WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 13 |

3) ветвь параболы x2 = 2ry перейдет в прямую линию v = 2r ;

4) ветвь параболы x2 = 2sy перейдет в прямую линию v = 2s.

1 -2 3 3 3 u1 v-1 3u v2 J(u,v) == - J(u,v) = 2 3.

u-1 3v1 3 1 2 3v-2 3 3 3u Поэтому 2q 2s 1 F = dxdy = J(u,v) dudv = du dv = - p)(s - r).

3 3(q ( D ) () 2 p 2r Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

2 2 3 y y x + 3 x + (l1):

a b = 1; (l2 ): a b = 4;

y y x x (l3): = ; (l4): 8 = (x > 0, y > 0).

a b a b y 8b (l4 ) (l3) v ( ) (l2 ) arctg (D) u (l1) b x a 8a Рис. 3.43. К примеру 12 Рис. 3.44. К примеру x = aucos3 v, Делаем замену переменных При такой замене:

y = busin3 v.

1) линия (l1) перейдет в линию u2 3 = 1 u = 1;

2) линия (l2 ) перейдет в линию u2 3 = 4 u = 8 ;

3) линия (l3) перейдет в линию tg3 v = 1 v = ;

4) линия (l4 ) перейдет в линию tg3 v = 8 v = arctg2.

xu xv a cos3 v -3aucos2 v sin v J(u,v) = yu yv = bsin3 v 3busin2 v cos v = 3abusin2 v cos2 v.

Имеем, следовательно, v=arctg u=F = dxdy = sin2 v cos2 v dv 3abusin v cos2 v dudv = 3ab udu = ( D ) () v= 4 u=v=arctg 2 v=arctg3 63ab 2 = sin v cos2 v dv = 189 ab 1 sin 2v dv = 2 2 v= 4 v= v=arctg189 1- cos4v 189 1 v=arctg = ab dv = abarctg2 - - sin 4v = v= 8 2 16 4 v= 189 = ab(arctg2 - arctg1) - sin(4arctg2).

16 1 Так как arctg2 - arctg1 = arctg, sin(4arctg2) =-, то 3 189 1 F = abarctg + (кв. ед.).

16 3 Глава 4. Вычисление площадей кривых поверхностей §1. Некоторые сведения из геометрии 1.°Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой.

Определение. Касательной в точке N к пространственной кривой (l) называется предельное положение секущей, проходящей через точку N и какуюнибудь точку M этой кривой, когда точка M по кривой стремится к совпадению с точкой N.

Пусть кривая (l) задана параметрическими уравнениями x = (t), (1) y = (t), t [p,q].

z = (t), Предполагаем, что функции (t), (t), (t) z (T ) имеют в [p,q] непрерывные производные M (t), (t), (t).

(l) Пусть точка N(x0, y0, z0) соответствует N значению параметра t0, а точка M(x0 + x, y0 + y, z0 + z) – значению паy раметра t0 + t, так что: x0 = (t0), y0 = (t0 ), z0 = (t0 ); x0 + x = (t0 + t), x y0 + y = (t0 + t), z0 + z = (t0 + t).

Рис. 4.1. К определению Составляем уравнение секущей NM как касательной к пространственной уравнение прямой, проходящей через две точкривой ки:

x - x0 y - y0 z - z= = (x0 + x) - x0 ( y0 + y) - y0 (z0 + z) - z( x, y, z – текущие координаты), или x - x0 y - y0 z - z= =.

(t0 + t) - (t0) (t0 + t) - (t0 ) (t0 + t) - (t0 ) Разделив знаменатели этих отношений на t и переходя к пределу при t 0, получим уравнение касательной к (l) в точке N.

x - x0 y - y0 z - z = =. (2) (t0 ) (t0 ) (t0 ) r Из (2) видим, что вектор (t0 ),(t0 ),(t0) направлен по касательной к () кривой (l) в точке N.

Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если (t0 ) = (t0 ) = (t0 ) = 0.

В этом случае точка N называется особой. Если же хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю, то точка N называется обыкновенной. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные точки.

