WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 13 |

К сожалению, по сложившейся издавна традиции этому обстоятельству не уделяется должного внимания. Возьмем простой пример из школьного курса физики: движение тела под действием силы тяжести (тело, брошенное под углом к горизонту). Уравнения движения дает нам опытный закон, открытый Ньютоном. Но для полного описания этого физического процесса необходимо задать еще два условия, а именно координату и скорость в начальный момент времени. Сейчас это воспринимается как совершенно очевидный и всем хорошо известный факт, не требующий доказательства и не заслуживающий рассмотрения. Но возьмем более сложный пример. Считается, что нам достаточно хорошо известны законы аэродинамики. Но как нужно задать аналогичные дополнительные (начальные) условия, чтобы описать такие хорошо известные природные физические явления, как смерч, торнадо и т. д. Удовлетворительного ответа на этот вопрос до сих пор не найдено. Отсюда вывод: при описании физических явлений наряду с найденными из опыта законами природы в форме ДУ не менее важную роль играют и краевые условия, которые, в сущности, также являются законами природы, найденными из опыта, только выраженными в несколько иной форме.

Вместе уравнения и краевые условия задают краевую задачу, являющуюся основным объектом изучения в математической физике. Описать все многообразие краевых задач нереально, и в дальнейшем будут изучены лишь так называемые корректно поставленные задачи.

К ним относятся краевые задачи, на решения которых накладываются три требования: 1) решение задачи должно существовать, 2) решение задачи должно быть единственным, 3) решение задачи должно непрерывно зависеть от данных задачи.

В процессе исторического развития для каждого из трех основных типов уравнений были найдены свои, наиболее часто встречающиеся типы корректно поставленных краевых задач. Среди них наиболее важным типом является так называемая смешанная задача.

5.2. Смешанная задача Смешанная задача ставится для уравнений гиперболического и параболического типа, примерами которых служат уравнение колебаний и уравнение распространения тепла соответственно. Уточним необходимые обозначения. Неизвестная функция u = u(t, x), где t временная переменная, t (0, T ); x совокупность пространственных переменных, x G Rn, n = 1, 2, 3 (G ограниченная область); функция u(t, x) ищется в классе функций C2(D) C1(D), где D = (0, T ) G.

Линейный дифференциальный оператор задается формулой (2.7) n def L = - p(x) + q(x), (5.1) xi xi i=где заданы коэффициенты p(x)C1(G), q(x)C(G); p(x)>0, q(x) 0.

Краевые условия в смешанной задаче принимают вид граничных и начальных условий. Граничные условия записываются в виде u (x) u + (x) = v(t, x), t (0, T ), (5.2) n S где S G граница области G (S кусочно-гладкая поверх ность). Символ обозначает производную по внешней нормали к n S. Функции (x) и (x) считаются заданными: (x), (x) C(S);

(x), (x) 0; (x) + (x) = 0. Заданная функция v(t, x) C(D).

Начальные условия записываются в виде u|t=0 = u(0)(x), (5.3) ut|t=0 = u(1)(x), где функции u(0)(x), u(1)(x) заданы; u(0)(x)C1(G), u(1)(x)C(G). Число начальных условий зависит от типа уравнения (и равно порядку производной по времени в уравнении). На функции, входящие в граничные и начальные условия, налагаются условия согласования:

u(0) u(0) + = v|t=0. (5.4) n S Смешанная задача для уравнения колебаний записывается в виде (x) utt(t, x) = -L u(t, x) + F (t, x), u (x) u + (x) = v(t, x), (5.5) n S u|t=0 = u(0)(x), ut|t=0 = u(1)(x), а для уравнения распространения тепла принимает вид (x) ut(t, x) = -L u(t, x) + F (t, x), u (5.6) (x) u + (x) = v(t, x), n S u|t=0 = u(0)(x).

