WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.П. Аксёнов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Санкт-Петербург 2000 УДК 517.38, 517.3821 Аксёнов А.П. Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра.

Двойные интегралы. Криволинейные интегралы.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 2000, 145 с.

Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика».

Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Интегралы, зависящие от параметра, собственные и несобственные», «Двойной интеграл», «Криволинейные интегралы первого и второго рода», «Вычисление площадей кривых поверхностей, заданных как явными, так и параметрическими уравнениями», «Эйлеровы интегралы (Бета-функция и Гамма-функция)».

Разобрано большое количество примеров и задач (общим числом 47).

Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия.

Ил. 79. Библ. 4 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра §1. Определение интегралов, зависящих от параметров a x b, Пусть функция f (x, y) определена в прямоугольнике (P ) = c y d.

b Пусть при каждом закрепленном y из [c,d] существует f (x, y)dx. Ясно, что a каждому значению y из [c,d] будет отвечать свое, вполне определенное знаb чение этого интеграла. Следовательно, f (x, y)dx представляет собой функ a цию переменной (параметра) y, определенную в промежутке [c,d].

Введем обозначение b I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. (1) a Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции f (x, y), получить информацию о свойствах функции I( y). Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения, в особенности при вычислении интегралов.

Допустим еще, что при каждом закрепленном x из промежутка [a,b] сущеd ствует f (x, y)dy. Тогда этот интеграл будет представлять собой функцию c переменной (параметра) x, определенную в промежутке [a,b]. Обозначим ее ~(x), через I так что d ~ I (x) = f (x, y)dy, x [a,b]. (~) c §2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция f (x, y) C(P ) и пусть y0 – любое из [c,d]. Тогда b b b lim f (x, y)dx = lim f (x, y) dx = f (x, y0 )dx. (1) y y0 y ya a a b Отметим, что f (x, y)dx существует для каждого значения y из [c,d], a так как f (x, y) C [a,b] при любом закрепленном y [c,d]. В частности, ( ) b существует f (x, y0 )dx.

a Возьмем >0 – любое. Выберем и закрепим любое y0 [c,d].

По условию f (x, y) C(P ), поэтому f (x, y) равномерно непрерывна в (P ) (см. теорему Кантора) и, следовательно, взятому > 0 отвечает >0, зависящее только от, такое, что для любых двух точек (x, y), (x, y) из (P ), для которых |x - x| <, | y - y|<, оказывается f (x, y) - f (x, y) <.

b - a Положим y = y0, y = y, где y – любое, но такое, что | y - y0| <, y [c,d], x = x = x, где x – любое из [a,b] (|x - x| = 0 < ). Тогда f (x, y) - f (x, y0 ) < b - aдля любого x [a,b], если | y - y0| <, y [c,d].

Имеем:

b b b f (x, y)dx - f (x, y0 )dx = f (x, y) - f (x, y0 ) dx [] a a a b b b f (x, y)dx - f (x, y0 )dx f (x, y) - f (x, y0 ) dx < (b - a) =.

b - a a a a Итак, любому > 0 отвечает > 0 такое, что как только | y - y0| <, b b y [c,d], так сейчас же f (x, y)dx - f (x, y0 )dx <. Последнее означает, a a b b что f (x, y0 )dx = lim f (x, y)dx.

y ya a Совершенно аналогично доказывается утверждение: если f (x, y) C(P ) и если x0 – любое из [a,b], то d d d lim f (x, y)dy = lim f (x, y) dy = f (x0, y)dy.

xx0 xxc c c §3. О непрерывности интеграла как функции параметра b Теорема. Пусть f (x, y) C(P ) и I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. Тогда a I( y) = C [c,d].

( ) Возьмем любое y0 [c,d] и закрепим. В §2 было доказано, что b b lim f (x, y)dx = f (x, y0 )dx, то есть y ya a lim I( y) = I( y0).

y yПоследнее же означает, что функция I( y) непрерывна в точке y0. Так как y0 – любое из [c,d], то заключаем, что I( y) C [c,d].

