WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

iji n j=1 i=При вычислении дисперсии, каждый раз приходится вычислять среднее. Чтобы упростить эти вычисления, выразим среднее значение через количество оцениваемых объектов n и количество экспертов m, принявших участие в экспертизе. Для этого сначала вычислим сумму рангов, которые приписываются объектам каждым экспертом n nn +1( ) pp ==, =,1 mj, (3.20) ijj i=а затем средний ранг представим в удобном для расчетов виде n m m n m 11 1 (nn +1) n +1( )m p pij pij === =. (3.21) n n n 2 i =1 j =1 j =1i=1 i=Для вычисления максимально возможного значения дисперсии проведем, используя очевидное равенство n m = np p, (3.22) ij i j преобразование формулы (3.19) n n m n m 1 D = - pp )( = 2 ppij pij +- np2 = i n -1 n -i=1 i=1 j== i=1 j n m = - npij p2. (3.23) n -i=1 j= Преобразованная формула позволяет понять, что максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении первого члена в квадратных скобках. В свою очередь, наибольшее значение этого члена достигается в том случае, когда у всех экспертов оценки оказались одинаковыми, т.е. все ранжировки одинаковые. В случае одинаковых ранжировок каждая строка табл. 3.2 будет содержать одинаковые целые числа (ранги) i и, следовательно, величину, возводимую в квадрат, можно представить в виде m = imp, (3.24) ij j=где i – по сути, величина среднего ранга, которая для данного случая целая.

Теперь величина первого члена в квадратных скобках может быть выражена через n и m - 35 n m n nm 1( )(2n ++ 1)n mp i22 ==. (3.25) ij i=1 j =1 i = Это максимально возможное значение для случая, когда оценивалось n объектов группой из m экспертов, и их точки зрения полностью совпали.

Если изменится хотя бы одна из ранжировок, то сумма уменьшится. Действительно, перестановка рангов в одной из ранжировок приведет к изменению некоторых i под знаком суммирования. Причем, если < ii, то iвозрастет на величину - ii )( / m, а i2 – уменьшается на эту же величину.

Тогда с помощью простых вычислений можно показать, как изменяется в целом вся сумма в зависимости от тех изменений, которые произошли с двумя слагаемыми 2 - ii - ii i + 12 i -+ = 1 m m - ii - ii.

2 12 += ii + (2 -- ii ) + (3.26) 1 2 m m Из полученного выражения очевидным образом следует, что она уменьшается на величину дополнительного слагаемого, которое всегда имеет отрицательное значение. Следовательно, дисперсия имеет максимальное значение только в случае полного совпадения мнений экспертов.

Окончательно, подставляя (3.21) в (3.19) и подробно расписывая p, получаем формулу для вычисления значения максимальной дисперсии nm 1( )(2n ++ 1)n n n -1( )22 m2 nm - n)( Dmax = - =. (3.27) 6 4 12(n -1) Случай, когда дисперсия равна нулю, имеет смысл рассматривать для m = n. Именно в этом случае возникает ситуация, когда один и тот же объект оценивается экспертами по-разному, т.е. все n ранжировок разные.

А для разных ранжировок первый член в выражении (3.25) равен n m n mm +1( ) m m +1( )22 n pij = =. (3.28) 2 i= j =1 i = При m = n полученное выражение полностью совпадает с выражением для pn и, следовательно, величина дисперсии в рассматриваемом случае равна нулю.

Если ввести обозначение D = S, (3.29) n -- 36 n m где S -= pp, ij i=1 j= то коэффициент конкордации можно записать в компактном виде следующим образом :

12S W =. (3.30) nm - n)( Если в полученных ранжировках есть связные ранги, то коэффициент конкордации нужно корректировать, так как максимальное значение дисперсии становится меньше, чем в случае отсутствия связных рангов. Скорректированный коэффициент конкордации вычисляется по формуле 12S W =, (3.31) m nm n)( -- m Tj j =где Tj – показатель связных рангов в j -й ранжировке, вычисляемый следующим образом :

H j -= hh ).

(T kj k k=В приведенных формулах H – число групп равных рангов в j -й ранжиj ровке, hk – число равных рангов в k -й группе связных рангов в ранжировке, полученной от j -го эксперта.

Коэффициент конкордации равен 1 в тех случаях, когда мнения экспертов по всем объектам полностью совпадают, и равен нулю, когда все ранжировки различны. В остальных случаях его значения удовлетворяют неравенству 0 W 1, причем, чем ближе это значение к 1, тем теснее связь между ранжировками и надежней групповая оценка.

Коэффициент конкордации, вычисляемый по выведенной формуле, является, по сути, оценкой истинного значения и представляет собой случайную величину. Естественно, возникает необходимость в проверке его значимости.

