WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 13 |

Граничные условия примут вид u|=a = 0, u|=b = 0.

zmk Ответ. mk =, m = 0, ±1, ±2..., k = 1, 2..., где zmk a b b k-й корень уравнения J|m|(z) Y|m| z - J|m| z Y|m|(z) = 0;

a a umk(, ) = Nmk eim Y|m|(zmk) J|m| zmk - J|m|(zmk) Y|m| zmk, a a b b 2 z0k J0(z0k a) zmk J|m|(zmk a) где N0k =, Nmk =.

b b 2 2 2a J|m|(zmk) - J|m|(zmk a) 2a J0 (z0k) - J0 (z0k a) 2.7. Указание. Граничные условия имеют вид X(0) = X(a) = 0, Y (0) = Y (b) = 0, Z(0) = Z(c) = 0.

k l 2 m Ответ. klm = + +, k, l, m = 1, 2,...;

a b c 8 kx ly mz uklm(x, y, z) = sin sin sin.

a b c a b c n 2 zmk 2 n 2.8. 00n =, mkn = +, где zmk k-й корень h a h уравнения J|m|(z) = 0; m = 0, ±1,..., k = 1, 2,..., n = 0, 1, 2,...;

1 2 z umkn(,, z) = umk(, ) Zn(z), где Z0(z) =, Zn(z) = cos, h h h umk(, ) собственные функции задачи 2.4.

xlk 2.9. 00 = 0, lk =, где xlk k-й корень уравнения jl (x) = 0;

a 3 r u000(r,, ) =, uklm(r,, ) = Nlk jl xlk Ylm(, ), где 4a3 a 2 xlk Nlk =, k = 1, 2..., l = 0, 1, 2..., -l m l.

a3 (x2 -l(l+1)) |jl(xlk)| lk Глава Интегральные уравнения 3.1. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода Физические задачи часто приводят к необходимости рассмотрения и решения интегральных уравнений (ИУ) специального вида уравнений Фредгольма 2-го рода, изучением которого мы и ограничимся.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид b (x) = µ K(x, y) (y) dy + f(x). (3.1) a Неизвестной здесь является функция (x), которая входит и под знак интеграла; заданными считаются ядро K(x, y) L2 ([a, b] [a, b]) и свободный член f(x) L2[a, b]. Параметр µ может иметь определенное значение либо уравнение требуется решить при всех возможных значениях µ R. Если f(x) = 0, то ИУ называется однородным, в противном случае неоднородным. Решить ИУ означает найти все его решения для любых вещественных µ или доказать, что решений нет.

Важную роль в решении ИУ играет линейный интегральный оператор Фредгольма : L2[a, b] L2[a, b], который определяется следующим образом:

b def (x) = (x) = K(x, y) (y) dy, (3.2) a где K(x, y) L2 ([a, b][a, b]). Оператор вполне непрерывный (следовательно, непрерывный и ограниченный). Он, вообще говоря, не является неотрицательным и является симметричным, если его ядро является симметричной функцией своих аргументов: K(x, y) = K(y, x).

3.2. Задача на собственные значения для интегрального оператора Фредгольма с симметричным ядром Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора :

(x) = (x), b (3.3) (x) 0, = 2(x) dx = 1.

a Для произвольного оператора Фредгольма не существует алгоритма явного построения решения этой задачи, однако для операторов специального вида такой алгоритм может быть указан. А именно, предположим, что ядро оператора вырождено. Это означает по определению, что оно может быть представлено в виде n K(x, y) = pl(x) ql(y), (3.4) l=где pl(x) L2[a, b], ql(y) L2[a, b] и системы {pl(x)}n и {ql(y)}n l=1 l=линейно-независимы. При выборе функций pl(x) и ql(y) имеется большая степень произвола, но результат решения задачи от этого произвола не зависит. Подстановка этого ядра в уравнение на собственные значения дает n b pl(x) ql(y)(y) dy = (x). (3.5) a l=Отсюда следует, что если = 0, то решение, если оно существует, обязательно имеет вид n (x) = ckpk(x), (3.6) k=где ck пока еще неопределенные коэффициенты. Случай = 0, как мы увидим далее, не представляет интереса. Решением в этом случае является любая функция, ортогональная ко всем функциям {ql(y)}n.

l=В дальнейшем полагаем, что = 0.