Определение. Нормальной плоскостью к кривой (l) в точке N называется плоскость, проходящая через точку N перпендикулярно касательной к (l) в точке (N ).

Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем уравнение связки плоскостей с центром в точке N(x0, y0, z0):

A(x - x0) + B( y - y0) + C(z - z0 ) = 0. (3) По определению, нормальная плоскость перпендикулярна касательной к (l) в A B C точке N. Поэтому = = (= k), k – обозначение общей ве(t0) (t0) (t0 ) личины этих отношений. А тогда A = k (t0), B = k (t0 ), C = k (t0 ).

Подставив эти выражения для A, B и C в (3), получим уравнение нормальной плоскости к (l) в точке N :

(t0 )(x - x0 ) + (t0 )( y - y0) + (t0)(z - z0 ) = 0. (4) z z (l) N N (l ) (l ) (s) y y x x Рис. 4.2. К определению нормальной Рис. 4.3. К определению касательной плоскости к пространственной кривой плоскости и нормали к поверхности 2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение. Пусть дана поверхность (s) и пусть точка N(x0, y0, z0 ) (s).

Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на (s) и проходящие через точку N. Проведем к этим кривым в точке N касательные прямые. Если геометрическим место этих касательных прямых оказывается плоскость, то она называется касательной плоскостью к поверхности (s) в точке N, а перпендикуляр к этой плоскости в точке N называется нормалью к поверхности (s) в точке N.

Пусть данная поверхность (s) имеет уравнение F(x, y, z) = 0. (5) Предполагаем, что функция F(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx, Fy, Fz в некоторой пространственной области. Точки поверхности (s), в которых одновременно Fx(x, y, z) = 0, Fy(x, y, z) = 0, Fz(x, y, z) = 0, называются особыми точками. Остальные точки поверхности (s) называются обыкновенными.

Пусть точка N(x0, y0, z0 ) – обыкновенная точка поверхности (s). Рассмотрим одну из кривых (l), лежащую на (s) и проходящую через точку N(x0, y0, z0). Пусть параметрические уравнения этой кривой (l) такие:

x = (t), y = (t), t [p,q], z = (t), где функции (t), (t), (t) определены и имеют непрерывные производные (t), (t), (t) в промежутке [p,q].

Пусть точка N(x0, y0, z0) соответствует значению параметра t0. Уравнение касательной к (l) в точке N(x0, y0, z0) будет таким:

x - x0 y - y0 z - z = =. (6) (t0 ) (t0 ) (t0 ) Мы докажем, что у данной поверхности (s) в точке N существует касательная плоскость, если покажем, что касательная прямая к любой кривой (l), проходящей через точку N, перпендикулярна к некоторой определенной прямой.

Так как вся кривая (l) лежит на поверхности (s), то при всех t [p,q] будет F (t),(t),(t) = 0. (7) () Значит, (7) есть тождество относительно t. Продифференцируем это тождество по t. Получим Fx (t),(t),(t) (t) + Fy (t),(t),(t) (t) + () ( ) +Fz (t),(t),(t) (t) = () Положим в этом соотношении t = t0. Получим Fx(x0, y0, z0 )(t0 ) + Fy(x0, y0, z0 ) (t0 ) + Fz(x0, y0, z0 )(t0) = 0. (8) Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности двух прямых, а именно, прямой (6) (т. е. касательной к (l) в точке N ) и прямой, имеющей уравнение x - x0 y - y0 z - z = =. (9) Fx(x0, y0, z0 ) Fy(x0, y0, z0 ) Fz(x0, y0, z0 ) Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой (l). Она зависит только от поверхности (s) и от положения точки N на (s). Значит, касательная прямая к любой кривой (l), лежащей на (s) и проходящей через точку N(x0, y0, z0) перпендикулярна к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности (s) в точке N существует касательная плоскость.

Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверхности (s) в точке N.

