WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 13 |

1 - µ Глава Классификация ЛДУ 2-го порядка в частных производных 4.1. Канонический вид ЛДУ 2-го порядка Физические законы выражают связи между физическими величинами и обнаруживаются из наблюдений за природными явлениями или в результате проведения целенаправленных опытов (экспериментов).

Иногда эти законы удается записать в виде алгебраических соотношений (закон Ома, уравнение состояния для идеального газа и многие другие законы элементарной физики). Но чаще всего физические законы выражают связи между изменениями физических величин в пространстве и во времени. Следовательно, если физическая величина является в общем случае функцией одной временной и трех пространственных переменных, то изменения этой величины математически выражаются через частные производные соответствующей функции по временной и пространственным переменным. В итоге физические законы принимают вид ДУ в частных производных. Это может быть ДУ для одной функции от нескольких переменных (уравнение Пуассона (Лапласа) в электростатике, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера в квантовой механике и т. д.) или, чаще всего, система ДУ для нескольких функций от нескольких переменных (система уравнений Ньютона в механике, уравнения Максвелла в электродинамике, уравнения Эйлера в гидродинамике, четырехкомпонентное уравнение Дирака в квантовой механике и т. д.). Все такие уравнения принято называть уравнениями математической физики (УМФ), и именно их мы будем рассматривать в нашем курсе.

Вообще говоря, УМФ являются нелинейными ДУ, но если сделать дополнительные упрощения (эту процедуру принято называть линеаризацией исходного ДУ), то можно получить уже линейные УМФ. Исторически сложилось так, что в классической физике основное внимание уделяют линейным уравнениям, и ситуация не изменилась с появлением квантовой механики. В настоящее время подавляющее большинство уравнений, описывающих широкий спектр физических явлений в самых разных разделах современной физики, является линейными УМФ.

Для их изучения был развит мощный математический аппарат, с помощью которого были подробно исследованы свойства этих уравнений и найдены эффективные аналитические и численные методы построения решений этих уравнений. С нелинейными уравнениями ситуация значительно сложнее. Накопленный опыт позволяет утверждать, что многие чрезвычайно интересные и практически очень важные физические явления (термоядерные реакции, многие магнитные явления, шаровые молнии, цунами и т. д.) могут быть адекватно описаны лишь в рамках нелинейных моделей. К сожалению, в настоящее время математический аппарат для изучения нелинейных уравнений находится в процессе построения, многие важные свойства этих уравнений еще не до конца поняты, и лишь для небольшого класса уравнений удалось получить решения, да и то лишь частные. В этой и следующей главе будут рассматриваться только линейные УМФ.

На основе многовекового опыта развития физики было обнаружено, что подавляющее число физических явлений описывается достаточно узким классом уравнений, а именно ДУ 2-го порядка. Исключения лишь подтверждают правило: уравнения 4-го порядка в теории упругости, уравнение 3-го порядка знаменитое уравнение Кортевегаде-Фриза в нелинейных колебаниях и еще ряд таких же экзотических примеров. Поэтому на первом этапе изучения математической физики можно ограничиться линейными ДУ (ЛДУ) 2-го порядка.

Приступая к изучению этих уравнений, естественно попытаться привести их к наиболее простому (так называемому каноническому) виду.

Линейное уравнение 2-го порядка n 2u aij(x) + (x, u, grad u) = 0 (4.1) xixj i,j=имеет канонический вид, если 1 при i = j, aij(x) = (4.2) 0, ±1 при i = j.

Записанное в каноническом виде уравнение относится к одному из трех возможных типов:

n 2u 1. Эллиптический тип: + = 0.

xixi i=В этом случае мы имеем просто сумму вторых производных, число которых равно n.

r n 2u 2u 2. Гиперболический тип: - + = 0, xixi i=r+1 xixi i=0 < r < n. Здесь вторые производные входят с разными знаками, но их число по прежнему равно n.

r s 2u 2u 3. Параболический тип: - + = 0, xixi i=r+1 xixi i=0 < r < s < n. В этом случае часть вторых производных отсутствует.

