WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 ||

Здесь следует отметить, что мы (при определенных условиях) установили право переставлять два интеграла, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток. Оправдывать такую перестановку в случае, когда оба интеграла берутся по бесконечному промежутку, значительно сложнее. Обоснование возможности перемены порядка интегрирования в нашем повторном интеграле интересующийся может найти в книге Л.Д. Кудрявцева «Курс математического анализа», т. 2, 1981.

Поменяв порядок интегрирования, получаем + + a-(a + b)(a,b) = zb-1e-z (uz) e-uzz du dz.

0 Во внутреннем интеграле делаем замену uz = v :

+ + + (a + b) (a,b)= zb-1e-z a-1e-vdv dz = zb-1e-z(a)dz = (a) (b), (v) 0 0 откуда (a) (b) (a,b) =.

(a + b) (a) (1- a) В частности, (a,1- a) = = (a) (1- a). Если 0 < a <1, то от(1) сюда получаем:

(a)(1- a) =. (5) sin a Формула (5) носит название формулы дополнения.

Пусть a = 1 2. Из формулы (5) находим 2 1 == и, следова sin ( ) тельно, =. (6) Пользуясь соотношениями (3) и (6), получаем для любого n N 1 1 n 3 n 5 1 1 = n + = n - - - K 2 2 2 2 2 (2n -1)(2n - 3)(2n - 5)K(2n -1)!! = =.

2n 2n 4. Функция (a) непрерывна на промежутке (0, + ).

Возьмем любую точку a0 > 0. Всегда можно указать промежуток [c,d] (0 < c < d < + ) такой, что будет: c < a0 < d.

Представим (a) в виде:

+ 1 + (a) = xa-1e-xdx = xa-1e-xdx + xa-1e- xdx = I1(a) + I2(a).

0 0 14243 = I1(a) = I2(a) Рассмотрим I1(a) = xa-1e-xdx. Имеем:

0 < x 1, 1) f (x,a) = xa-1e-x непрерывна в области c a d;

1 2) f (x,a)dx = xa-1e- xdx сходится равномерно относительно a на про 0 межутке [c,d].

В самом деле, для 0 < x 1: xa xc умножив обе части этого неравенстe-x ва на (> 0), получим: xa-1e- x xc-1e-x (для 0 < x 1 и для c a d ). Но x интеграл xc-1e-xdx сходится, если c > 0. А тогда по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, интеграл I1(a) = xa-1e-xdx сходится равномерно относительно a на [c,d]. Следова тельно, функция I1(a) непрерывна на [c,d] I1(a) непрерывна в точке a0.

+ Рассмотрим I2(a) = xa-1e-xdx.

Имеем:

1 x < +, 1) f (x,a) = xa-1e-x непрерывна в области c a d;

+ + 2) f (x,a)dx = xa-1e-xdx сходится равномерно относительно a на 1 промежутке [c,d].

В самом деле, для 1 x < + : xa xd xa-1e- x xd -1e-x. Так как ин+ + теграл xd -1e-xdx сходится для любого конечного d, то I2(a) = xa-1e-xdx 1 сходится равномерно относительно a на [c,d]. Следовательно, функция I2(a) непрерывна на [c,d], в частности, I2(a) непрерывна в точке a0. Так как I1(a) и I2(a) непрерывны в точке a0, то (a) = I1(a) + I2(a) непрерывна в точке a0. У нас a0 – любая на промежутке (0, + ). Значит, (a) непрерывна на промежутке (0, +).

5. (a) ~ 1 a при a +0.

В самом деле, запишем соотношение (2) в виде (a) (a +1) = 1 a и перейдем к пределу при a +0. В силу непрерывности Гамма-функции в (a) интервале (0, +) lim (a +1) = (1) = 1. Значит, и lim = 1, а это озна1 a a+0 a+чает, что (a) ~ при a +0, то есть при приближении a к +0 (a) ведет a себя как эквивалентная ей бесконечно большая положительная величина 1 a.

6. Функция (a) имеет в интервале (0, +) производные всех порядков, причем + (n)(a) = xa-1e-x(ln x)n dx. (7) Установим существование первой производной функции (a) и равенство + (a) = xa-1e-x ln x dx. (8) Возьмем любую точку a0 > 0. Всегда можно указать промежуток [c,d] (0 < c < d < +) такой, что будет c < a0 < d. Имеем:

1) f (x,a) = xa-1e-x и fa(x,a) = xa-1e-x ln x непрерывны в области 0 < x < +, c a d.

+ + 2) f (x,a)dx = xa-1e-xdx сходится в промежутке [c,d].

0 + + 3) Покажем, что fa(x,a)dx = xa-1e- x ln x dx сходится равномерно от 0 носительно a на промежутке [c,d].

