WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |

кривой поверхности, заданной параметрическими уравнениями x = x(u,v0), (l1) = = y(u,v0 ), y z = z(u,v0 ) r (это – линия, ибо параметр один). Вектор 1 xu(u0,v0 ), yu(u0,v0 ), zu(u0,v0 ) ( ) направлен по касательной к (l1) в точке N. Так как линия (l1) лежит на поr r верхности (s) и проходит через точку N, то 1 n. Поэтому xu(u0,v0 )cos + yu(u0,v0)cos + zu(u0,v0 )cos = xu(u0,v0 )cos + yu(u0,v0)cos = -zu(u0,v0 )cos. (8) Затем на поверхности (s) через точку N(x0, y0, z0) проводим кривую x = x(u0,v), (l2 ) = = y(u0,v), y z = z(u0,v).

r Вектор 2 xv(u0,v0 ), yv(u0,v0 ), zv(u0,v0) направлен по касательной к (l2 ) в () точке N. Так как (l2 ) лежит на поверхности (s) и проходит через точку N, то r r 2 n. Поэтому xv(u0,v0 )cos + yv(u0,v0 )cos + zv(u0,v0 )cos = xv(u0,v0 )cos + yv(u0,v0 )cos = -zv(u0,v0 )cos. (9) Из системы xu(u0,v0 )cos + yu(u0,v0 )cos = -zu(u0,v0 )cos, x (u0,v0 )cos + yv(u0,v0 )cos =-zv(u0,v0 )cos v найдем cos и cos :

-zu(u0,v0 )cos yu(u0,v0 ) zu yu - cos -zv(u0,v0)cos yv(u0,v0 ) zv yv A cos = = = cos ;

C C xu(u0,v0) yu(u0,v0 ) xv(u0,v0 ) yv(u0,v0 ) xu(u0,v0 ) -zu(u0,v0 )cos xu zu - cos xv(u0,v0 ) -zv(u0,v0 )cos xv zv B cos = = = cos.

C C xu(u0,v0 ) yu(u0,v0 ) xv(u0,v0 ) yv(u0,v0 ) C Можем написать также, что cos = cos. Известно, что C cos2 + cos2 + cos2 = 1. А тогда A2 + B2 + C2 cos2 = 1 cos = C.

CA2 + B2 + CПодставляя это выражение для cos в (7), находим:

s = A2 + B2 + C2 dudv. (10) () Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности видим, что на окончательном результате не отразилось, что отличен от нуля именно определитель C, а не A или B. Точно такое же выражение для s мы получили бы, предполагая, что в () отличен от нуля либо определитель A, либо определитель B. Поэтому формула (10) верна и тогда, когда область () разлагается на конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя бы один из трех определителей: A, B, C.

Замечание 2. Положим (xu )2 + ( yu )2 + (zu )2 = E, (xv )2 + ( yv )2 + (zv )2 = G, xuxv + yu yv + zuzv = F ( E, G, F – это так называемые коэффициенты Гаусса). Легко проверить, что A2 + B2 + C2 = EG - F2. Поэтому s = EG - F2 dudv. (11) () §3. Примеры к главе Пример 1. Найти площадь s поверхности тела, ограниченного поверхностями: x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2.

z y y = x (D) x O a y a x y = x Рис. 4.7. К примеру Рис. 4.6. К примеру На рис. 4.6 изображена часть интересующей нас поверхности, расположенная в первом октанте. Эта часть поверхности состоит из двух одинаковых по площади кусков. Один из этих кусков определяется уравнением z = a2 - x2 и проектируется на плоскость Oxy в треугольник 0 x a, Площадь этого куска поверхности можно определить по ~ (D ) = s 0 y x.

-x ~ формуле: s = 1+ (zx )2 + (z )2 dxdy. Имеем: zx =, z = 0. Сле y y a2 - x( D ) довательно, x2 a2.

1+ (zx )2 + (z )2 = 1+ = y a2 - x2 a2 - xА тогда y=x aa x=a xdx dx ~ s = a dy = a =-a a2 - x2 = a2.

x=a2 - x2 y=0 0 a2 - x~ Так как s составляет лишь часть площади s, то находим s = 16a2 (кв. ед.).