Выведем теперь уравнение касательной плоскости к (s) в точке N. Для этого возьмем уравнение связки плоскостей с центром в точке N :

A(x - x0) + B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0. (10) Так как касательная плоскость к (s) в точке N перпендикулярна нормали (9), то ~ A B C = = (= k ), Fx(x0, y0, z0 ) Fy(x0, y0, z0 ) Fz(x0, y0, z0 ) ~ k – обозначение общей величины этих отношений. А тогда ~ ~ ~ A = k Fx(x0, y0, z0 ), B = k Fy(x0, y0, z0 ), C = k Fz(x0, y0, z0 ).

Подставив эти выражения для A, B и C в (10), получим уравнение касательной плоскости к поверхности (s) в точке N :

Fx(x0, y0, z0 )(x - x0 )+ Fy(x0, y0, z0 )( y - y0 )+ Fz(x0, y0, z0 )(z - z0 )= 0. (11) Частный случай. Пусть поверхность (s) задана явным уравнением:

z = f (x, y), (12) где f (x, y) – непрерывная вместе со своими частными производными p(x, y) = fx(x, y) и q(x, y) = f (x, y). Отметим, что у такой поверхности все y точки обыкновенные. В самом деле, запишем уравнение (12) в виде:

f (x, y) - z = 0. Это есть уравнение вида (5), где F(x, y, z) = f (x, y) - z. Поэтому Fx(x, y, z) = fx(x, y), Fy(x, y, z) = f (x, y), Fz = -1 ( 0). Уравнение y касательной плоскости в точке N(x0, y0, z0) к поверхности, заданной уравнением (12), будет таким:

z - z0 = fx(x0, y0 )(x - x0 ) + f (x0, y0 )( y - y0). (13) y Уравнение нормали в точке N(x0, y0, z0) к поверхности, заданной уравнением (12):

x - x0 y - y0 z - z = =. (14) fx(x0, y0 ) f (x0, y0 ) -y Если,, – углы, которые нормаль к поверхности (s) образует с осями координат, то f fx y cos =, cos =, ± 1+ ( fx)2 + ( f )2 ± 1+ ( fx)2 + ( f )y y - cos =. (15) ± 1+ ( fx)2 + ( f )y Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления на нормали. Если нам нужно, например, то направление, которое составляет с осью Oz острый угол, то должно быть cos > 0 и, следовательно, в формулах (15) перед радикалом нужно взять знак минус.

Замечание. Пусть кривая (l) задана пересечением двух поверхностей, т. е.

F(x, y, z) = 0, системой (x, y, z) = 0. Касательную прямую к этой кривой в точке N(x0, y0, z0) можно получить как пересечение касательных плоскостей, проведенных к данным поверхностям в точке N. Следовательно, уравнение этой касательной прямой будет таким:

Fx(x0, y0, z0)(x - x0)+ Fy(x0, y0, z0)( y - y0)+ Fz(x0, y0, z0)(z - z0)=0, (x0, y0, z0)(x - x0)+y(x0, y0, z0)( y - y0)+ (x0, y0, z0)(z - z0)=0. (16) x z §2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление 1°. Рассмотрим поверхность (s), заданную явным уравнением z = f (x, y), (1) где f (x, y) определена, непрерывна и Mk z имеет непрерывные частные производные (s) fx(x, y), f (x, y) в области (D ), распоy ложенной в плоскости Oxy и ограниченной простым контуром.

Разобьем (D ) произвольной сетью простых кривых на части (D1), (D2 ), K, y (Dn ) с площадями F1, F2, K, Fn. Рассмотрим цилиндрические поверхности, x (Dk)образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служат простые (D) кривые, разбивающие на части (D ). Эти Рис. 4.4. К вычислению площади кривой поверхности цилиндрические поверхности переносят дробящую сеть с (D ) на (s). Поэтому поверхность (s) разобьется на части (s1), (s2 ), K, (sn ). На каждой части (sk ) берем произвольную точку Mk (xk, yk, zk ) и проводим в этих точках плоскости, касательные к поверхности (s). Продолжим упомянутые выше цилиндрические поверхности до пересечения с построенными касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся плоские области (~, (~2 ), K, (~n ).

s1) s s Пусть площади их будут: T1, T2, K, Tn соответственно. Обозначим через ранг дробления области (D ). Покажем, что существует конечный предел n s = lim, не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от выбора точек Tk k=Mk на (sk ). Этот предел и принимается за площадь s поверхности (s).