Имеем + 1 + fa(x,a)dx = xa-1e-x ln x dx + xa-1e-x ln x dx.

0 0 Рассмотрим xa-1e-x ln x dx.

Так как 0 < x 1, c a d, то xa-1e- x xc-1e-x (см. пункт 4) xa-1e- x ln x xc-1e- x ln x, ибо ln x 0 для x (0,1]. А тогда 14243 0 xa-1e-x ln x xc-1e-x ln x = -xc-1e-x ln.

14244x 4 Так как e- x <1 для x (0,1], то xa-1e-x ln x -xc-1 ln x. Имеем:

dx 1 x=u = ln x du = x - xc-1 ln x dx = =- xc ln x +1 dx.

dv = xc-1dx v = 1 c xc 14 x= c 0 x1-c c =dx Мы знаем, что сходится, если 1- c <1, т. е. если c > 0. Следовательно, x1-c по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что интеграл xa-1e-x ln x dx сходится равномерно от носительно a на промежутке [c,d].

+ Рассмотрим теперь xa-1e- x ln x dx.

Для 1 x < +, c a d имеем: xa-1e- x xd -1e-x xa-1e- x ln x xd-1e-x ln x, ибо ln x 0 для x [1, +). Имеем:

ln x ~ xd -1e-x ln x = xde- x ln x. Так как lim = 0, то существует точка x (>1) x x x+ ln x ~ ~ такая, что для x x : <1 и, следовательно, для x x :

x + xd -1e-x ln x < xde- x. Так как xde- xdx сходится при любом конечном d, то ~ x + + сходится интеграл xd-1e-x ln x dx, а значит, сходится xd -1e-x ln x dx. А то ~ x гда по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, завися+ щих от параметра, заключаем, что xa-1e-x ln x dx сходится равномерно отно сительно a на промежутке [c,d]. Таким образом, окончательно приходим к + выводу, что интеграл xa-1e- x ln x dx сходится равномерно относительно a на промежутке [c,d].

Значит, (a) существует для любого a [c,d], в частности, существует (a0 ). Так как точка a0 – любая (a0 > 0 ), то заключаем: (a) существует + для a (0, +), причем (a) = xa-1e-x ln x dx. Формула (8) доказана.

Доказательство равенства (7) проводится с помощью аналогичных оценок по индукции.

Теперь мы в состоянии составить себе представление о характере поведения Гамма-функции в интервале (0; +).

+ y Имеем (a) = xa-1e- x(ln x)2 dx. Ясно, что (a) > 0 и поэтому (a) строго возрастает в (0; +).

y =(a) Так как (1) = (2) = 1, то по теореме Ролля в интервале (1, 2) лежит точка c такая, что (c) = 0. Следовательно, (a) < 0 при 0 < a < c и (a) > 0 при c < a < +.

a Значит, сама функция (a) строго убывает в интервале 1 2 3 4 (0, c) и строго возрастает в интервале (c, +). При этом Рис. 6.2. График lim (a) =+ и lim (a) = lim (n) = +. В точке функции y = (a) a+0 a+ n+ a = c функция (a) достигает своего наименьшего зна- при a > чения. Можно показать, что c 1.462 ; (c) 0.886.

График Гамма-функции представлен на рис. 6.2.

Замечание 1. Пользуясь основным свойством (2) Гамма-функции и опираясь на определение (1) этой функции при положительных значениях аргумента a, можно определить Гамма-функцию и для отрицательных значений аргумента. В самом деле, запишем формулу (2) в виде (a +1) (a) =. (9) a Из (9) видим, что зная значение Гамма-функции при каком-нибудь значении аргумента, можно вычислить ее значение при аргументе, уменьшенном на единицу. Для этого нужно прежнее значение функции разделить на уменьшенное значение аргумента.

Если взять a, удовлетворяющее неравенствам -1< a < 0, то в правой части (9) (a +1) будет функцией от положительного аргумента, значение которой определено формулой (1), а в левой части (9) (a) будет функцией от отрицательного аргумента. За значение (a) при a из промежутка (-1, 0) прини(a +1) маем значение в соответствии с формулой (9). Так, например, a 1 - + 2 1 = - = =-2.

2 1 - 2 Если теперь взять a, удовлетворяющее неравенствам -2 < a < -1, то правая часть формулы (9) будет содержать значения Гамма-функции при аргументах из промежутка (-1, 0), уже определенные нами выше. Это дает возможность по формуле (9) определить значения (a) при -2 < a < -1. В силу этого определения будем иметь, например:

3 - - + 2 2 -2 3 = - = = =.

2 3 3 3 - - 2 2 Определив теперь значения Гамма-функции в промежутке (-2, -1), мы, пользуясь формулой (9), сможем определить ее значения в промежутке (-3, - 2), и т. д. Так мы можем определить значения Гамма-функции при любых отрицательных не целых значениях аргумента a.