Пример 2. Найти площадь s части поверхности x2 + y2 = 2az, заключенной внутри цилиндра (x2 + y2 )2 = 2a2xy (рис. 4.7).

x2 + y Поверхность z = – параболоид вращения. Ось Oz является осью 2a симметрии этого параболоида вращения. Цилиндрическая поверхность (x2 + y2 )2 = 2a2xy – симметрична относительно плоскости y = x. Она пересекается с плоскостью Oxy по кривой, уравнение которой в полярных координатах имеет вид: r2 = a2 sin 2. Одна четвертая часть куска поверхности, вырезаемая цилиндром из параболоида вращения, проектируется на плоскость Oxy в область (D ), ограниченную линиями: = и r = a sin 2, 0,.

4 Имеем y a2 + x2 + yx zx = ; z = ; 1+ (zx )2 + (z )2 = y y a a aa2 + x2 + y1+ (zx )2 + (z )2 =.

y a Следовательно, s = a2 + x2 + y2 dxdy.

a ( D ) Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам. Будем иметь 4 r=a sin 2 r=a sin S = d a2 + r2 r dr = d = (a2 + r2 )3 a 3a r=0 r=0 4 4 = a2 (1+ sin 2)3 2 -1 d = a() (sin + cos)3 d - 3 34 = 0 = a22 2 sin3 + d - = 3 4 = cos + -1 d cos + - = a22 3 4 4 4 1 1 a = a22 2- + - = (20 - 3). (кв. ед.).

6 2 2 4 Пример 3. Найти площадь s части сферы, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами.

Пусть,, – сферичеz ские координаты точек пространства. Декартовы и сферические координаты точки пространства связаны соотношениями x = cos cos, y = sin cos, y z = sin.

Координаты любой точки сферы радиуса R будут такими:

x = Rcos cos, x y = Rsin cos, z = Rsin.

Последние уравнения можно Рис. 4.8. К примеру рассматривать как параметрические уравнения интересующего нас куска сферы, если [1, 2]; [1, 2]. Имеем:

x y z -Rsin cos Rcos cos = -Rcossin -Rsin sin Rcos.

x y z E = (x )2 + ( y )2 + (z )2 = R2 cos2, G = (x )2 + ( y )2 + (z )2 = R2, F = xx + y y + zz = 0 EG - F2 = R2 cos.

Следовательно, 2 s = R2 cos dd = R2 d cos d = 12 1 = R2(2 - 1)(sin2 - sin1) (кв. ед.).

Пример 4. Найти площадь части поверхности тора x = (b + a cos)cos, y = (b + a cos)sin, (0 < a b), z = asin ограниченной двумя меридианами = 1, = 2 (1 < 2 ) и двумя параллелями = 1, = 2 (1 < 2). Чему равна поверхность всего тора y x C O a b Рис. 4.9. К примеру Найдем коэффициенты Гаусса данной поверхности. Имеем:

x y z = -(b + a cos)sin (b + a cos)cos 0.

-asin cos -asin sin a cos x y z E = (x )2 + ( y )2 + (z )2 = (b + a cos)2, G = (x )2 + ( y )2 + (z )2 = a2, F = xx + y y + zz = 0 EG - F2 = a(b + a cos).

2 s = EG - F2 dd = a d + a cos)d = (b 12 1 = a(2 - 1)(b + asin )=2 = == a(2 - 1) b(2 - 1) + a(sin2 - sin 1) (кв. ед.).

[] Чтобы найти площадь поверхности всего тора, нужно в полученное выражение для s подставить значения: 1 = 0, 2 = 2, 1 = 0, 2 = 2. Получим sполн. = 2a 2b = 42ab (кв. ед.) Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра §1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов a x < +, Пусть функция f (x, y) задана в области c y d. Пусть при каждом + закрепленном y из [c,d] несобственный интеграл f (x, y)dx сходится. То a + гда f (x, y)dx будет представлять собою функцию переменной (параметра) a y, определенную в промежутке [c,d] (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через I( y), y [c,d]).

+ Утверждение, что несобственный интеграл f (x, y)dx сходится при каж a дом y из [c,d], означает следующее: при каждом закрепленном y из [c,d] A + f (x, y)dx f (x, y)dx.

A+ a a Следовательно, + A + f (x, y)dx - f (x, y)dx 0, или f (x, y)dx 0.