Для нахождения коэффициентов {ck}n подставим найденный вид k=решения в исходное уравнение и воспользуемся свойством линейной независимости функций {pl(x)}n. Тогда получим алгебраическую заl=дачу на собственные значения:

(K - E) c = 0, (3.7) c = 0.

Здесь E единичная матрица, c столбец неизвестных {ck}n, а k=элементы матрицы K вычисляются по формуле b Klm = (ql, pm) = ql(t) pm(t) dt. (3.8) a Условием существования нетривиального решения, c = 0, однородной системы (3.7) является равенство нулю ее определителя:

det| K - E| = 0. (3.9) Это уравнение n-го порядка относительно имеет n корней: 1,... n (среди которых могут быть и кратные). Они и будут собственными значениями оператора.

Для произвольного вырожденного ядра нет гарантии того, что удачным выбором функций pl(x) и ql(y) можно добиться симметричности матрицы K. Значит, как это следует из линейной алгебры, в этих случаях алгебраическая задача на собственные значения не допускает решения в полном объеме. Попросту говоря, произвольную квадратную матрицу диагонализовать невозможно.

Иная ситуация в случае симметричного ядра. Всегда можно выбрать функции pl(x) и ql(y) так, чтобы матрица K была симметричной; следовательно, задача (3.7) всегда имеет решение. Поскольку результат решения, как уже отмечалось выше, не зависит от этого выбора, делать его необязательно, важен сам факт существования такого выбора.

Заметим также, что симметричность оператора гарантирует, что все k вещественные. Подставляя каждое k в систему (3.7), найдем (1) (2) (n) c, c,... c ; тогда собственные функции оператора будут иметь вид n (k) k(x) = cl pl(x). (3.10) l=Если собственное значение k невырожденное, то ранг матрицы(K-E) равен n - 1. Это означает, что одно из уравнений однородной системы является линейной комбинацией остальных и, значит, без ущерба может быть отброшено, что упрощает решение оставшихся уравнений. В этом случае k(x) будет содержать одну произвольную постоянную, которую можно определить из условия нормировки: = 1. Если кратность вырождения собственного значения равна : k = k =... = 1 = k, то решение системы (3.7) при = k будет содержать произ i вольных постоянных. Если с целью дальнейшего использования нужно построить в подпространстве гильбертова пространства L2[a, b], где = 0 базис, то их следует выбирать так, чтобы собственные функции k, k,... k были ортогональными (следовательно, линейно незави1 симыми) и нормированными. Для этого иногда требуется использовать процедуру ортогонализации по Шмидту.

В заключение напомним основные свойства решений задачи на собственные значения для симметричного оператора Фредгольма. Собственные значения k [ -, + ], где норма оператора Фредгольма:

= max = max |k|. (3.11) k =Собственные значения k сгущаются к точке 0. Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям автоматически ортогональны, а в случае вырождения могут быть выбраны ортогональными, т. е. образуют базис.

Пример. Найдем собственные значения и собственные функции интегрального оператора с симметричным ядром (x) = (x + y + 2xy) (y) dy (3.12) -в пространстве L2[-1, 1].

Выберем функции pl и ql в виде p1(x) = x, q1(y) = 1 + 2y, (3.13) p2(x) = 1, q1(y) = y.

Вычислим элементы матрицы K:

1 K11 = (1 + 2t) t dt =, K12 = (1 + 2t) dt = 2, -1 -(3.14) 1 K21 = t2 dt =, K22 = t dt = 0.

-1 -Запишем систему уравнений (3.7):

- 2 c1 =. (3.15) - c2 Для отыскания нетривиального решения приравняем нулю определитель этой системы и найдем собственные значения:

4 4 - = 2 - - = 0 1 = -, 2 = 2. (3.16) 3 3 Подставляя 1, а затем 2 в систему (3.15) и оставляя лишь одно уравнение, найдем собственные функции.

