WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |

В случае информационного равновесия ситуация, вообще говоря, может быть иной. Действительно, в результате однократного разыгрывания игры может оказаться, что какие-то из игроков (или даже все) наблюдают не тот результат, на который они рассчитывали. Это может быть связано как с неверным представлением о состоянии природы, так и с неадекватной информированностью о представлениях оппонентов. В любом случае, самоподдерживающийся характер равновесия нарушается – если игра повторяется во второй раз, действия игроков могут измениться.

Однако в некоторых случаях самоподдерживающийся характер равновесия может иметь место и при различных (и, вообще говоря, неверных) представлениях агентов. Говоря неформально, это происходит тогда, когда каждый агент (как реальный, так и фантомный) наблюдает тот результат игры, которого ожидает. Для формального изложения нам понадобится дополнить описание рефлексивной игры.

Напомним, что рефлексивная игра задается кортежем {N, (Xi)i N, fi()i N,, I}. Дополним эту конструкцию набором функций wi(): X’ Wi, i N, каждая из которых отображает вектор (, x) в элемент wi некоторого множества Wi. Этот элемент wi и есть то, что i-ый агент наблюдает в результате разыгрывания игры.

Функцию wi() будем называть функцией наблюдения i-го агента [77]. Будем считать, что функции наблюдения являются общим знанием среди агентов, а также примем, что свое собственное действие агент всегда наблюдает.

Если wi(, x) = (, x), т. е. Wi = X’, то i-ый агент наблюдает как состояние природы, так и действия всех агентов. Если, напротив, множество Wi состоит из одного элемента, то i-ый агент ничего не наблюдает.

Пусть в рефлексивной игре существует информационное равновесие x, + (напомним, что – произвольная непустая конечная последовательность индексов из N). Зафиксируем i N и рассмотрим i-го агента. Он ожидает в результате игры пронаблюдать величину (1) wi (i, xi1, …, xi i-1, xi, xi i+1, …, xin).

На самом же деле он наблюдает величину (2) wi (, x1, …, xi-1, xi, xi+1, …, xn).

Поэтому требование стабильности для i-агента означает совпадение величин (1) и (2) (напомним, что эти величины являются элементами некоторого множества Wi).

Пусть величины (1) и (2) равны, т.е. i-агент и после разыгрывания игры не сомневается в истинности своих представлений.

Однако является ли это достаточным основанием для того, чтобы он и в следующий раз выбрал то же действие xi Ясно, что ответ отрицательный, что продемонстрируем на следующем примере.

Пример П.1. [77]. Пусть в рефлексивной биматричной игре, где = {1, 2}, выигрыши заданы биматрицами (агент 1 выбирает строку, агент 2 – столбец, то есть X1 = X2 = {1; 2}), приведенными на Рис. 31, = 1 = (1,1) (0,0) (0,1) (1,2) (0,1) (2,0) (1,1) (2,2) Рис. 31. Матрицы выигрышей в примере П.а граф рефлексивной игры имеет вид, изображенный на Рис. 32.

1 1 Рис. 32. Граф рефлексивной игры в примере П. Пусть при этом = 1 =1, 2 = 21 = 2, и каждый агент наблюдает свой выигрыш (т.е. функция наблюдения агента совпадает с его функцией выигрыша). Ясно, что информационным равновесием является набор x1 = x2 = x21 = 2, т. е. первый и второй агенты, а также 21-агент выбирают вторые действия. Однако реальное состояние природы = 1 становится известным второму агенту после розыгрыша игры (и получения им выигрыша 0 вместо ожидаемого 2). Поэтому в следующий раз второй агент выберет действие x2 = 1, что в случае повторяющейся игры побуждает и первого агента изменить свое действие (выбрать x1 = 1). • Таким образом, для стабильности равновесия необходимо чтобы и ij-агент, i, j N, наблюдал «нужную» величину. Он ожидает в результате игры пронаблюдать (3) wj (ij, xij1, …, xij j-1, xij, xij j+1, …, xijn).

На самом же деле (т. е. i-субъективно, ведь ij-агент существует в сознании i-агента) он наблюдает величину (4) wj (i, xi1, …, xi j-1, xij, xi j+1, …, xin).

Поэтому требование стабильности для ij-агента означает совпадение величин (3) и (4).

В общем случае, т.е. для i-агента, i +, условие стабильности определим следующим образом.

Информационное равновесие xi, i +, будем называть стабильным при заданной структуре информированности I, если для любого i + выполняется (5) wi (i, xi1, …, xi i-1, xi, xi i+1, …, xin) = = wi (, x1, …, x i-1, xi, x i+1, …, xn).

Информационное равновесие, не являющееся стабильным, будем называть нестабильным. В частности, информационное равновесие в примере П.1 является нестабильным. Следующее утверждение дает оценку сложности проверки стабильности информационного равновесия.

Утверждение П.1. [77]. Пусть структура информированности I имеет сложность, и существует информационное равновесие xi, i +. Тогда система соотношений (5) содержит не более чем попарно различных условий.

