WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |

B B B f (x, y)dx f (x, y) dx (x)dx.

A A A Отсюда в пределе при B + при всех значениях y из [c,d] получаем + + f (x, y)dx (1) (x)dx.

AA + По условию, (x)dx сходится, поэтому a A + A + (x)dx (x)dx (x)dx - (x)dx A+ A+ a a aa + (x)dx 0.

A+ A Последнее означает, что всякому > 0 отвечает число M > 0 такое, что как + только A > M, так сейчас же (x)dx <. Отметим, что здесь M зависит A + только от. В силу (1), при A > M и подавно будет f (x, y)dx < сразу для A + всех y из [c,d]. А это означает, что f (x, y)dx сходится равномерно относи a тельно y на [c,d].

Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно аналогичные теоремам §2–§5.

§6. Примеры к главе Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем к вычислению интегралов.

Пример 1. Рассмотрим интеграл + -x I( y) = (1) e sin xy dx.

Имеем:

x=+ + y - x (sin xy + y cos xy) =. (2) e sin xy dx = - e-x 1+ y2 1+ yx=Используя равенство (2), найдем величины некоторых других интегралов.

1. Отметим, что интеграл I( y) сходится равномерно относительно y на любом промежутке [c,d]. В самом деле, имеем: e-x sin xy e- x для любого + x=+ - x y [c,d] и для всех x [0, + ); интеграл = 1, т.е. схоe dx =-e-x x=дится, тогда по теореме §5 I( y) сходится равномерно относительно y на промежутке [c,d].

Отметим еще, что функция f (x, y) = e- x sin xy непрерывна в области 0 x < +, c y d. Тогда по теореме §2 имеем:

I( y) C [c,d] I( y) R [c,d] I( y) R [0, z].

( ) ( ) ( ) (здесь положено c = 0, d = z, где z – любое конечное). По теореме §z + + z -x - x e sin xy dx dy = e sin xy dy dx.

0 0 0 Следовательно, интегрируя обе части равенства (2) по y от 0 до z, будем иметь + zz ydy - x (3) e sin xy dy dx = 1+ y2.

0 0 z y=z cos xy -x Но sin xy dy =-e-x = e- x 1- cos xz (это равенство установлено e x x y=для x 0; оно верно и при x = 0, если в этой точке понимать его в предельном смысле:

z z - x lim sin xy dy = lim (e-x sin xy)dy = 0;

e x0 x0 lim e-x 1- cos xz = lim e- x 2 sin2 xz = 0 ).

x x x0 xТогда (3) для любого конечного z примет вид:

+ e-x 1- cos xz dx = ln(1+ z2 ),.

x 2. Имеем: f (x, y) = (e-x sin xy)y = xe- x cos xy непрерывна в области y + 0 x < +, + x c y d. f (x, y)dx = xe- cos xy dx сходится равномерно относиy тельно y на [c,d]. В самом деле, xe- x cos xy xe- x для любого y [c,d] и + x=+ x [0, + ); xe- xdx =-(x +1)e- x = 1, т.е. сходится. Поэтому x=+ xe- x cos xy dx сходится равномерно относительно y на промежутке [c,d].

Тогда по теореме § + + + -x -x xe-x cos xy dx.

e sin xy dx = (e sin xy)y dx = 00 y Дифференцируя по y обе части равенства (2), получим для любого конечного y + 1- yxe-x cos xy dx =.

(1+ y2 )Пример 2. Рассмотрим интеграл + dx I( y) =, y [c,d], (4) x2 + yгде [c,d] – любой, но такой, что 1 c < d.

Имеем:

+ x=+ dx 1 x = arctg =, y [c,d]. (5) y 2 y x2 + y2 y x=И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще некоторых интегралов.

1. Отметим, что интеграл I( y) сходится равномерно относительно y на промежутке [c,d]. Действительно, имеем:, y [c,d] и x2 + y2 x2 ++ dx x=+ x [0, + ); = arctg x =, т.е. сходится. Следовательно, I( y) x=x2 +сходится равномерно относительно y на [c,d].

Отметим еще, что функция f (x, y) = непрерывна в области x2 + y0 x < +, c y d. Тогда I( y) C [c,d] I( y) R [c,d] I( y) R [1, z] ( ) ( ) ( ) (здесь положено c = 1, d = z, где z – любое конечное, z >1).