Любое уравнение (4.1) с произвольными коэффициентами может быть приведено к каноническому виду в любой точке x = x0 с помощью yk неособенной замены независимых переменных: yk =yk(x), det =0.

xi Выражая производные в (4.1) через производные новой функции по новым переменным yk, получим преобразованное уравнение той же структуры, что и исходное:

n kl + = 0. (4.3) ykyl k,l=Новые коэффициенты kl(y) выражаются через старые aij(x):

n yk yl kl = aij. (4.4) xi xj i,j=Нетрудно заметить, что закон преобразования коэффициентов уравнения совпадает с известным из линейной алгебры законом преобразования коэффициентов квадратичной формы при неособенной линейной замене переменных. Действительно, если задана квадратичная форма n K(p, p) = aij pipj (4.5) i,j=и совершено невырожденное линейное преобразование S от старых переменных pi к новым переменным qk n pi = sik qk, det |S| = 0, (4.6) k=то новая квадратичная форма примет вид n n K(q, q) = kl qkql, где kl = aij siksjl. (4.7) k,l=1 i,j=Сравнивая с (4.4), имеем yk sik =. (4.8) xi x=xКак известно из линейной алгебры, преобразование S, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, всегда может быть найдено или методом Лагранжа методом выделения полных квадратов, или методом Якоби приведения матрицы к треугольному виду.

Несмотря на то, что это преобразование определено не единственным образом, тип уравнения (4.1) в точке определяется однозначно на основании закона инерции квадратичной формы, который гласит, что число отрицательных и положительных слагаемых в каноническом виде квадратичной формы не зависит от конкретного выбора преобразования.

Доказанный факт важен в теоретическом отношении, но практически бесполезен. Дело в том, что с точки зрения физики УМФ всегда нужно рассматривать не в отдельной точке, а в некоторой области изменения переменных.

4.2. Уравнения с постоянными коэффициентами Если коэффициенты уравнения (4.1) постоянны, то матрица S (4.6) определяет линейную замену переменных n yk = sik xi, (4.9) j=которая приводит уравнение (4.1) к каноническому виду теперь уже во всей области определения уравнения (x Rn).

Пример. Привести к каноническому виду уравнение и определить его тип:

uxy - uxz = 0. (4.10) Запишем соответствующую этому уравнению квадратичную форму K(p, p) = p1p2 - p1pи воспользуемся методом Лагранжа. Суть его состоит в последовательном выделении полных квадратов. В нашем случае K(p, p) не содержит ни одного квадрата. Согласно теории в этом случае рекомендуется вместо p1 и p2 ввести новые промежуточные переменные s1 и s2:

s1 = (p1 + p2) p1 = s1 + s p2 = s1 - ss2 = (p1 - p2) Тогда 1 p1p2 - p1p3 = s2 - s2 - (s1 + s2) p3 = s1 - p3 2 - s2 + p3 2 = 1 2 1 = (p1 + p2 - p3)2 - (p1 - p2 + p3)2.

4 Введем новые переменные квадратичной формы q1 = (p1 + p2 - p3), (4.11) q2 = (p1 - p2 + p3), q3 = p3, в которых она имеет канонический вид 2 2 K(q, q) = q1 - q2 + 0 q3.

Выбор переменной q3 допускает произвол, но ограничен условием det |S| = 0. Из (4.11) находим матрицу S :

p1 = q1 + q2, 1 1 p2 = q1 - q2 + q3, S = 1 -1 p3 = q3, 0 0 и соответствующую линейную замену переменных:

= x + y, = x - y, = y + z.

Преобразуя производные ux = u + u, uxz = u + u, uxy = u - u + u + u - u + u = u + u - u + u, убеждаемся, что уравнение (4.10) принимает канонический вид u - u = 0.