Здесь заданы функции (x) C(G) и F (t, x) C(D). Коэффициенты в ДУ (x), p(x), q(x) описывают свойства среды, а F (t, x) внешнее воздействие. Функции (x), (x), u(0)(x), u(1)(x) характеризуют специфику воздействия внешних причин на протекание физического процесса. В уравнении колебаний функция u(t, x) обычно имеет смысл отклонения физической величины, которая совершает колебания, от своего равновесного значения. В уравнении распространения тепла u(t, x) имеет смысл температуры среды в момент времени t в точке с координатой x.

Решить смешанную задачу значит найти такую функцию u(t, x), которая является решением соответствующего уравнения и удовлетворяет граничным и начальным условиям.

Доказано, что смешанная задача поставлена корректно.

В дальнейшем ограничимся случаем однородных сред, когда функции (x), p(x) и q(x) являются константами. Кроме того, функции (x), (x) будут кусочно-постоянными. В этом случае можно получать решения смешанной задачи в явном виде.

5.2.1. Одномерная задача с однородными граничными условиями Начнем с простейшего случая: задача одномерна (n = 1) и граничные условия однородны (v = 0). В этом случае G = (a, b), S = {a, b}, D = (0, T ) (a, b), а производная по нормали (с точностью до знака) совпадает с производной по x. Основная идея при решении смешанной задачи состоит в использовании разложений в ряды Фурье, что, в свою очередь, требует предварительного построения базиса.

Удобно всю процедуру поиска решения разбить на отдельные этапы.

Первый этап. Построение базиса В соответствии с общей теорией линейных операторов в гильбертовом пространстве ортонормированный базис в L2(G) может быть найден как решение задачи на собственные значения:

Lu(x) = u(x), u (x) u + (x) = 0, (5.7) n S u(x) 0, u = 1.

В нашем простейшем случае Lu(x) = -p u (x) + q u(x), а граничные условия имеют вид 1u(a) - 1u (a) = 0, 2u(b) + 2u (b) = 0.

Для упрощения вычислений рассмотрим задачу на собственные значения в следующем виде:

-u (x) = u(x), 1u(a) - 1u (a) = 0, (5.8) 2u(b) + 2u (b) = 0, u(x) 0, u = 1.

Задачи такого вида рассматривались в п. 2.1. Будем считать, что задача решена и найдены собственные значения {k} и собственные функции {uk(x)}. Заметим, что переход к L2(G) вполне допустим, так как представляет собой формальное расширение класса функций, среди которых ищется решение.

Второй этап. Разложение в ряды Фурье искомой и заданных в смешанной задаче функций Неизвестную функцию u(t, x) можно представить в виде ряда Фурье по найденному базису {uk(x)}:

u(t, x) = ck(t) uk(x). (5.9) k=Это сводит исходную задачу к вычислению неизвестных коэффициентов Фурье ck(t). Вполне естественно представить в виде рядов Фурье также свободный член F (t, x) и функции u(0)(x), u(1)(x) в начальных условиях. Имеем F (t, x) = Fk(t) uk(x), k=(5.10) u(0)(x) = u0k uk(x), u(1)(x) = u1k uk(x).

k=1 k=Как известно, коэффициенты Фурье выражаются через скалярное произведение функций и тем самым нахождение этих коэффициентов сводится к вычислению соответствующих интегралов:

b Fk(t) = (F (t, x), uk(x)) = F (t, x) uk(x) dx, a b (5.11) u0k = u(0)(x), uk(x) = u(0)(x) uk(x) dx, a b u1k = u(1)(x), uk(x) = u(1)(x) uk(x) dx.

a Заметим, что в разложении свободного члена F (t, x) время играет роль параметра, а сделанное выше предположение о гладкости этой функции гарантирует само существование интегралов, а также соответствующую степень гладкости коэффициентов Фурье Fk(t), рассматриваемых как функции времени.