П.3. Истинные и ложные равновесия Стабильные информационные равновесия будем разделять на два класса – истинные и ложные равновесия. Определение предварим примером.

Пример П.2. Рассмотрим игру, в которой участвуют три агента с целевыми функциями xi (x1 + x2 + x3) fi (ri, x1, x2, x3) = xi -, ri где xi 0, i N = {1, 2, 3}. Целевые функции являются общим знанием с точностью до типов агентов – параметров ri > 0. Вектор r = (r1, r2, …, rn) типов агентов может интерпретироваться как состояние природы. При этом здесь и далее подразумевается, что свой собственный тип известен каждому агенту достоверно.

Граф рефлексивной игры имеет вид, изображенный на Рис. 33, при этом r2 = r3 = r, r21 = r23 = r31 = r32 = c. Общим знанием является следующее: каждый игрок знает свой тип и наблюдает сумму действий оппонентов.

21 2 Рис. 33. Граф рефлексивной игры в примере П.Нетрудно вычислить единственное информационное равновесие этой игры:

(1) x2 = x3 = (3 r – 2 с) / 4, x21 = x23 = x31 = x32 = (2 c – r) / 4, x1 = (2 r1 – 3 r + 2 с) / 4.

Условия стабильности (см. выражение (5) предыдущего раздела) в данном случае выглядят следующим образом:

(2) x21 + x23 = x1 + x3, x31 + x32 = x1 + x2.

Условия записаны для 2- и 3-агентов, поскольку для 1-, 21-, 23-, 31-, 32-агентов они тривиальны.

Подставляя (1) в (2), получаем, что необходимым и достаточным условием стабильности является равенство (3) 2 с = r1 + r.

Пусть условие (3) выполнено. Тогда равновесные действия реальных агентов таковы:

(4) x2 = x3 = (3 r – r1) / 4, x1 = (3 r1 – 2 r) / 4.

Предположим теперь, что типы агентов стали общим знанием (см. Рис. 34).

2 Рис. 34. Общее знание в примере П.Нетрудно убедиться, что в случае общего знания единственным равновесием будет (4).

Таким образом, при выполнении условия (3) имеет место несколько парадоксальная ситуация. Представления второго и третьего агентов не соответствуют действительности (см. Рис. 33), однако их равновесные действия (4) в точности такие, как были бы в случае одинаковой информированности (см. Рис. 34). Такое стабильное информационное равновесие называется истинным. • Пусть набор действий xi, i +, является стабильным информационным равновесием. Будем называть его истинным равновесием, если набор (x1, …, xn) является равновесием в условиях общего знания о состоянии природы (или о наборе (r1, …, rn) типов агентов).

Из приведенного определения, в частности, следует, что в условиях общего знания любое информационное равновесие является истинным. Рассмотрим еще один случай, когда этот факт имеет место.

Утверждение П.2. [77]. Пусть целевые функции агентов имеют вид fi (ri, x1, …, xn) = i (ri, xi, zi(x-i)), а функции наблюдения – вид wi(, x) = zi(x-i), i N. Содержательно это означает следующее: выигрыш каждого агента зависит от его типа, его действия и функции наблюдения, зависящей от действий остальных агентов (но не от их типов).

Тогда любое стабильное равновесие является истинным.

Стабильное информационное равновесие, не являющееся истинным, назовем ложным.

Таким образом, ложное равновесие – это такое стабильное информационное равновесие, которое не является равновесием в случае одинаковой информированности агентов (в условиях общего знания).

Пример П.3. Пусть в рефлексивной биматричной игре, где = {1, 2}, выигрыши заданы биматрицами (агент 1 выбирает строку, агент 2 – столбец, то есть X1 = X2 = {1; 2}), приведенными на Рис. 35.

= 1 = (2,2) (4,1) (2,2) (0,3) (1,4) (3,3) (3,0) (1,1) Рис. 35. Матрицы выигрышей в примере П.Пусть, далее, в реальности = 2, однако оба агента считают общим знанием = 1. Каждый агент наблюдает пару (x1, x2), которая и является функцией наблюдения.

Информационным равновесием является выбор каждым агентом действия 1. Если бы общим знанием было бы реальное состояние природы, равновесным был бы выбор каждым агентом действия 2. Таким образом, выигрыши агентов в информационном равновесии оказываются бльшими, чем если бы общим знанием было реальное состояние природы. • П.4. Случай наблюдаемых действий агентов В разделе П.1 приведено определение информационного равновесия, которое может интерпретироваться как набор субъектив ных равновесий – i-ый (реальный) агент, i N, обладающий структурой информированности Ii, определяет набор действий * ( xi (Ii)), который является равновесием с его субъективной точки зрения. В частности, он ожидает от j-го реального агента, * j N, выбора действия xij (Iij) (напомним, что фантомный ij-агент является образом j-го агента в представлениях i-го).

В этом разделе мы рассмотрим случай, когда функцией наблюдения является вектор действий всех агентов (именно этот случай, наверное, наиболее близок к задачам моделирования команд):

wi (, x1,…, xn) = (x1,…, xn).