Таким образом, уравнение (4.10) параболического типа.

4.1. Привести уравнение к каноническому виду и определить его тип:

1) uxx + 2uxy - 2uxz + 2uyy + 6uzz = 0 ;

2) 4uxx - 4uxy - 2uyz + uy + uz = 0 ;

3) uxx + 2uxy - 2uxz + 2uyy + 2uzz = 0 ;

4) uxy - uxt + uzz - 2uzt + 2utt = 0 ;

5) uxx + 2uxy - 2uxz - 4uyz + 2uyt + uzz = 0 ;

6) uxx + 2uxz - 2uxt + uyy + 2uyz + 2uyt + 2uzz + 2utt = 0.

4.3. Случай двух независимых переменных Задача о приведении уравнения (4.1) к каноническому виду в области с помощью преобразования независимых переменных при числе переменных n > 2, вообще говоря, может не иметь решения, поскольку n(n-1) на n искомых функций yk(x) накладываются + n - 1 условий, вытекающих из требований kl = 0, k = l, kl = 0, ±1, k = l. И лишь в случае двух переменных для уравнения вида a(x, y) uxx + 2 b(x, y) uxy + c(x, y) uyy + (x, y, u, ux, uy) = 0, (4.12) где, без потери общности, a(x, y) = 0, всегда можно найти новые пере менные = (x, y) и = (x, y), приводящие уравнение к каноническому виду в некоторой области G из области определения уравнения.

Тип уравнения в области G определяется знаком функции d(x, y) = b2(x, y) - a(x, y) c(x, y).

Выбор новых переменных и осуществляется по-разному для каждого из трех возможных случаев.

1. d > 0 гиперболический тип.

Решая два ОДУ (4.13), находим решения этих уравнений и определяем два интеграла. В качестве и возьмем эти интегралы J1 и J2:

dy b + d = (x, y) = J1(x, y), dx a (4.13) dy b - d = (x, y) = J2(x, y).

dx a В новых переменных уравнение (4.12) примет вид u + = 0. Это вторая каноническая форма для уравнения гиперболического типа. С помощью дополнительной замены = +, = - получим u - u + (,, u, u, u) = 0.

Это первая каноническая форма для уравнения гиперболического типа.

2. d = 0 параболический тип.

Решая ОДУ (4.14), находим один интеграл. В качестве возьмем этот интеграл:

dy b = (x, y) = J(x, y), (4.14) dx a а в качестве второй переменной выбираем (x, y) = x. Уравнение (4.12) примет вид u + (,, u, u, u) = 0.

3. d < 0 эллиптический тип.

Решая одно ОДУ (4.15) с комплексными коэффициентами, находим один комплексный интеграл. В качестве и возьмем действительную и мнимую части этого интеграла J(x, y):

dy b + i -d (x, y) = Re J(x, y) = (4.15) (x, y) = Im J(x, y) dx a После преобразований уравнение (4.12) примет вид u + u + (,, u, u, u) = 0.

Легко проверяется, что во всех случаях якобиан преобразования не равен нулю.

Пример. Привести к каноническому виду в области - < x, y < + уравнение Трикоми:

uxx + x uyy = 0. (4.16) Имеем a = 1, b = 0, c = x и d = -x.

Рис. 4.Условие d > 0 x < 0 определяет область G (левую полуплоскость, рис. 4.1). Решая ОДУ, найдем интегралы и, следовательно, новые переменные:

dy = -x = y + (-x) 3 = 2y dx dy = (-x) = - -x = y - (-x) dx Преобразуя производные, получим 1 2 ux = ux + ux = -2u (-x), uxx = -4xu + (-x)- u, uy = uy + uy = 2u, uyy = 4u.

Подставляя их в уравнение (4.16) и выражая x через, получим в области x < u - u + u = 0.

Здесь уравнение Трикоми имеет гиперболический тип.

При d = 0 x = 0, очевидно, имеем uxx = 0 u = 0, т. е.