По теореме об интегрировании по параметру под знаком интеграла (см. §3) z + + z dy dx dy = dx.

x2 + y2 x2 + y 1 0 0 Следовательно, интегрируя обе части равенства (5) по y от 1 до z, будем иметь + zz dy dx = dy. (6) 2 y x2 + y 0 1 z z y=z arctg - arctg dy y xx Но = arctg = (это равенство установлено для x x x2 + y2 x y=x 0; оно верно и при x = 0, если в этой точке понимать его в предельном смысле:

z z z z dy dy 11 lim = lim dy = = - = 1-, z x0 xx2 + y2 x2 + y2 y2 y 1 1 (z -1) x (z -1) x z arctg arctg - arctg xx x2 + z x2 + z lim = lim = lim = 1- ).

x x xz x0 x0 xТогда (6) для любого конечного z 1 примет вид z + arctg - arctg xx dx = ln z.

x 2 y 2. Имеем: f (x, y) = =- непрерывна в области y x2 + y2 (x2 + y2 )y + + 0 x < +, -2 y c < d ). f (x, y)dx = dx сходится равномерно c y d (y (x2 + y2 ) 0 относительно y на [c,d]. В самом деле, для y [c,d] и x [0, + ) + -2 y 2d 2d, а dx сходится. Тогда по теореме о диффе (x2 + y2 )2 (x2 +1)2 (x2 +1)ренцировании по параметру под знаком интеграла (см. §4) + + + -2 y dx = dx = dx.

x2 + y2 x2 + y2 (x2 + y2 ) 0 0 y y Дифференцируя по y обе части равенства (5), получим + ydx -2 =-, (x2 + y2 )2 2 yоткуда + dx =, y [c,d]. (7) (x2 + y2 )2 4 yАналогично обосновывается возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла левой части (7). Тогда, дифференцируя по y обе части равенства (7), находим + + -4 y 3 1 dx 3 dx =-, y [c,d] =, y [c,d].

(x2 + y2)3 y4 (x2 + y2 )3 16 y0 Пример 3. С помощью дифференцирования по параметру вычислить dx I( y) = ln1+ y cos x, | y| <1. (8) 1- y cos x cos x Возьмем любую точку y0 (-11). Всегда можно указать число >, такое, что будет [-1+, 1- ] (-1,1) и точка y0 (-1+,1- ).

0 0 0 y0 1-0 y --1+1+ y cos x Так как lim ln 1- y cos x cos x = 2 y конечен, то функция x -~ f (x, y), x [0, 2), y [-1+, 1- ], 0 f (x, y) = 2 y, x = 2, y [-1+, 1- ] 0 0 x 2,, непрерывна в области где f (x, y) = ln1+ y cos x 1- y cos x cos x y 1-, -1+ причем ~ I( y) = f (x, y)dx.

Последнее выражение для I( y) – собственный интеграл, зависящий от параметра y.

~ 0 x 2, Имеем: f (x, y) = непрерывна в области y y 1-.

1- y2 cos2 x -1+ По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, находим tg x = t x = arctgt, 2dx I( y) = = = dt dx = ; cos2 x = 1- y2 cos2 x 1+ t2 1+ tt =+ + 2dt 2 t = = arctg =, (1- y2 ) + t2 1- y1- y2 1- yt =y [-1+,1- ].

0 В частности, существует I( y0 ), причем I( y0 ) =. У нас точка y0 – 1- y любая из (-11). Следовательно, I( y) =, y (-11). Тогда,, 1- y I( y) = dy = arcsin y + C, y (-11). (9), 1- yЗдесь C – постоянная интегрирования. Из (8) видим, что I(0) = 0. Положив теперь в обеих частях равенства (9) y = 0, получим 0 = 0 + C, откуда C = 0. Таким образом, окончательно получаем I( y) = arcsin y, y (-11). (10), Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл + -x I( y) = (11) e cos xy dx, > 0.

Имеем:

0 x <+, 1) f (x, y) = e-x cos xy непрерывна в области [c,d] – c y d, где любой промежуток, и имеет там непрерывную частную производную f (x, y) =-xe-x sin xy.

y + -x2) Интеграл I( y) = e cos xy dx ( > 0) сходится (и даже равномерно относительно y на промежутке [c,d]).

+ + 3) Интеграл f (x, y)dx =- xe-x sin xy dx сходится равномерно отноy сительно y на промежутке [c,d].

В самом деле, f (x, y) = - xe-x sin xy xe-x для любого y [c,d] и y для всех x [0, + ), а интеграл + + x=+ 1 -x2 1 xe-x dx =- =, e d(-x2 ) =- 2 e-x 2 x=0 т.е. сходится.

По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла + u = sin xy du = y cos xy dx, I( y) =- xe-x sin xy dx = = dv =-xe-x dx v = e-x + x=+ y = e-x sin xyy -xe cos xy dx = - 2 I( y).