( ) Замечание 1. Условие f (x, y) C(P ) является достаточным для непрерывности I( y) на [c,d], но оно не необходимо.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим 0 x 1, Пример. Пусть f (x, y) = sgn(x - y) в (P ) =.

-5 y 5.

y I y = x x y -I = I y ( ) -Рис. 1.Рис. 1.Видим, что f (x, y) терпит разрыв в точках, принадлежащих прямой x = y (рис. 1.1).

Пусть I( y) = sgn(x - y)dx. Имеем:

1) если -5 y < 0, то I( y) = dx = 1.

y 2) если 0 y 1, то I( y) = (-1) dx + 1 dx = 1- 2 y.

0 y 3) если 1< y 5, то I( y) = (-1) dx = -1.

1-1, y [-5, 0), Таким образом, I( y) = 2 y, y [0,1], I( y) C [-5, 5] (см.

() -1, y (1, 5] рис. 1.2).

Замечание 2. Совершенно аналогично доказывается теорема: Пусть d ~ ~ f (x, y) C(P ) и пусть I (x) = f (x, y)dy, x [a,b]. Тогда I (x) C [a,b].

( ) c Следствие. Если f (x, y) C(P ), то одновременно I( y) C [c,d], ( ) ~ I (x) C [a,b] и, следовательно, существуют одновременно ( ) d d b I( y)dy = f (x, y)dx dy, c c a b b d ~(x)dx = f (x, y)dy dx.

I a a c d b b d f (x, y)dx dy, f (x, y)dy dx называются повторными интегра c a a c лами от функции f (x, y) в (P ).

§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна в (P ) и имеет там непрерывb ную частную производную f (x, y). Пусть I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. Тоy a гда:

1) функция I( y) имеет в промежутке [c,d] производную I( y);

b b b 2) I( y) = f (x, y)dx, то есть f (x, y)dx = f (x, y)dx, y [c,d];

y y a a a y 3) I( y) C [c,d].

( ) Возьмем любую точку y0 [c,d] и закрепим. Дадим y0 приращение y – любое, но такое, что y 0 и точка y0 + y [c,d]. Тогда b b I( y0 ) = f (x, y0 )dx, I( y0 + y) = f (x, y0 + y)dx, a a b I( y0 + y) - I( y0 ) f (x, y0 + y) - f (x, y0 ) = dx. (1) y y a По теореме Лагранжа f (x, y0 + y) - f (x, y0 ) = f (x, y0 + y)y (0 < <1).

y Следовательно, b I( y0 + y) - I( y0 ) = f (x, y0 + y)dx. (2) y y a По условию, f (x, y) C(P ). Перейдем в (2) к пределу при y 0. Приняв y во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

b b I( y0 + y) - I( y0 ) lim = lim f (x, y0 + y)dx = f (x, y0 )dx y y y y0 ya a b I( y0 ) существует, причем I( y0 ) = f (x, y0 )dx. Так как y0 – любое из y a [c,d], то заключаем, что I( y) существует для любого y из [c,d], причем b b I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. У нас f (x, y) C(P ), а I( y) = f (x, y)dx.

y y y a a А тогда по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра заключаем, что I( y) C [c,d].

( ) §5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла b Теорема. Пусть функция f (x, y) C(P ). Пусть I( y) = f (x, y)dx, a d b d y [c,d]. Тогда I( y)dy = f (x, y)dy dx, т. е.

c a c d b b d f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx.

c a a c Докажем более общее равенство t b t I( y)dy = f (x, y)dy dx, для любого t [c,d]. (1) c a c Займемся сначала левой частью равенства (1). Так как f (x, y) C(P ), то t I( y) C [c,d] (см. теорему §3). Следовательно, I( y)dy – интеграл с пере( ) c менным верхним пределом от непрерывной функции. А тогда по теореме Барроу t b I( y)dy = I(t) = f (x,t)dx, t [c,d]. (2) c a t Займемся теперь правой частью равенства (1). Положим t f (x, y)dy =(x,t). (3) c Здесь в интеграле слева x выступает в роли параметра. Ясно, что функция a x b, (x,t) определена в прямоугольнике (P ) = c t d.