A+ A+ aa A А это означает, что для каждого y из [c,d] по любому > 0 можно указать + число M > 0 такое, что как только A > M, так сейчас же f (x, y)dx <.

A Важно заметить, что число M > 0 выбирается по > 0, и для каждого y из [c,d] оно будет, вообще говоря, своим, то есть M зависит и от, и от y :

M = M(, y).

Если же для любого >0 можно указать число M > 0, зависящее только от (то есть одно и то же для всех y из [c,d]), такое, что как только + A > M, так сейчас же f (x, y)dx < сразу для всех y из [c,d], то несобст A + венный интеграл f (x, y)dx называется равномерно сходящимся относи a тельно параметра y на [c,d].

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция f (x, y) опредеa x < b, лена в области b, c, d – конечные числа).

c y d. (a, b Пусть при каждом y из [c,d] несобственный интеграл f (x, y)dx сходит a b ся. Ясно, что тогда f (x, y)dx будет представлять собой функцию переменной a (параметра) y, определенную в промежутке [c,d].

b Утверждение, что несобственный интеграл f (x, y)dx сходится при каж a дом y из [c,d], означает следующее. При каждом закрепленном y из [c,d] b b f (x, y)dx f (x, y)dx f (x, y)dx - f (x, y)dx b-0 b-a a a a b b f (x, y)dx 0 f (x, y)dx b-0 + b(здесь положено = b - = b - ). А это означает, что для каждого y из [c,d] по любому > 0 можно указать число > 0 такое, что как только b 0 < <, так сейчас же f (x, y)dx <.

bИ здесь важно отметить, что число > 0 выбирается по >0, и для каждого y из [c,d] оно будет, вообще говоря, своим, то есть зависит и от, и от y :

= (, y).

Если же для любого >0 можно указать число > 0, зависящее только от (то есть одно и то же для всех y из [c,d]), такое, что как только 0 < <, b так сейчас же f (x, y)dx < сразу для всех y из [c,d], то несобственный bb интеграл f (x, y)dx называется равномерно сходящимся относительно па a раметра y на [c,d].

§2. О непрерывности интеграла как функции параметра Теорема. Пусть a x < +, 1) функция f (x, y) непрерывна в области c y d;

+ 2) f (x, y)dx = I( y) сходится равномерно относительно y на [c,d].

a Тогда функция I( y) непрерывна на [c,d].

Возьмем любое y0 из [c,d] и закрепим его. Возьмем любое >0.

+ По условию f (x, y)dx сходится равномерно относительно y на [c,d], a поэтому взятому >0 отвечает число M > 0, зависящее только от, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M, сразу для всех y [c,d] будет + f (x, y)dx <. (1) A Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M.

A Положив A( y) = f (x, y)dx, неравенство (1) сразу для всех y [c,d] можно a записать в виде:

I( y) - A( y) <. (2) + A + [I( y) - A( y) = f (x, y)dx - f (x, y)dx = f (x, y)dx].

aa A Но A( y) – собственный интеграл, зависящий от параметра y. По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что A( y) C [c,d], а значит, по теореме Кантора, A( y) будет равномерно ( ) непрерывной на [c,d].

Следовательно, взятому >0 отвечает > 0, зависящее только от, такое, что для любых двух точек y и y из [c,d], для которых y - y <, будет A( y) - A( y) <.

Для разности значений функции I( y) в точках y и y имеем:

I( y) - I( y) = I( y) - A( y) + A( y) - A( y) + A( y) - I( y) [] [ ] [ ] I( y) - I( y) I( y) - A( y) + A( y) - A( y) + + A( y) - I( y) < + + =.

3 3 В частности, полагая y = y0, y = y, где y [c,d] – любое, но такое, что y - y0 <, будем иметь I( y) - I( y0 ) <. Последнее означает, что функция I( y) непрерывна в точке y0. Так как у нас точка y0 – любая из [c,d], то заключаем, что I( y) C [c,d].

( ) §3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть a x < +, 1) функция f (x, y) непрерывна в области c y d;

+ 2) f (x, y)dx сходится равномерно относительно y на [c,d].

a Тогда справедливо равенство d + + d f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx, (1) c a a c причем несобственный интеграл, стоящий в правой части (1), сходится.