Для небольших значений m и n разработана специальная таблица распределения частот. Эту таблицу можно найти в Приложении.

Если число объектов n > 7, то значимость оценки коэффициента конкордации проверяется с помощью критерия. Доказано, что величина (W nm -= 1) (3.32) имеет - распределение с = (n -1) степенями свободы.

Если в некоторых ранжировках есть связанные ранги, то для проверки значимости коэффициента конкордации используется статистика - 37 12S =. (3.33) m mn n 1( ) -+ (n -1)-1 Tj j =Проверка значимости коэффициента конкордации гарантирует получение статистически надежных результатов.

Рассмотрим числовой пример, иллюстрирующий процедуру вычисления коэффициента конкордации. Исходные данные и промежуточные результаты расчетов приведены в табл. 3.3.

Т а б л и ц а 3.Исходные данные и промежуточные расчеты Э к с п е р т ы Сумма Отклонение Квадрат Объекты рангов от среднего отклонений 1 2 3 4 5 1 1 2 1 1 1 2 8 -19 2 2 1 3 4 4 1 15 -12 3 3 4 2 2 2 4 17 -10 4 4 3 6 3 3 3 22 -5 5 5 5 4 6 5 5 30 3 6 6 6 5 5 7 7 36 9 7 7 7 8 8 8 6 44 17 8 8 8 7 7 6 8 44 17 Сумма квадратов отклонений S Количество ранжируемых объектов n = 8, количество экспертов, принявших участие в экспертном опросе m = 6. Средний ранг равен +1( )mn 8( +1) p = = = 27.

2 Отклонения от среднего и квадраты отклонений представлены в двух последних столбцах таблицы. Используя итог последнего столбца, окончательно получаем 12S 12 W = = =,0 8585.

32 nm - n)( (6 83 - 8) Для проверки значимости коэффициента конкордации вычислим статистику хи-квадрат (W nm -= 1) = 0,8585 6 (8 -1) = 36,0556.

Сравнение расчетного значения с табличным значением 36,0556 >= 14,07 = табл позволяет отвергнуть гипотезу W = 0 и признать, что мнения экспертов согласованы.

Энтропийный коэффициент конкордации определяется через величину энтропии H с помощью формулы - 38 H 1W -=, (3.34) э Hmax n m где -= logH pp.

ij 2 ij i=1 j=В формуле для вычисления энтропии pij представляет собой оценку вероятности, с которой i -му объекту приписывается j -й ранг. Вычисляется эта вероятность как отношение числа экспертов mij, приписавших объекту Ai ранг j, к общему числу экспертов mij pij =. (3.35) m Как известно, максимальное значение энтропии достигается при равновероятном распределении рангов. Если в опросе принимает участие m экспертов, то в случае равномерного распределения число экспертов, приписавших i -му объекту j -й ранг, равно их среднему числу, приходящемуся на один объект, т.е. = mm / n. Тогда вероятность определяется с поij мощью простой формулы m pij ==. (3.36) mn n Подставляя эту вероятность в формулу энтропии, получаем n m m 1 H -= = log nn log = mn log2 n. (3.37) i=1 j=1 j=Значение энтропийного коэффициента конкордации заключено между нулем и единицей. Если = 0W, то это означает, что между ранжировками э нет связи. В этом случае ранги равномерно распределены между объектами и, следовательно, = HH. Противоположный случай = 1W соответmax э ствует ситуации, когда все эксперты идентично оценили значимость объектов и ранжировки оказались совпадающими между собой. При совпадающих ранжировках pkl = 1, а все остальные pij = ( ki j l,, i = 1, n, j = 1, m ). Поэтому H = 0 и, следовательно, = 1W.

э Процедура вычисления энтропийного коэффициента конкордации более громоздкая, чем дисперсионного. Проиллюстрируем основные ее этапы на данных предыдущего примера.

На первом этапе по данным табл. 3.3 сформируем квадратную матрицу размера n n с элементами mij, представляющими количество экспертов, приписавших i -му объекту j -й ранг (см. табл. 3.4).

- 39 Т а б л и ц а 3.Частоты экспертных предпочтений Р а н г и О б ъ е к т ы 1 2 3 4 5 6 7 1 4 2 0 0 0 0 0 2 2 1 1 2 0 0 0 3 0 3 1 2 0 0 0 4 0 0 4 1 0 1 0 5 0 0 0 1 4 1 0 6 0 0 0 0 2 2 2 7 0 0 0 0 0 1 2 8 0 0 0 0 0 1 2 Разделив все элементы этой матрицы на число экспертов mij pij =, (3.38) m получим матрицу, элементы которой есть вероятности, с которыми эксперты присваивают ранги соответствующим объектам (см. табл. 3.5).