Заметим, что области (Dk ) являются проекциями (~k ) на плоскость Oxy.

s Значит, площади их связаны так: Fk = Tk cosk, где k – угол между плоскостью Oxy и плоскостью, касательной к поверхности (s) в точке Mk. Но угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтому k =, где – угол между осью Oz и нормалью к поверхности (s) в точке k k Mk. А тогда cosk = cos = k 1+ fx(xk, yk ) + f (xk, yk ) ()2 y () (заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следовательно, Fk Tk = ()() cosk = 1+ fx(xk, yk ) + f y(xk, yk ) Fk n n = 1+ fx(xk, yk ) + f (xk, yk ) Fk. (2) () Tk ()2 y k=1 k=Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойного интеграла по области (D ) от непрерывной в (D ) функции 1+ fx(x, y) + f (x, y).

()2 y () Значит, у суммы (2) существует при 0 конечный предел, не зависящий ни от выбора дробящей сети области (D ), ни от выбора точек Mk на (sk ), а это и требовалось доказать. Попутно установлено, что s = 1+ fx(x, y) + f (x, y) dxdy. (3) ()2 y () (D ) Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности можно записать в виде:

dxdy s =, (4) cos (D ) где – острый угол между нормалью к поверхности (s) и осью Oz. Если на нормали к (s) направление не выбрано нужным образом, то вместо (4) следует писать dxdy s =. (5) cos (D ) 2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими уравнениями.

Рассмотрим теперь поверхность (s), заданную параметрическими уравнениями x = x(u,v), y = y(u,v), (6) z = z(u,v), где x(u,v), y(u,v), z(u,v) есть функции, заданные в области () плоскости Ouv, непрерывные там и имеющие непрерывные частные производные xu, xv, yu, yv, zu, zv. Составим матрицу xu yu zu xv yv zv и рассмотрим следующие определители, составленные из элементов этой матрицы:

yu zu zu xu xu yu A = yv zv, B = zv xv, C = xv yv.

Предположим, что один из этих трех определителей, например, C, всюду в () отличен от нуля. (C 0 всюду в ()).

Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии, что C 0 в x = x(u,v), однозначно разрешима относительно u и v, т. е.

(), система y = y(u,v) u = u(x, y), причем функции u(x, y), v (x, y) будут определены, непрерывны v = v (x, y), и иметь непрерывные частные производные ux(x, y), u (x, y), vx(x, y), y v (x, y) в некоторой области (D ) плоскости Oxy (см. теорию функций, заy данных неявно). Подставив выражения для u и v через x и y в соотношение z = z(u,v) из (6), получим z = z u(x, y),v (x, y), т. е. z = f (x, y).

() Отметим, что функция f (x, y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные fx(x, y), f (x, y) в области (D ). Видим, таким обраy зом, что поверхность (s), заданная параметрическими уравнениями (6), представляет собой поверхность как раз такого типа, который был рассмотрен выше в 1°.

Было показано, что у такой поверхности есть площадь s, причем dxdy s = (см. (5)). В двойном интеграле, выражающем площадь поверхно cos (D ) сти (s), сделаем замену переменных, взяв в качестве новых переменных параx = x(u,v), метры u и v, т. е. положив y = y(u,v), (u,v) (). Получим J(u,v) xu xv = C. Поэтому s = dudv. У нас J(u,v) = yu yv cos () C s = dudv.

cos () (7) z r n В двойном интеграле (7) следует выразить (s) cos через переменные u и v. Для этого (l2) на поверхности (s) выберем и закрепим N (l1) произвольную точку N(x0, y0, z0), соответствующую точке (u0,v0 ) (). Провеr дем в этой точке нормаль n к поверхности y (s). Пусть,, – углы, которые норr x маль n образует с осями Ox, Oy и Oz соответственно. Проведем на поверхности (s) Рис. 4.5. К вычислению площади через точку N кривую (l1):

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.