Тогда стабильным является информационное равновесие * x* = ( xi )i N,, удовлетворяющее следующему соотношению:

* (1) i N, xi = xi*.

Соотношение (1) означает, что действие любого реального агента совпадает с действием, ожидаемым от него любым другим (реальным или фантомным) агентом.

Введем следующее предположение относительно целевых функций fi() и множеств, Xi:

П.1. i N,, для любых представлений i и 'i таких, что i 'i, и для любой обстановки игры * xi,-i X-i = X j ji * * (2) BRi(i, xi,-i ) BRi('i, xi,-i ) =, * * * * * где BRi(i, xi,-i ) = Arg max fi(i, xi1,..., xi,i -1, yi, xi,i +1,..., xin ).

yi X i Утверждение П.3. [77]. Пусть выполнено предположение П.1 и существует информационное равновесие x*. Тогда x* является стабильным информационным равновесием в том и только в том случае, если структура информированности игры такова, что (3) i N, i = i.

Следствие. Если выполнено предположение П.1, то стабильные информационные равновесия могут возникать только в рамках структур информированности, удовлетворяющих (3), то есть в рамках структур информированности единичной глубины. При этом, в частности, невозможны ложные равновесия.

Уместно отметить аналогию между условием П.1 и «условием равноправия функций предпочтения» в [10, с. 259].

При ослаблении требования (1) результат утверждения П.3 теряет силу. Например, если считать «стабильным» информационное равновесие x*, удовлетворяющее свойству * (4) i, j N x* = xi ji (действие любого реального агента совпадает с действием, ожидаемым от него любым другим реальным агентом), то в рамках предположения П.1 существуют структуры информированности, не удовлетворяющие (3), при которых соответствующие информационные равновесия «стабильны» в смысле (4).

Утверждение П.3 важно как с точки зрения задач анализа, так и с точки зрения задач синтеза. Действительно, оно позволяет при исследовании свойств информационных равновесий для определенного класса ситуаций (определяемых предположением П.1) выделять при помощью условия (3) множества информационных структур, при которых информационные равновесия могут быть стабильными. С точки зрения задачи информационного управления, утверждение П.3 накладывает ограничения на множество управляющих воздействий, приводящих к стабильному равновесию игры управляемых субъектов.

Пусть теперь каждый из n агентов характеризуется своим типом ri 0, i N, и каждый агент знает свой тип, но, вообще говоря, не знает тип остальных агентов. Будем считать, что целевая функция i-го агента имеет вид fi(ri, x), т. е. зависит от его собственного типа, но не от типов оппонентов. Относительно типов каждый из агентов имеет иерархию представлений, состоящую из следующих компонент: rij – представление i-го агента о типе j-го агента, rijk – представление i-го агента о представлениях j-го агента о типе k-го агента и т.д., i, j, k N.

Содержательное различие между обсуждениями в терминах неопределенного параметра и в терминах вектора типов r = (r1, r2, …, rn) n состоит в следующем. В первом случае + иногда естественным является предположение о том, что значение наблюдается агентами, которые могут на основании этого кор ректировать свои представления. Во втором случае предполагается, что вектор типов r = (r1, r2, …, rn) непосредственно не наблюдаем, поэтому агенты могут корректировать свои представления лишь на основании наблюдаемых действий оппонентов. При этом согласно утверждению П.2 все стабильные равновесия являются истинными. Поэтому сосредоточим внимание на исследовании стабильности. Условие (1) и здесь будет задавать стабильное информационное равновесие, а предположение П.1 и утверждение П.3 перепишем следующим образом.

П.1r. i N,, для любых представлений ri и r'i та* ких, что ri r'i, и для любой обстановки игры xi,-i X-i * * BRi(ri, xi,-i ) BRi(r'i, xi,-i ) =, * * * * * где BRi(ri, xi,-i ) = Arg max fi (ri, xi1,..., xi,i-1, yi, xi,i+1,..., xin).

yi X i Утверждение П.3r. [77]. Пусть выполнено предположение П.1r и существует информационное равновесие x*. Тогда x* является стабильным информационным равновесием в том и только в том случае, если структура информированности игры такова, что i N, ri = ri.

Определим следующие множества:

- множество пар (x, I), таких, что x X', I и вектор x является информационным равновесием при структуре информированности I, где – множество всевозможных структур информированности (отметим, что зависит от вектора типов r).

- множество X(I) X' векторов действий агентов, являющихся информационными равновесиями в рамках структуры информированности I;

- множество I(x) информационных структур, в рамках которых вектор x действий агентов является информационным равновесием (решение обратной задачи).

Определим также подмножества этих множеств, выделяемые требованием стабильности информационного равновесия:

- множество s пар (x, I), таких, что x X', I и вектор x является стабильным информационным равновесием при структуре информированности I;

- множество Xs(I) X' векторов действий агентов, являющихся стабильными информационными равновесиями в рамках структуры информированности I;

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.