WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |

Суть его состоит в том, что при последовательном исключении неизвестных на каждом этапе любое новое уравнение анализируется на его тривиальность, т. е. обращение в тождество, что свидетельствует о его линейной зависимости от предыдущих, а также на непротиворечивость, что свидетельствует о несовместности исходной системы уравнений и, значит, ложности предположения о существовании решения.

Пример. Пользуясь рассмотренным выше способом, получим решение уравнения из примера на с. 66:

(x) = µ (x + y + 2xy) (y) dy + ax + b.

-Снова выберем функции pl и ql в виде p1(x) = x, q1(y) = 1 + 2y, (3.33) p2(x) = 1, q1(y) = y, тогда элементы матрицы K имеют значения (3.14). Вычислим столбец -(f, q):

(f, q1) = (at + b) (1 + 2t) dt = (2a + 3b), -(f, q2) = (at + b) t dt = a.

-Система уравнений (3.32) примет вид 1 - µ -2µ 1 2a + 3b = µ. (3.34) -2 µ 1 2 a Найдем определитель матрицы системы 4 1 - µ -2µ = = 1 - µ - µ2. (3.35) -2 µ 3 Особыми значениями параметра µ, при которых = 0, являются 3 µ1 = - и µ2 =.

2 3 При µ = -, решения (3.34) можно найти по правилу Крамера:

2 1 µ (2a + 3b) -2µ 1 =, 1 = = µ (2a + 3b + 2aµ) ;

µ a 4 1 1 - µ µ (2a + 3b) 3 2 =, 2 = = µ (a + 2bµ).

-2 µ µ a 3 Тогда 2 (2a + 3b + 2aµ) x + a + 2bµ (x) = ax + b + µ · = 4 1 - µ - µ3 3 (a + 2bµ) x + 2aµ + 3b - 4bµ =. (3.36) (3 + 2µ)(1 - 2µ) Это выражение совпадает с (3.27).

При µ = µ1 = - система (3.34) принимает вид 3 3 1 2a + 3b = -. (3.37) 1 1 2 a Решение существует, только если все миноры расширенной матрицы порядка 2 равны нулю:

3 -2a - 3b = -a + 3b = 0 a = 3b. (3.38) 1 -a При этом условии оба уравнения в системе (3.37) дают -3b-C 1 + 2 = -3b =. (3.39) C Следовательно, (x) = 3 b x + b + (-3b - C) x + C = b + C (1 - x). (3.40) Заменой произвольной постоянной C = C - b это выражение можно привести к виду (3.28).

При µ = µ2 = имеем -1 1 2a + 3b =. (3.41) -1 1 2 a Рассматривая миноры расширенной матрицы, получим, что решение существует, только если a = -b. При этом условии 3C+b = (x) = b + C (1 + 3x). (3.42) C К виду (3.29) это выражение можно привести заменой произвольной постоянной C = C - b.

3.4. Решить интегральные уравнения:

1) (x) = µ x4 + 5x3y (y) dy + x2 - x4 ;

-2) (x) = µ x2 - xy (y) dy + x3 + x ;

-3) (x) = µ 2xy3 + 5x2y2 (y) dy + 7x4 + 3 ;

- 4) (x) = µ sin(2x + y) (y) dy + - 2x ;

5) (x) = µ cos(2x + y) (y) dy + sin x ;

2x 6) (x) = µ [ sin y + y cos x] (y) dy + 1 -.

3.5. Решить интегральные уравнения при всех значениях параметров a и b, входящих в свободный член этих уравнений:

/1) (x) = µ ( y sin x + cos y) (y) dy + ax + b ;

-/2) (x) = µ 3x + xy - 5x2y2 (y) dy + ax ;

- 3) (x) = µ ( x sin y + cos x) (y) dy + ax + b ;

4) (x) = µ (x cos y + sin x sin y) (y) dy + a + b cos x.

3.5. Случай малых значений параметра В случае малых значений параметра решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода сводится к решению задачи о неподвижной точке сжимающего отображения.

Параметр µ считается малым, если |µ| <, (3.43) где норма интегрального оператора Фредгольма. Норму симметричного оператора Фредгольма, если известны его собственные значения, можно найти из соотношения = max |k|. В остальных слуk чаях, поскольку для нормы оператора справедлива оценка K, b b где K = K2(x, y) dxdy, всегда можно использовать более сильa a ное достаточное условие |µ| <. (3.44) K В итоге при малых µ решение уравнения (3.1) всегда существует, единственно и его можно записать в виде b (x) = f(x) + µ R(x, y; µ) f(y) dy, (3.45) a где функция R(x, y; µ), резольвента ядра K(x, y), имеет вид R(x, y; µ) = µlKl+1(x, y) = K1(x, y) + µK2(x, y) + µ2K3(x, y)..., l=(3.46) а повторные ядра Kn(x, y) вычисляются по формулам K1(x, y) = K(x, y), b b (3.47) Kn(x, y) = K(x, t) Kn-1(t, y) dt = Kn-1(x, t) K(t, y) dt.

a a Для однородного уравнения, f(x) = 0, очевидно, имеем только тривиальное решение: (x) = 0.