Третий этап. Получение ОДУ для ck(t) и решение этих уравнений Уравнения для коэффициентов Фурье ck(t) получаются из соответствующих уравнений в смешанной задаче. Рассмотрим, например, уравнение колебаний. С учетом принятых упрощений подставим всюду вместо u(t, x) и F (t, x) ряды Фурье. Вычислим соответствующие производные, допуская возможность почленного дифференцирования членов ряда. Тогда получим c k(t) uk(x) = -p kck(t) uk(x)-q ck(t) uk(x)+ Fk(t) uk(x).

k=1 k=1 k=1 k=(5.12) Так как функции uk(x) образуют базис и, следовательно, линейно независимы, то можно приравнять соответствующие коэффициенты при одинаковых функциях uk(x) в левой и правой частях полученного тождества. Отсюда находим c k(t) = -pkck(t) - qck(t) + Fk(t), k. (5.13) Перепишем полученное уравнение в виде c k(t) + (kp + q) ck(t) = Fk(t). (5.14) Это и есть искомое уравнение для ck(t) в смешанной задаче для уравнения колебаний.

Рассмотрим теперь уравнение распространения тепла. Легко сообразить, что в этом случае вместо второй производной по времени появится первая производная. Таким образом, искомое уравнение для ck(t) в смешанной задаче для уравнения распространения тепла имеет вид c k(t) + (kp + q) ck(t) = Fk(t). (5.15) Теперь нужно найти решение этих неоднородных линейных ОДУ второго (соответственно первого) порядка. На примере последнего уравнения напомним вкратце, как строится его общее решение. Рассмотрим однородное уравнение c k(t) + (kp + q) ck(t) = 0. (5.16) Воспользуемся подстановкой Эйлера: ck(t) = et. Получим характеристическое уравнение kp + q + (kp + q) = 0 = -. (5.17) Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид kp+q ck(t) = Ake- t, (5.18) где Ak произвольная постоянная. Теперь нужно найти частное решение ck(t) исходного неоднородного уравнения. Для этого нужно ис пользовать метод вариации постоянных или метод неопределенных коэффициентов. Тогда общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде kp+q ck(t) = ck(t) + Ake- t. (5.19) Аналогично ищется общее решение уравнения второго порядка (5.14).

В общее решение этого уравнения будут входить две произвольные постоянные Ak и Bk.

Четвертый этап. Определение произвольных постоянных из начальных условий Продолжим рассмотрение предыдущего примера. В смешанной задаче для уравнения распространения тепла начальное условие одно.

Подставим в него слева искомую функцию в виде ряда Фурье, а справа ряд Фурье для функции u(0)(x). Получим ck(t) uk(x) = u0k uk(x) ck(0) uk(x) = u0k uk(x).

t=k=1 k=1 k=1 k=(5.20) Вновь приравняем коэффициенты при uk(x) в тождестве:

ck(0) = u0k ck(0) + Ak = u0k, k. (5.21) Отсюда Ak = u0k - ck(0), k. (5.22) Аналогично, в смешанной задаче для уравнения колебаний из двух начальных условий получаются два уравнения для определения констант Ak и Bk. Детали вычислений продемонстрированы в нижеследующих конкретных примерах.

Пятый этап. После завершения всех четырех этапов расчета следует записать ответ. Опять продолжим наш пример. Подставляя найденное выражение для Ak в формулу общего решения для ck(t), получим kp+q ck(t) = ck(t) + [u0k - ck(0)] e- t, k. (5.23) Затем ck(t) подставляем в ряд Фурье для u(t, x). В итоге kp+q u(t, x) = ck(t) + (u0k - ck(0)) e- t uk(x). (5.24) k=Это и есть искомое решение смешанной задачи для уравнения распространения тепла.

Вообще говоря, полученная формула для решения требует более строгого математического обоснования. Необходимо установить сходимость полученного ряда и характер сходимости и тем самым обосновать возможность почленного дифференцирования ряда. Соответствующие теоремы приведены в пособиях [4, 5, 6].

Пример 1. Рассмотрим следующую задачу. Найти распределение температуры в тонком ограниченном однородном стержне, левый конец которого поддерживается при температуре, равной температуре окружающей среды, а правый конец теплоизолирован. На боковой поверхности происходит конвективный теплообмен с внешней средой. По стержню непрерывно распределены источники тепла с известной линейной плотностью, которая зависит от времени и координаты. Известно распределение температуры в начальный момент времени. В подходящих безразмерных единицах приходим к следующей смешанной задаче для уравнения распространения тепла:

ut = uxx - u + e-t cos x, 0 < t <, 0 < x <, u|x=0 = 0, (5.25) ux|x=/2 = 0, u|t=0 = sin x.