уравнение имеет параболический тип. Однако множество M = {(x, y) :

x = 0, - < y < +} не является областью и этот случай не имеет физического смысла.

Условие d < 0 x > 0 определяет область G правую полуплоскость (рис. 4.1). Решая ОДУ, находим комплексный интеграл этого уравнения и, следовательно, новые переменные:

= -y, dy 2 = i x J = -y + i x dx = x.

Найденная замена приводит уравнение (4.16) к каноническому виду в области x > 0:

u + u + u = 0.

Здесь уравнение Трикоми имеет эллиптический тип.

Уравнение Трикоми используется в аэродинамике. Смена типа уравнения связана с переходом от дозвуковой скорости полета к сверхзвуковой.

4.2. Привести к каноническому виду уравнения:

1) uxx - yuyy = 0 ;

2) xuxx - yuyy = 0 ;

3) x2uxx + y2uyy = 0 ;

4) 4y2uxx - e2xuyy = 0 ;

5) y2uxx + 2yuxy + uyy = 0 ;

6) x2uxx - 2xuxy + uyy = 0 ;

7) 1 + x2 uxx + 1 + y2 uyy + yuy = 0 ;

8) uxx - 2 sin x uxy + 2 - cos2 x uyy = 0.

Ответы и указания к главе 4.1.

1 1) u + u + u = 0, где = x, = y - x, x - y + z;

2 эллиптический тип.

1 1 2) u - u + u + u = 0, где = x, = x + y, = - x - y + z;

2 2 гиперболический тип.

3) u + u = 0, где = x, = y - x, = 2x - y + z;

параболический тип.

4) u - u + u + u = 0, где = x + y, = -x + y, = z, = y + z + t; гиперболический тип.

5) u - u + u = 0, где = x, = -x + y, = 2x - y + z, = x + z + t; параболический тип.

6) u + u = 0, где = x, = y, = -x - y + z, = x - y + t;

параболический тип.

4.2.

1) u - u + u = 0, где = x, = 2 y в области {y > 0};

u + u - u = 0, где = x, = 2 -y в области {y < 0};

uxx = 0 на линии y = 0.

1 2) u - u - u + u = 0, где = |x|, = |y| в обла 1 сти {x > 0, y > 0} или {x < 0, y < 0}; u + u - u - u = 0, где = |x|, = |y| в области {x < 0, y > 0} или {x > 0, y < 0};

uxx = 0 на линии y = 0; uyy = 0 на линии x = 0.

3) u + u - u - u = 0, где = ln |x|, = ln |y| в области {x = 0, y = 0}; uxx = 0 на линии y = 0; uyy = 0 на линии x = 0.

1 4) u - u + u - u = 0, где = ex, = y2 в области {y = 0};

uyy = 0 на линии y = 0.

5) u - 2u = 0, где = 2x - y2, = y в области {y = 0}; uyy = на линии y = 0.

6) u - u = 0, где = xey, = y в области {x = 0}; uyy = 0 на линии x = 0.

7) u + u - th u = 0, где = ln(x + 1 + x2), = ln(y + 1 + y2) на всей плоскости (x, y).

8) u +u +cos u = 0, где = x, = y -cos x на всей плоскости (x, y).

Глава Решение краевых задач с использованием рядов Фурье 5.1. Краевые задачи для УМФ При изучении физических задач методами математической физики естественно возникает следующий принципиальный вопрос: каким образом при существовании всего лишь трех основных типов ДУ удается успешно описать удивительное многообразие физических явлений в самых различных областях как классической, так и квантовой физики Ответ на этот вопрос в сущности прост: опытным фактом является и то обстоятельство, что для полного описания конкретного физического явления необходимо дополнить эти уравнения некоторыми дополнительными условиями, которые в общем случае принято называть краевыми условиями. Именно многообразие форм и способов задания этих условий в конечном итоге обусловливает возможность адекватного описания удивительного многообразия физических явлений.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.