Фактически построение решения сводится к установлению критерия малости, последовательному вычислению повторных ядер, нахождению резольвенты посредством точного и приближенного суммирования ряда (3.46) и, наконец, вычислению интеграла в (3.45).

Пример. Решим этим способом интегральное уравнение (3.24).

Прежде всего найдем критерий малости. В данном случае (см. пример в разд. 3.2) = max |k| = 2, и согласно (3.43), имеем |µ| < 0.5.

k Для сравнения критерий (3.44) приводит к более сильному условию:

|µ| < 3/ 40 0.47. Таким образом, все дальнейшие вычисления справедливы при |µ| < 0.5.

Вычислим несколько первых повторных ядер:

K1(x, y) = K(x, y) = x + y + 2xy, K2(x, y) = (x + t + 2xt) (t + y + 2ty) dt = (3.48) -4 2 4 = (x + y + 2xy) + + 2xy = K(x, y) + + 2xy, 3 3 3 4 K3(x, y) = K2(x, y) + (1 + 3xt) (t + y + 2ty) dt = 3 -4 = K2(x, y) + K1(x, y).

3 Используя метод полной математической индукции, убеждаемся в справедливости рекуррентного соотношения:

4 Kl+1(x, y) = Kl(x, y) + Kl-1(x, y), l = 2, 3,.... (3.49) 3 Можно показать, что его существование обусловлено вырожденностью ядра K(x, y). Имея подобное рекуррентное соотношение, всегда можно найти резольвенту в явном виде. Опуская аргументы у функций, запишем R = µlKl+1 = K1 + µK2 + µl (Kl + Kl-1). (3.50) l=0 l=Преобразуем суммы:

µlKl = µ µl-1Kl = µ µl Kl +1 = µ (R - K), l=2 l=2 l = µlKl-1 = µ2 µl-2Kl-1 = µ2 µl Kl +1 = µ2R.

l=2 l=2 l =В итоге получим уравнение для отыскания R 2 4 4 R = K + µ (1 + 3xy) + µK + µ (R - K) + µ2R. (3.51) 3 3 3 Таким образом, получаем явное выражение для резольвенты K(x, y) + µ (1 + 3xy) 3K(x, y) + 2µ (1 + 3xy) R(x, y; µ) = =. (3.52) 4 (3 + 2µ) (1 - 2µ) 1 - µ - µ3 Используя это выражение, можно получить по формуле (3.45) решение ИУ для любого свободного члена (подчеркнем при малых значениях параметра). В частности, для f(x) = ax+b получается найденное ранее решение (3.27).

На полученное для резольвенты выражение полезно взглянуть с другой точки зрения. Если разложить резольвенту как функцию параметра на простые дроби с помощью хорошо известного метода неопределенных коэффициентов, то получим для нее другое выражение:

(3x + 1) (3y + 1) 1 (x - 1) (y - 1) R(x, y; µ) = · - ·. (3.53) 4 1 - 2µ 4 1 + µ Отсюда легко заметить, что в нашем примере суммирование ряда (3.46) фактически можно свести к суммированию двух бесконечно убывающих геометрических прогрессий с показателями q1 = 2µ, q2 = -2µ (критерий малости гарантирует сходимость). Разумеется, обнаружить этот факт при вычислении нескольких первых повторных ядер непросто, что лишний раз подчеркивает неконструктивность определения предела последовательности (в данном случае последовательности частичных сумм степенного ряда) в математическом анализе. В общем случае симметричного ядра Фредгольм доказал, что резольвента, как функция параметра µ, имеет не более чем счетное множество вещественных полюсов первого порядка (для вырожденного ядра это число конечно).

Для иллюстрации рассмотрим на нашем примере иной способ построения резольвенты в предположении о наличии двух полюсов:

A1(x, y) A2(x, y) R(x, y; µ) = +. (3.54) 1 - q1µ 1 - q2µ Здесь числа q1, q2 и функции A1, A2 необходимо определить по известным повторным ядрам. Разлагая правую часть в степенные ряды (при условии малости параметра µ) и сравнивая с (3.46), получим следующую систему уравнений для нахождения неизвестных величин:

k k q1A1 + q2A2 = Kk+1, k = 0, 1,.... (3.55) Это нелинейная система уравнений, но простая ее структура позволяет построить явное решение. Последовательно исключая неизвестные, получим следующую цепочку уравнений:

K2 - q2K1 K3 - q2KA2 = A1 - K1, A1 =, q1 =, (3.56) q1 - q2 K2 - q2Kи наконец для отыскания q2 получим квадратное уравнение 2 2 K2 - K3K1 q2 - (K3K2 - K4K1) q2 - K4K2 - K3 = 0. (3.57) Преобразуем с учетом (3.49):

4 4 K3K2 - K4K1 = (K2 + K1) K2 - (K3 + K2) K1 = K2 - K3K1, 3 3 4 4 4 2 2 2 K4K2 - K3 = (K3 + K2) K2 - K3 = K2 - K3 (K3 - K2) = K2 - K3K1.