Здесь u = u(t, x) искомое распределение температуры, которая отсчитывается от температуры внешней среды. В правой части уравнения первый член описывает процесс внутренней теплопроводности, второй процесс конвективного теплообмена с окружающей средой через боковую поверхность, а третий влияние внешних источников тепла. Граничные условия описывают ситуацию на левом и правом конце стержня. Функция в правой части начального условия характеризует начальное распределение температуры. Легко проверить, что условия согласования выполнены.

Рассмотрим последовательно все этапы вычислений.

1) Строим базис. Имеем следующую задачу на собственные значения:

-u (x) = u(x), x (0, ), u(0) = 0, u () = 0, u(x) 0, u = 1.

Ее решение (см. разд. 2.1) имеет вид k = (2k + 1)2, uk(x) = sin(2k + 1)x, k = 0, 1, 2,....

2) Разложение в ряды Фурье.

u(t, x) = ck(t) uk(x).

k=Разложим в ряд Фурье функцию cos x. Для этого вычислим интегралы /(cos x, uk(x)) = cos x sin(2k+1)x dx = /= [ sin 2(k+1)x + sin 2kx] dx = /2 /1 cos 2(k+1)x cos 2kx = - + = 2(k+1) 0 2k 1 (-1)k+1 - 1 (-1)k - = - + = 2 k+1 k, если k четное, (k + 1) =, если k нечетное.

k Случай k = 0 особый:

/2 (cos x, u0(x)) = cos x sin x dx =.

Таким образом, k = 2m, fk = (cos x, uk(x)) =, где m = 0, 1, 2,....

k = 2m + 1, (2m + 1) В итоге имеем разложение e-t cos x = e-t fk uk(x).

k=Теперь разложим функцию sin x. Можно снова вычислять интегралы, но проще воспользоваться искусственным приемом. Запишем очевидное тождество sin x = sin x = u0(x) + 0 u1(x) + 0 u2(x) +....

2 Отсюда очевидно, k = u0k = (sin x, uk(x)) = u0k = 0k.

0, k = 1, 2...

Окончательно sin x = 0k uk(x).

k=Таким образом, все необходимые в нашей задаче функции представлены в виде рядов Фурье.

3) Запишем уравнение для ck(t):

c k(t) + (k + 1) ck(t) = e-tfk, k.

Явный вид k и fk подставлять пока рано. Общее решение однородного уравнения имеет вид k co(t) = Ak e-( +1)t, k где Ak произвольные константы. Для поиска частного решения неоднородного уравнения проще использовать метод неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение в виде ck(t) = Cke-t и для неопределенных коэффициентов Ck получим fk -Ck + (k + 1) Ck = fk Ck =.

k В итоге fk ck(t) = e-t.

k Значит, общее решение неоднородного ДУ для ck(t) запишется в виде fk k ck(t) = e-t + Ak e-( +1)t, k.

k 4) Чтобы найти Ak, используем начальное условие fk fk ck(0) = u0k + Ak = 0k Ak = 0k -.

k 2 2 k Подставляя найденные Ak в общее решение для ck(t), получим fk fk fk k k ck(t)= e-t+ 0k - e-( +1)t = e-2t0k + e-t 1 - e- t.

k 2 k 2 k 5) Запишем решение. Подставим ck(t) в ряд Фурье для u(t, x):

fk k u(t, x) = ck(t) uk(x) = e-2t0k + e-t 1 - e- t uk(x).

2 k k=0 k=Теперь пора подставлять fk, k и uk(x) в явном виде и преобразовывать получившийся ряд:

f2m 2m u(t, x) = e-2tu0(x) + e-t 1 - e- t u2m(x) + 2 2m m= f2m+2m++ e-t 1 - e- t u2m+1(x) = 2m+m= 2 1 - e-(4m+1)t = e-2t sin x + e-t sin(4m+1)x + (2m + 1) (4m + 1)m= 2 1 - e-(4m+3)t + e-t sin(4m+3)x.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.