+ Возьмем любое >0. По условию f (x, y)dx сходится равномерно от a носительно y на [c,d], поэтому взятому > 0 отвечает число M > 0, зависящее только от, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M, сразу для всех y [c,d] будет справедливо неравенство:

+ f (x, y)dx <.

d - c A Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M.

A Полагая, как и раньше, A( y) = f (x, y)dx, предыдущее неравенство сразу a для всех y [c,d] можно записать в виде I( y) - A( y) <.

d - c Так как I( y) C [c,d] и A( y) C [c,d], то I( y) R [c,d], ( ) ( ) ( ) A( y) R [c,d]. Поскольку имеет место равенство ( ) d d d I( y)dy - ( y)dy = y) - A( y) dy, ] A [I( c c c то d d d I( y)dy - ( y)dy I( y) - A( y) dy < (d - c) =.

A d - c c c c Таким образом, получили: при любом A, удовлетворяющем условию A > M, d d оказывается I( y)dy - ( y)dy <. Последнее означает, что A c c d d I( y)dy = lim ( y)dy (2) A A c c A (именно так, ибо первый интеграл от A не зависит). Но A( y) = f (x, y)dx – a собственный интеграл, зависящий от параметра y. По теореме об интегрировании по параметру под знаком собственного интеграла можем написать d d A A d f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx.

A ( y)dy = c c a a c Теперь соотношение (2) может быть записано в виде d A d I( y)dy = lim f (x, y)dy dx.

A c a c Нами установлено существование написанного здесь предела. Но тогда мы должны обозначать этот предел так:

+ d f (x, y)dy dx.

a c Таким образом, мы доказали сходимость несобственного интеграла, стоящего в правой части (1), и справедливость равенства (1).

§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть a x < +, 1) функция f (x, y) определена в области c y d, непрерывна там и имеет непрерывную частную производную f (x, y) ;

y + 2) I( y) = f (x, y)dx сходится при каждом y из [c,d];

a + 3) ( y) = f (x, y)dx сходится равномерно относительно y на [c,d].

y a Тогда:

1) I( y) существует при каждом y из [c,d];

+ + 2) I( y) = ( y), то есть f (x, y)dx = f (x, y)dx ;

y a a y 3) I( y) C [c,d].

( ) a x < +, + Так как f (x, y) непрерывна в области c y d и f (x, y)dx схоy y a дится равномерно относительно y на [c,d], то ( y) C [c,d] (см. теорему ( ) d z §2) и y)dy существует. В частности, существует y)dy для любого z, ( ( c c удовлетворяющего условию c z d. По теореме §3 имеем z z + + z f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx.

y y ( y)dy = c c a a c z y=z Но f (x, y)dy = f (x, y) = f (x, z) - f (x,c). Поэтому y y=c c z + + f (x, z)dx - f (x,c)dx = I(z) - I(c), ( y)dy = c a a 14243 = I( z) = I(c) откуда z I(z) = y)dy + I(c). (1) ( c В правой части последнего равенства мы имеем интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Следовательно, у правой части равенства (1) производная по z существует и равна (z) (см. теорему Барроу).

Но тогда существует производная по z и y левой части равенства (1), причем I(z) = (z). (2) Равенство (2) установлено для любого z [c,d]. Оно может быть записано и так: I( y) = ( y), y [c,d].

Таким образом, доказано, что 1) I( y) существует при каждом y из [c,d];

2) I( y) = ( y), y [c,d];

3) I( y) C [c,d], ибо ( y) C [c,d].

( ) ( ) §5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов Теорема. Пусть a x < +, 1) функция f (x, y) определена в области c y d и непрерывна там;

2) функция (x) определена и непрерывна в [a, + );

3) f (x, y) (x) при всех значениях y из [c,d] и x [a, +).

+ Тогда, если несобственный интеграл (x)dx сходится, то несобственный a + интеграл I( y) = f (x, y)dx сходится равномерно относительно y на [c,d].

a Сходимость (и притом абсолютная) несобственного интеграла + f (x, y)dx при каждом y из [c,d] следует из признака сравнения.

a Возьмем любое A, удовлетворяющее условию A > a, и закрепим его. Затем возьмем любое B, удовлетворяющее условию B > A. Имеем при всех значениях y из [c,d]:

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.