3 3 3 (3.58) После сокращения получим 4 q2 - q2 - = 0. (3.59) 3 Решая, имеем корни (q2)1 = 2, (q2)2 = -2. Это и есть q1 и q2 вследствие симметрии исходных уравнений. Отсюда 4 2 K1 + + 2xy + K(3x + 1) (3y + 1) 3 3 A1 = =, (3.60) 1 (x - 1) (y - 1) A2 = x + y + 2xy - (1 + 9xy + 3x + 3y) = -.

4 Таким образом, мы получили прежнее выражение для резольвенты, используя только явные выражения для первых четырех повторных ядер (по числу неизвестных). Обобщение очевидно, но ясно, что возникнут трудности с решением алгебраических уравнений высоких степеней. Справедливости ради следует отметить, что эти же трудности возникают при стандартном способе решения ИУ с вырожденным ядром.

Резольвента содержит и более богатую информацию. В общей теории ИУ с симметричным ядром доказывается теорема Гильберта Шмидта, из которой следует, что каждое слагаемое в резольвенте имеkk(x) k(y) ет вид, где k собственное значение (не равное нулю), 1 - µk k(x) соответствующая нормированная собственная функция оператора Фредгольма. Следовательно, в нашем примере 1 = q1 = 2, 1 1(x) = (3x + 1) и 2 = q2 = -2, 2(x) = (x - 1). Далее, как 3 следствие этой теоремы, имеем 2 = K, что в нашем случае дает k k= K =, что и было получено в самом начале.

Если теперь, используя резольвенту, по формуле (3.45) записать общий вид решения, то получим (f, k) µk (x) = f(x) + k(x), 1 - µk k=что в точности совпадает с выражением (3.23).

Здесь возникает один принципиальный вопрос: так как резольвента была построена с учетом малости параметра, то можно ли ее рассматривать за пределами этого интервала (в данном случае |µ| < ) Положительный ответ на этот вопрос можно найти в теории функций комплексного переменного, опираясь на принцип аналитического продолжения. Применительно к нашему случаю этот принцип утверждает, что, имея два выражения для некоторой функции параметра µ (а именно исходный степенной ряд и его сумму в виде рациональной функции), которые совпадают на некотором интервале вещественной оси, можно второе выражение продолжить на всю комплексную плоскость (причем единственным образом), в том числе и на все точки вещественной оси, для которых эта функция не имеет особенностей. Это означает, что резольвента определена для всех значений параметра µ (в нашем примере кроме µ =, -3 ). Что касается продолжения решения, то здесь в игру 2 вступает свободный член f(x). Он может уничтожить особенность в точке µ = 1/k, если (f, k) = 0, и тогда, в соответствии с общей теорией линейных неоднородных уравнений, к решению следует добавить с произвольными коэффициентами решения соответствующего однородного уравнения, т. е. собственные функции. Это как раз и приведет в нашем примере, при f(x) = ax + b, в точности к тем результатам, которые были получены в п. 3.3.

3.6. Найти резольвенту R(x, y; µ) следующих интегральных уравнений:

1) (x) = µ sin(x + y) (y) dy + f(x) ;

2) (x) = µ (1 - y + 2xy) (y) dy + f(x) ;

- 3) (x) = µ (x sin y + cos x) (y) dy + f(x) ;

4) (x) = µ (sin x sin y + sin 2x sin 2y) (y) dy + f(x).

Ответы и указания к главе 3.1.

1) 1 = -, 1(x) = (sin x - cos x);

2,3 =, 2(x) = (sin x + cos x), 3(x) = 1.

1 2) 1 = -, 1(x) = sin 2x; 2 =, 2(x) = cos 2x;

2 3 = 2, 3(x) = 1.

2 15 2 3) 1 = -, 1(x) = x2-1 ; 2 =, 2(x) = 5x2-1.

3 8 3 2 1 8 4) 1 =-, 1(x)= 3x2/5-x-2/5 ; 2 =, 2(x)= 3x2/5+x-2/5.

3 2 3 5) 1,2 = -, 3,4 = ;

2 1 1(x) = (sin x - sin 4x), 2(x) = (sin 2x - sin 3x);

1 3(x) = (sin x + sin 4x), 4(x) = (sin 2x + sin 3x).

