диаметр Предварительно напомним некоторые сведения, относящиеся к понятию кривой на плоскости.

1. Если (t) и (t) – две функции, определенные и непрерывные на промежутке [a,b], то множество точек плоскости (t),(t), t [a,b], называ( ) { } ется непрерывной кривой.

2. Если (a) = (b) и (a) = (b), то непрерывная кривая называется замкнутой.

3. Замкнутая кривая называется самонепересекающейся, если две точки кривой (u),(u) и (v),(v) при u < v могут совпасть лишь тогда, когда () ( ) u = a, v = b.

4. Замкнутая самонепересекающаяся кривая (K ) делит плоскость на два связных множества (D) и (G). (Любые две точки каждого их этих множеств можно соединить непрерывной кривой, не пересекающей (K ). Если же одна из этих точек принадлежит (D), а другая – принадлежит (G), то всякая соединяющая их непрерывная кривая пересекает (K ).) Точки, лежащие на (K ), не входят ни в (D), ни в (G). Одно из множеств (D), (G) является ограниченным, а другое – нет. То из этих двух множеств, которое является ограниченным, будем называть областью, ограниченной контуром (K ). (У нас на рис. 2.1 (D) – область, ограниченная контуром (K ).) Если к точками области (D) присоединить точки контура (K ), то полученное множество будем называть замкнутой областью, ограниченной контуром (K ), и (K) (G) обозначать через (D ). Отметим, что замкнутая область (D ) есть ограниченное замкнутое множество.

(D) Определение. Пусть (D ) – замкнутая область, ограниченная контуром (K ). Пусть M и N – любые две точки, лежащие на (K ). Пусть ( M, N ) – расстояние между точками M и N.

Рис. 2.1. К определению понятия области Число d = sup ( M, N ) называется диа{} M(K ) N ( K ) метром (D ).

Теорема. На контуре (K ) существуют две точки M0 и N0 такие, что ( M0, N0 ) = d.

Возьмем на контуре (K ) точки M и N. Пусть M = (u),(u), () N = (v),(v). Тогда ( M, N ) = (v) - (u) + (v) - (u). Видим, () []2 []что ( M, N ) есть функция аргументов u, v, определенная в квадрате a u b, (P ) = a v b, и, очевидно, непрерывная в (P ). По второй теореме Вейер штрасса существует точка (u0,v0 ) (P ), в которой эта функция принимает свое наибольшее значение. Остается только положить M0 = (u0 ),(u0 ), () N0 = (v0 ),(v0).

() (K) (L) В главе 3 (см. §1) учебного пособия [4] дано определение площади области (D ), установлено необходимое и достаточное условие квадрируемости этой области. Там же введено понятие простой кривой и доказана теорема о простой Рис. 2.2. К обобщенной теореме кривой. Следствием этой теоремы о простой кривой явилось утверждение, что область (D ), ограниченная простым контуром, квадрируема. Отметим здесь, что теорема о простой кривой допускает обобщение, а именно:

Обобщенная теорема о простой кривой. Пусть (L) – простая кривая, расположенная в области (D), ограниченной простым контуром (K ). Разделим (D ) произвольной сетью простых кривых на части (Dk ), k = 1, 2,K, n. Пусть Q – сумма площадей тех частичных областей (Dk ), которые имеют с (L) хотя бы одну общую точку. Тогда, если – наибольший из диаметров частичных областей (Dk ), то lim Q = 0.

§2. Определение двойного интеграла Пусть функция f (x, y) задана в области (D ), ограниченной простым контуром (K ). Проделаем следующие операции.

1. Дробим (D ) произвольной сетью простых кривых на n частичных областей (D1), (D2 ), K, (Dn ). Пусть площади этих частичных областей есть соответственно F1, F2, K, Fn, а диаметры – d1, d2,K, dn. Положим = max dk ( – ранг дробления).

{ } k=1, n 2. В каждой частичной области (Dk ) берем произвольную точку (xk, yk ) и находим в ней значения функции f, т. е. находим f (xk, yk ).

3. Умножаем найденное значение функции на площадь соответствующей частичной области: f (xk, yk ) Fk, k = 1, 2,K, n.

4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму:

n = f (xk, yk ) Fk.

k=Сумму будем называть интегральной суммой Римана. Отметим, что зависит, вообще говоря, как от способа разбиения (D ) на части (Dk ), так и от выбора точек (xk, yk ) в (Dk ).

5. Измельчаем дробление так, чтобы 0, и ищем lim. Если существует конечный предел I = lim и этот предел не зависит ни от способа дробления (D ) на части (Dk ), k = 1, n, ни от выбора точек (xk, yk ) в (Dk ), то его называют двойным интегралом от функции f (x, y) по области (D ) и обозначают символом f (x, y)dF или f (x, y)dxdy.

(D ) (D ) Таким образом, n f (x, y)dF = lim f (x, y)dF = lim f (xk, yk ) Fk. (1) 0 k= (D ) (D ) Замечание. Соотношение I = lim означает: любому числу >0 отвечает число >0 такое, что для любого способа дробления (D ) на части (Dk ), у которого ранг дробления <, будет: - I <, как бы ни были при этом выбраны точки (xk, yk ) в (Dk ).

Если у функции f (x, y), определенной в (D ), существует f (x, y)dF, (D ) то будем говорить, что f (x, y) интегрируема в (D ) и писать f (x, y) R(D ) ( f (x, y) принадлежит классу R в области (D )).

Установим теперь необходимое условие интегрируемости функции f (x, y) в области (D ).

Теорема (об ограниченности функции f (x, y), интегрируемой в (D ).

Если функция f (x, y) R(D ), то f (x, y) – ограниченная в области (D ).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.