Т а б л и ц а 3.Вероятности, с которыми эксперты проводят ранжировку объектов Р а н г и О б ъ е к т ы 1 2 3 4 5 6 7 1 0,667 0,333 0 0 0 0 0 2 0,333 0,167 0,167 0,333 0 0 0 3 0 0,5 0,167 0,333 0 0 0 4 0 0 0,667 0,167 0 0,167 0 5 0 0 0 0,167 0,667 0,167 0 6 0 0 0 0 0,333 0,333 0,333 7 0 0 0 0 0 0,167 0,333 0,8 0 0 0 0 0 0,167 0,333 0,Из матрицы вероятностей применением преобразования = - ph log2 pij (3.39) ij ij легко получается матрица энтропийных характеристик полученных ранжировок, представленная соответствующей частью табл. 3.6.

Величина максимальной энтропии для рассматриваемого случая равна = 6H log2 8 = 18.

max Окончательно получаем H 11,1W -= = 1- =,0 6279.

э Hmax - 40 Т а б л и ц а 3.Энтропийные характеристики ранжировок Ранги Объекты Сумма 1 2 3 4 5 6 7 1 0,39 0,528 0 0 0 0 0 0 0,2 0,528 0,431 0,431 0,528 0 0 0 0 1,3 0 0,5 0,431 0,528 0 0 0 0 1,4 0 0 0,39 0,431 0 0,431 0 0 1,5 0 0 0 0,431 0,39 0,431 0 0 1,6 0,528 0,528 0,528 0 1,7 0 0 0 0 0 0,431 0,528 0,5 1,8 0 0 0 0 0 0,431 0,528 0,5 1,Суммарная энтропия H 11,Значения дисперсионного и энтропийного коэффициентов корреляции не совпадают. Причем их значения сближаются по мере увеличения степени согласованности мнений экспертов, т.е. чем ближе к единице, тем меньше различие между ними. Самое большое различие между этими коэффициентами имеет место в случае, когда эксперты разделились на две группы с полностью противоположными точками зрения. По дисперсионному коэффициенту конкордации степень согласованности в этой ситуации будет равна нулю, а по энтропийному – 0,5.

3.3. Анализ несогласованности мнений экспертов Пусть сотрудникам отдела маркетинга крупной корпорации необходимо выбрать медиа-план рекламной кампании минеральной воды новой марки в рамках отведенного бюджета. В соответствии с поставленными целями возможны разные варианты этого плана, которые различаются между собой типом телепрограммы, охватом аудитории, стоимостью, а также долей средств рекламного бюджета, направляемых на размещение рекламы в той или иной телепрограмме. Бюджет данной корпорации обычно распределяется в соответствии с согласованным мнением сотрудников, личностные характеристики которых представлены в табл. 3.7. Для выяснения мнений сотрудников был проведен их опрос по типу телепрограмм с использованием методики парных сравнений (см. табл. 3.8). Результаты обработки опроса в виде весовых коэффициентов отражены в табл. 3.9.

Требуется проверить согласованность мнений сотрудников для того, чтобы понять, можно ли использовать полученные оценки для распределения рекламного бюджета по телепрограммам.

Т а б л и ц а 3.Квалификация Возраст, Стаж работы Эксперт Пол по диплому лет в качестве специалиста - 41 по рекламе, лет 1 мужской экономист 32 2 женский рекламист 28 3 мужской математик 35 4 женский журналист 25 5 женский дизайнер 27 6 мужской экономист 24 7 мужской экономист 38 8 женский экономист 33 9 мужской экономист 40 10 женский журналист 28 11 мужской программист 36 Т а б л и ц а 3.Результаты парного сравнения телепрограмм 11 экспертами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-й эксперт 7-й эксперт 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 1 0 2 2 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 0 0 2 1 2 2 0 0 2 0 0 0 2 1 2 0 0 0 2 5 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 6 0 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 2 2 2 1 0 0 2 7 0 0 2 2 2 2 1 2 2 0 0 0 2 2 2 2 1 0 2 0 0 2 2 2 2 0 1 2 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2-й эксперт 8-й эксперт 1 1 2 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 0 0 0 2 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 4 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 5 2 2 0 0 1 2 2 0 0 2 0 0 2 2 1 2 0 2 2 6 2 2 0 0 0 1 2 0 0 2 0 0 2 2 0 1 2 2 2 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 2 0 1 2 2 8 2 2 0 0 2 2 2 1 0 2 0 0 2 2 0 0 0 1 2 9 2 2 0 0 2 2 2 2 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 О к о н ч а н и е т а б л.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.