2 x= 144424440 4 == I( y) Итак, получили уравнение y I( y) =- I( y), (12) которое является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим y- I( y) = C e, (13) где С – постоянная интегрирования.

Из (11) видим, что + -x I(0) = (14) e dx.

Если в (14) сделать замену t = x, то получим + 1 -tI(0) = e dt.

+ -tВ главе 3 (см. §7) было получено e dt = 2. Следовательно, I(0) =. Положив теперь в обеих частях равенства (13) y = 0, получим C =. Таким образом, окончательно будем иметь y I( y) = e. (15) Глава 6. Эйлеровы интегралы §1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) Так называется интеграл вида (a,b) = xa-1 (1- x)b-1dx. (1) Этот интеграл собственный, если одновременно a 1, b 1. Если же хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл (1) – несобственный.

Покажем, что интеграл (1) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0.

Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет, вообще говоря, две особые точки: x = 0 и x = 1. Поэтому представляем (1) в виде:

1 (a,b) = xa-1 (1- x)b-1dx + xa-1 (1- x)b-1dx = I1 + I2.

0 1 144 144 = I= I1 Рассмотрим интеграл I1 = xa-1 (1- x)b-1dx. Он – несобственный при a <1. Особая точка x = 0. Запишем подынтегральную функцию в виде (1- x)b-1 f (x) = xa-1 (1- x)b-1 = и введем функцию g(x) =. Так как x1- x1f (x) lim = lim(1- x)b-1 = 1 при любом b (конечный, 0 ), то интегралы g(x) x0 x1 2 1 f (x)dx и g(x)dx сходятся или расходятся одновременно. Но 0 1 2 1 dx g(x)dx = сходится лишь тогда, когда 1- a <1, то есть когда a > 0.

x10 Следовательно, I1 сходится при любом b и лишь при a > 0.

Рассмотрим I2 = xa-1 (1- x)b-1dx. Он – неb 1 собственный при b <1. Особая точка x = 1. Подынтегральная функция a xa-1.

f (x) = xa-1 (1- x)b-1 = (1- x)1-b ~ Положим g(x) =. Имеем (1- x)1-b f (x) Рис. 6.1. К определению lim = lim xa-1 = 1 при любом a (конечный, ~ g(x) Бета-функции x1 x1 ~ 0 ). Значит, f (x)dx и g(x)dx сходятся или 1 2 1 1 dx ~ расходятся одновременно. Но g(x)dx = сходится лишь тогда, (1- x)1-b 1 2 1 когда 1- b <1, то есть когда b > 0. Следовательно, I2 сходится при любом a и лишь при b > 0.

Вывод: (a,b) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0. Значит, 0 < a < +, 0 < b < + – область определения функции (a,b) (рис. 6.1).

Установим некоторые свойства Бета-функции (a,b).

1. Положим в (1) x = 1- t. Тогда b- (a,b) = (1- t)a-1dt = (b,a). (2) t Видим, что Бета-функция – симметричная функция.

2. Пусть b >1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим 1 (a,b) = xa-1(1- x)b-1dx = = (1- x)b-1d xa a 0 xa b -= (1- x)b-1 + x(1- x)b-2dx.

a a 14 =Так как xa = xa-1 - xa-1(1- x), то будем иметь 1 b -1 b -(a,b) = xa-1(1- x)b-2 dx - xa-1(1- x)b-1dx = a a 0 144 3 42444 =(a,b-1) =(a,b) b -1(a, b -1) - b -1(a,b), = a a откуда b - (a,b) = (3) a + b -1(a,b -1).

Так как функция (a,b) – симметричная, то при a >1 будет справедлива формула a - (a,b) = (4) a + b -1(a -1,b).

Формулы (3) и (4) можно применять для «уменьшения» аргументов, чтобы сделать их, например, меньше единицы. Если b = n, где n – натуральное, >1, то, применяя формулу (3) повторно, получим:

n -1 n -1 n - (a,n) = (a,n - 2) = K = a + n -1(a,n -1) = a + n -1 a + n - n -1 n - 2 n - 3 = K a + n -1 a + n - 2 a + n - 3 a +1(a,1).

xa Но (a,1) = xa-1dx = =. Поэтому a a 1 23K(n - 2)(n -1) (a,n) = (n,a) =.

a(a +1)(a + 2)K(a + n - 2)(a + n -1) Если еще и a = m, где m – натуральное, то будем иметь (n -1)! (m -1)!(n -1)!.