Выше было отмечено, что (+0) = lim (a) = +. Из формулы (9) нахоa+дим, что (a +1) (-0) = lim =-.

a a-y y =(a) a --5 -3 -2 -1 2 3 4 ---Рис. 6.3. График функции y = (a) Пользуясь этой же формулой (9), находим, что (a +1) (+0) (-1+ 0) = lim = =-, a -a-1+(a +1) (-0) (-1- 0) = lim = =+, a -a-1-(a +1) (-1+ 0) (-2 + 0) = lim = =+, a -a-2+(a +1) (-1- 0) (-2 - 0) = lim = =- a -a-2-и т. д. Обычно это выражают словами так: Гамма-функция при нуле и при целых отрицательных значениях аргумента обращается в бесконечность (см.

рис. 6.3).

Замечание 2. Введенная в этом параграфе неэлементарная функция (a) играет в математике важную роль. Для функции (a) составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями – показательной, тригонометрическими и т. д.

Оказывается, что определенные интегралы различных типов могут быть выражены через Гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Даже если функция имеет первообразную, являющуюся элементарной функцией, интеграл от этой функции зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-функцию.

§3. Примеры к главе Пример 1. Вычислить I = xa-1(1- xc )b-1dx (a > 0, b > 0, c > 0).

1-c c Положим xc = t cxc-1dx = dt dx = t dt. Тогда c a 1 (b) a-1 1-c a - c c c c I = t t (1- t)b-1dt = 1t (1- t)b-1dt = 1 a, b = 1.

c c c c c a + b 0 c Важно подчеркнуть, что здесь a, b, c – любые вещественные положительные числа, а значит, вообще говоря, неопределенный интеграл xa-1(1- xc )b-1dx является неэлементарной функцией. Известно, что даже в случае, когда a, b, c – рациональные числа, этот неопределенный интеграл является элементарной функцией лишь тогда, когда по крайней мере одно из чиa a сел b,, + b – целое.

c c a-Пример 2. Вычислить I = sin x cosb-1 x dx (a > 0, b > 0 ).

Запишем этот интеграл в виде a-I = sin x cosb-2 x 2sin x cos x dx = a-2 b-2 = sin2 x cos2 x 2sin x cos x dx.

( ) () Положим sin2 x = t 2sin x cos x dx = dt. Тогда a b 1 a b - 2 1 - I =.

t (1- t)2 dt = 1 a, b = 2 2 2 2 a + b В частности, при b = 1 будем иметь a 1 a 2 2 a-I = =.

sin x dx = 2 a +1 a + 2 Важно подчеркнуть, что и в этом примере a, b – любые вещественные поa-ложительные числа, а значит, неопределенный интеграл sin x cosb-1 x dx является, вообще говоря, неэлементарной функцией.

+ dx Пример 3. Вычислить I =.

1+ x 1 - Положим x = t x = t и dx = t dt. Следовательно, + 1 t1 -1 dt.

I = 1+ t + ta-1 dt. Значит, в нашем примере Мы знаем, что (a,b) = (1+ t)a+b -1 = a -1, 1 = a + b, 1 откуда a = и b = 1-. Имеем, таким образом, 1 1 1 I = 1, 1- = = 1 sin sin (так как (a,1- a) =, если 0 < a < 1).

sin a + x ln x Пример 4. Вычислить I = dx.

1+ x1 1 Положим x3 = t x = t3, dx = t dt и ln x = t. Тогда 3 3ln + 1 t ln t I = dt.

9 1+ t + Введем в рассмотрение (a,1- a) =ta-1 dt (0 < a < 1). Имеем 1+ t + ta-1 dt =. Продифференцируем обе части последнего равенства по a.

1+ t sin a + ta-1 ln t cosa Получим dt =-2, откуда при a = находим 1+ t sin2 a + cos t ln t dt =-2 = 2.

1+ t sin2 2 1 2 Тогда I = 2 = 2.

9 3 Литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. – М.: Физматгиз, 1959.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. – М.–Л.: Физматгиз, 1960.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2. – М.: Высшая школа, 1981.

4. Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999.

ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.............§1. Определение интегралов, зависящих от параметра...............................................§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла....................................................................................................................§3. О непрерывности интеграла как функции параметра............................................§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла................................§5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла.....................................§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра.................................§7. Примеры к главе 1...................................................................................................ГЛАВА 2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................................§1. Область и ее диаметр...............................................................................................§2. Определение двойного интеграла..........................................................................§3. Признаки интегрируемости функций....................................................................§4. Свойства двойных интегралов...............................................................................§5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области..................§6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области..................§7. Примеры к главе 2...................................................................................................ГЛАВА 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................§1. Криволинейные интегралы первого рода.............................................................§2. Криволинейные интегралы второго рода..............................................................§3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.