Покажем, что (x,t) C(P ). Для этого выберем и закрепим любую точку (x,t) (P ). Затем возьмем x и t – любые, но такие, что точка (x + x,t + t) (P ). Будем иметь t+ t t (x + x,t + t) - (x,t) = f (x + x, y)dy - f (x, y)dy = c c t+ t t = f (x + x, y) - f (x, y) dy + f (x + x, y)dy. (4) [] c t Пусть = ( x)2 + ( t)2. Отметим, что ( 0) (одновременно x, t 0 ). Возьмем >0 – любое. В силу непрерывности функции f (x, y) в (P ), f (x + x, y) - f (x, y) 0 взятому > 0 отвечает >0 такое, ( x0) что f (x + x, y) - f (x, y) <, если <. Тогда d - c t [ f (x + x, y) - f (x, y)]dy < d (t - c), - c c t если <. Последнее означает, что lim f (x + x, y) - f (x, y) dy = 0. Так [] c как f (x, y) C(P ), то f (x, y) – ограниченная в (P ), т. е. существует число t+ t M > 0 такое, что f (x, y) M в (P ). А тогда f (x + x, y)dy M t t t+ t f (x + x, y)dy 0. Теперь из (4) следует t ( t0) (x + x,t + t) - (x,t) 0.

Последнее означает, что функция (x,t) непрерывна в точке (x,t). У нас точка (x,t) – любая из (P ). Поэтому (x,t) C(P ). Из (3) находим:

(x,t) = f (x,t). (5) t По условию, f (x, y) C(P ). Следовательно, (x,t) C(P ). Принимая во t внимание (3), правую часть равенства (1) можно записать в виде b t b f (x, y)dy dx = (6) (x,t)dx.

a c a В интеграле, стоящем в правой части (6), t выступает в роли параметра. Выше было показано, что функция (x,t) непрерывна в (P ) и имеет там непрерывную частную производную (x,t). Но тогда по теореме о дифференцировании t по параметру под знаком интеграла b b (5)b f (x,t)dx, t [c,d]. (7) t (x,t)dx = (x,t)dx = a a a t Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке [c,d] совпадающие производные (см. (2) и (7)). Следовательно, они различаются в этом промежутке лишь на постоянную величину, т. е. для любого t [c,d] t b b t f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx + const. (8) c a a c Положим в (8) t = c. Получим 0 = 0 + const const = 0. Значит, будем иметь вместо (8) для любого t [c,d] t b b t f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx. (9) c a a c Положив в (9) t = d, получим d b b d f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx, (10) c a a c а это и требовалось установить.

§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра Пусть функция f (x, y) определена в y x =( y) x =( y) области (D ), ограниченной линиями:

d y = c, y = d (c < d ), x =( y), x = ( y), где ( y) и ( y) – функции, непрерывные (D) на промежутке [c,d] и такие, что ( y) ( y), y [c,d].

yПусть при каждом закрепленном y из c x ( y) ( y0 ) ( y0) [c,d] существует f (x, y)dx. Ясно, что Рис. 1.3 ( y) каждому значению y из [c,d] будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно, ( y) f (x, y)dx представляет собой функцию переменной (параметра) y, опреде ( y) ленную в промежутке [c,d].

Станем обозначать ( y) I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. (1) ( y) Теорема (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть ( y) функция f (x, y) C(D ), и пусть I( y) = f (x, y)dx, y [c,d]. Тогда ( y) I( y) C [c,d].

( ) Выберем и закрепим любое y0 [c,d].

1. Пусть ( y0 ) < ( y0).

( y0 ) + ( y0) Положим =. Ясно, что ( y0 ) < < ( y0 ) ( y0 ) - < 0, ( y0 ) - > 0. Функции ( y) - и ( y) - – непрерывные на промежутке [c,d]. Следовательно, по теореме о стабильности знака существует 1 > 0 такое, что как только y - y0 < 1 и y [c,d], так сейчас же:

( y) - < 0, ( y) - > 0, т. е. ( y) < < ( y).