(mn) = =, m(m +1)(m + 2)K(m + n - 2)(m + n -1) (m + n -1)! 3. Получим для функции (a,b) другое аналитическое выражение. Для этоy x го в (1) сделаем замену, положив x = ( y = ). Тогда 1- x =, 1+ y 1- x 1+ y dy dx = и, следовательно, (1+ y)+ + y-1 dy ya- (a,b) = = dy. (5) (1+ y)-1 (1+ y)b-1 (1+ y)2 (1+ y)a+b 0 4. Отметим без доказательства, что если b = 1- a и если еще 0 < a < 1 (а значит, и 0 < b < 1), то (a,1- a) = (6) sin a Соотношение (6) будет установлено позже (в теории функций комплексного переменного).

§2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) Так называется интеграл вида + (a) = xa-1 e- xdx. (1) Покажем, что интеграл (1) сходится при a > 0. Для этого представим его в виде + 1 + xa-1 e-xdx = xa-1e-xdx + xa-1e-xdx.

0 0 14243 = I1 = IРассмотрим I1 = xa-1e-xdx. Отметим, что I1 – собственный интеграл, ес ли a 1, и несобственный, если a <1 (особая точка x = 0). Подынтегральная e-x функция f (x) = xa-1e-x =. Положим g(x) =. Имеем x1-a x1-a 1 f (x) lim = lim e-x = 1 (конечный, 0 ). Значит, f (x)dx и g(x)dx сходят g(x) x0 x0 1 dx ся или расходятся одновременно. Но g(x)dx = сходится лишь тогда, x10 когда 1- a <1, то есть когда a > 0.

+ Рассмотрим I2 = xa-1e-xdx.

xa+1 0, то существует число k >1 такое, что Так как при любом a lim = x+ ex xa+как только x k, так сейчас же будет, например, <1. Но тогда при x k ex + xa-1 1 dx будет < при любом a. Известно, что сходится. Значит, и ex x2 xk + xa-1e-xdx сходится при любом a. Следовательно, сходится при любом a и k несобственный интеграл I2.

Общий вывод: интеграл (1) сходится, если a > 0, и расходится, если a 0.

Областью определения функции (a) является промежуток (0, +).

Установим некоторые свойства функции (a).

1. (a) > 0, a (0, +).

Это следует из выражения (1) для (a).

2. Рассмотрим произведение a (a). Имеем:

+ + a (a) = a xa-1e- xdx = a e- xdxa.

a Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

+ + xa a (a) = a e- x + xae-xdx aa, 124 4 3 1 =0 =(a+1) откуда (a +1) = a (a). (2) Равенство (2) выражает так называемое основное свойство Гамма-функции.

Пользуясь (2), получим при натуральном n и положительном a (0 < a < 1) (n + a) = (n + a -1)(n + a -1) = (n + a -1)(n + a - 2)(n + a - 2) = K = = (n + a -1)(n + a - 2)(n + a - 3)Ka (a). (3) Таким образом, значение Гамма-функции от аргумента n + a, большего единицы, можно выразить через значение Гамма-функции от аргумента a, меньшего единицы. Поэтому таблица значений Гамма-функции обычно дается лишь для значений аргумента между нулем и единицей.

В частности, если в формуле (3) взять a = 1 и принять во внимание, что + + -xx (1) = = 1, то получим e dx = -e(n +1) = n(n -1)(n - 2)K 21 = n!.

Таким образом, на Гамма-функцию можно смотреть как на обобщение понятия факториала натурального числа: Гамма-функция является продолжением функции a!, определенной только для целых положительных a = 1, 2, 3,K, на всю полуось a > 0 вещественных чисел.

3. Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией существует следующая связь:

(a) (b) (a,b) =. (4) (a + b) + Для этого рассмотрим (a + b) = xa+b-1e-xdx. Сделаем в интеграле заме ну переменной, положив x = (1+ u) z, где u – произвольное положительное + число. Получим (a + b) = (1+ u)a+b za+b-1e-(1+u)zdz, откуда + (a + b) = za+b-1e-(1+u)zdz.

(1+ u)a+b Умножим обе части последнего равенства на ua-1 и проинтегрируем по u от до + :

+ + + ua-1 du = zb(uz)a-1e-ze-uzdz du.

(a + b) (1+ u)a+b 0 0 + ua-1 du = (a,b) (см. §1, формула (5)). Следовательно, предыдущее Но (1+ u)a+b соотношение может быть записано в виде + + (a + b)(a,b) = zb(uz)a-1e-ze-uzdz du.

0 В повторном интеграле, стоящем в правой части, переменим порядок интегрирования.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.