3.2.

5 (7 + 2µ) 3 1) (x) = x2 + x4, если µ = и µ = ;

7 (5 - 2µ) 2 25 3 (x) = Cx + x2 + x4, если µ = ; если µ =, решений нет.

7 2 2µ 5x1/3 + 6µ 2) (x) = 1 - 6x2 +, если µ = ± ;

12µ2 - 5 если µ = ±, решений нет.

3x 1 3 3) (x) =, если µ =, µ = и µ = ;

3 - 8µ 8 8 3x 1 3x (x) = C1 +, если µ = ; (x) = C2 3x2 - 1 -, если µ = ;

2 8 2 если µ =, решений нет.

sin x 1 4) (x) =, если µ = и µ = ;

1 - µ 3 1 (x) = sin x + C cos 2x, если µ = ; если µ =, решений нет.

2 5) (x) = cos 3x, если µ = ;

(x) = cos 3x + C1 cos x + C1 cos 2x, если µ =.

2 2 6) (x) = + cos 4x, если µ = и µ = ;

2 - µ (x) = -1 + cos 4x + C1 cos 2x + C2 sin 2x, если µ = ;

если µ =, решений нет.

3.3.

2 (a - 2bµ) 2 1) (x) = b + sin x, если µ = ± ; если µ =, то 2 + µ a - 4b (x) = b+ sin x+C cos x; если µ = -, то решение существует 4b только при a = - : (x) = b + C sin x.

3b 2aµ + 3c 1 3 2) (x) = ax2 + x+, если µ =, µ = ; если µ =, 3 - 2µ 3 (1 - 2µ) 2 2 a 3b то решение существует только при c = - : (x) = ax2 + x + C1;

3 если µ =, то решение существует только при b = 0:

(x) = ax2 + C2x - (a + c).

ax2 + bx 1 3) (x) =, если µ = ; если µ =, то решение существует 1 - 2µ 2 только при a = 0 и b = 0: (x) = C1x + C2x2.

7b + 30aµ 1 4) (x) = ax + x1/3, если µ = ; если µ =, то решение 7 (1 - 6µ) 6 существует только при b = - a: (x) = ax + C1x1/3 + C2x2/3.

3.4.

5 (2µ - 3) 1 1) (x) = x4 + x2, если µ = и µ = ;

3 (5 - 2µ) 2 5 1 (x) = x2 + Cx3 - x4, если µ = ; если µ =, решений нет.

6 2 3 (5 - 2µ) 2) (x) = x3 + x, если µ = ± ;

5 (3 + 2µ) 1 3 (x) = x3 + Cx2 - x, если µ = ; если µ = -, решений нет.

5 2 20µ 1 3) (x) = 7x4 + 3 + x2, если µ = и µ = ;

1 - 2µ 2 50 5 (x) = 7x4 + 3 + Cx - x2, если µ = ; если µ =, решений нет.

3 4 12µ 3 3 4) (x) = - 2x + sin 2x, если µ = - и µ = ; если µ = -, 3 - 4µ 2 4 то (x) = - 2x - 2 sin 2x + C cos 2x; при µ = решений нет.

3µ 3 5) (x) = sin x + 2µ cos 2x + sin 2x, если µ = ± ;

8µ2 - 9 2 если µ = ±, решений нет.

2 2x 2µ 1 6) (x) = 1 - - cos x, если µ = ± ; если µ =, то 6 (1 + 2µ) 2 4 2x (x) = - + C 8 + 2 cos x ; если µ = -, решений нет.

3 b a3µ 1 3.5. 1) (x) = ax + + sin x, если µ = ; если µ =, 1 - 2µ 1 - 2µ 2 то решение существует только при a = 0 и b = 0: (x) = C1 sin x + C2.

3a 1 3 2) (x) = x, если µ = -, µ = ; если µ =, то решение 3 - 2µ 2 2 существует только при a = 0: (x) = C2x ; если µ = -, то 3a (x) = x + C1 3x - 4x2.

a 1 3) (x) = x + b + 2bµ cos x, если µ = ; если µ =, то 1 - 2µ 2 решение есть только при a = 0: (x) = b (1 + cos x) + Cx.

22bµ2 1 4) (x) = a + b cos x + bµx + sin x, если µ = ; если µ =, 1 - µ то решение есть при b = 0 и любом a: (x) = a + C sin x.

3.6.

µ sin(x + y) + cos(x - y) 1) R(x, y; µ) =.

µ 1 1 - 3y 6 (1 + x) y 2) R(x, y; µ) = +.

1 - 2µ 3 - 4µ x sin y 3) R(x, y; µ) = cos x +.

1 - 2µ sin x sin y + sin 2x sin 2y 4) R(x, y; µ) =.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.