Возьмем y из промежутка [c,d] любое, но такое, чтобы было y - y0 < 1, и положим p = max y),( y0 ) ; q = min ( y0 ),( y). Ясно, что p < q.

{( } { } Имеем:

( y0 ) p q ( y0 ) I( y0 ) = f (x, y0 )dx = f (x, y0 )dx + f (x, y0 )dx + f (x, y0 )dx, ( y0 ) ( y0 ) p q ( y) p q ( y) I( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dx + f (x, y)dx + f (x, y)dx.

( y) ( y) p q В этих соотношениях из четырех подчеркнутых интегралов два обязательно равны нулю (так как обязательно: либо p = ( y0 ), либо p =( y), и либо q =( y0 ), либо q = ( y)).

Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое. Так как ( y) и ( y) непрерывны в точке y0, то взятому > 0 отвечает 2 > 0 такое, что как только y - y0 < 2 и y [c,d], так сейчас же ( y) - ( y0 ) <, ( y) - ( y0 ) <.

Отметим, что если брать на промежутке [c,d] значения y, удовлетворяющие условию: y - y0 < min 1,2, то справедливы приведенные выше выражения { } для I( y0 ) и I( y). Для таких y будем иметь:

q I( y) - I( y0 ) = f (x, y) - f (x, y0) dx + [] p p ( y) p ( y0 ) + f (x, y)dx + f (x, y)dx - f (x, y0 )dx - f (x, y0 )dx.

( y) q ( y0 ) q p Рассмотрим, например, f (x, y0 )dx. По условию f (x, y) C(D ) ( y0 ) f (x, y) ограниченная в (D ), т. е. существует число M > 0 такое, что f (x, y) M всюду в (D ). Так как y [c,d] и y - y0 < min 1,2, то { } p p - ( y0) <. Следовательно, f (x, y0 )dx M p - ( y0 ) < M.

( y0 ) Такая же оценка верна и для каждого из трех оставшихся подчеркнутых интегралов. Поэтому q I( y) - I( y0 ) < f (x, y) - f (x, y0 ) dx + 2 M.

p Так как (D ) – ограниченное замкнутое множество и f (x, y) C(D ), то f (x, y) равномерно непрерывная в (D ). А тогда взятому >0 отвечает 3 > 0, зависящее только от, такое, что для любых двух точек (x, y), (x, y) из (D ), для которых x - x < 3, y - y < 3, будет f (x, y) - f (x, y) <. Положим = min 1,2,3, y = y0, y = y, где { } y [c,d] и удовлетворяет условию y - y0 < ; x = x = x, где x – любое из [p,q]. Тогда f (x, y) - f (x, y0 ) < для всех x [p,q]. Следовательно, для y, удовлетворяющих условиям y - y0 < и y [c,d], будет:

q f (x, y) - f (x, y0 ) dx < (q - p), и потому I( y) - I( y0 ) < (q - p + 2 M ).

p У нас функции ( y), ( y) C [c,d] ( y) и ( y) – ограниченные в ( ) [c,d] существует число K > 0 такое, что ( y) K, ( y) K для всех y [c,d]. А тогда q - p q + p 2K. Значит, I( y) - I( y0 ) < 2 (K + M ). (2) Отметим, что число 2(K + M ) сколь угодно мало вместе с.

Так как для достижения неравенства (2) понадобилось лишь, чтобы было y - y0 <, y [c,d], то заключаем, что функция I( y) непрерывна в точке y0.

2. Пусть ( y0 ) = ( y0 ).

( y0 ) ( y) В этом случае I( y0 ) = f (x, y0)dx = 0 ; I( y) = f (x, y)dx ( y0 ) ( y) I( y) M ( y) - ( y). (3) [ ] Имеем lim ( y) - ( y) = ( y0) - ( y0) = 0. А тогда из (3) [] y ylim I( y) = 0 = I( y0 ). Видим, что и в этом случае установлена непрерыв[] y yность I( y) в точке y0.

У нас y0 – любое из [c,d]. Следовательно, I( y) C [c,d].

( ) Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция f (x, y) непрерывна в (D ) и имеет там непрерывную частную производную f (x, y).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.