= 1 = - (3.17) -(1) 2c1 + 2c2 = 0 c = C, где C – произвольная постоянная, 1(x) = C (1 - x) ; 1(x) = 1 1(x) = (1 - x).

= 2 = 2 (3.18) (2) - c1 + 2 c2 = 0 c = C, где C – произвольная постоянная, 2(x) = C (3x + 1) ; 2(x) = 1 2(x) = (1 + 3x).

Легко проверить непосредственной подстановкой, что найденные собственные функции удовлетворяют уравнению на собственные значения, а также, что (1, 2) = 0. Напомним, что выбор функций pl(x) и ql(x) неоднозначен, однако при любом выборе собственные значения и собственные функции получатся одинаковыми. Норма оператора = 2.

Функции 1(x), 2(x) образуют часть базиса в L2[-1, 1], остальные k(x) соответствуют = 0.

3.1. Найти отличные от нуля собственные значения и соответствующие собственные функции следующих интегральных операторов:

1) (x) = sin(x + y) + (y) dy ;

2) (x) = cos2(x + y) + (y) dy ;

3) (x) = 5x2y2 - 1 (y) dy ;

2/5 2/x y 4) (x) = + (y) dy ;

y x (x) = (sin x sin 4y + sin 2x sin 3y + sin 3x sin 2y + 5) + sin 4x sin y) (y) dy.

3.3. Решение интегральных уравнений с симметричным ядром В случае симметричного ядра система собственных функций для интегрального оператора Фредгольма, согласно теореме Гильберта, является базисом в L2[a, b] и решение интегрального уравнения (3.1) ищется в виде разложения по собственным функциям оператора.

Пусть {k} и {k(x)} собственные значения и собственные функции оператора. Предположим, что решение существует, и будем искать его в виде ряда Фурье:

(x) = ck k(x), (3.19) k=где ck коэффициенты Фурье, которые еще нужно найти. Подставляя этот вид решения в ИУ и используя линейную независимость базисных функций, получим уравнения для ck :

(1 - µk) ck = (f, k), k. (3.20) Отсюда следует (f, k), если µ =, 1 - µk k ck = Ck – произвольная постоянная, если µ = и (f, k) = 0.

k (3.21) В случае если µ = 1/k и (f, k) = 0, решения не существует. Действи тельно, соотношение (3.20) в этом случае является противоречивым:

0 · ck = (f, k) = 0, и, поскольку оно было получено в предположении, что решение существует, противоречие означает, что решения на самом деле нет.

В случае вырождения k c кратностью pk второе условие в (3.21) нужно сформулировать так: если µ = 1/k и все (f, k ) = 0, где m k (x), m = 1,... pk собственные функции, принадлежащие данному m собственному значению k. Соответственно и различных произвольных постоянных Ck будет pk штук.

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в предполагаемый вид решения, имеем при µ = 1/k (f, k) (x) = k(x). (3.22) 1 - µk k=Однако эта формула имеет существенный недостаток: необходимо знать все собственные функции, включая отвечающие вырожденному случаю = 0. Однако, как следует из рассмотрения в предыдущем разделе, даже в случае вырожденного ядра явно найти эти функции не удается.

К счастью, как показано в теории, выражение для (x) можно записать и в таком виде:

(f, k) µk (x) = f(x) + k(x). (3.23) 1 - µk k=Структура этой формулы такова, что слагаемые, отвечающие =k =0, из-за появления этой величины в числителе автоматически зануляются и вопрос о явном виде собственных функций для = 0 снимается.

Ситуацию, связанную со второй возможностью для ck в (3.21), сформулируем в виде следующего мнемонического правила : при µ = 1/k и всех (f, k ) = 0 следует сомножители перед собственными функциm ями k (x) заменить на произвольные константы Cm.

m Таким образом, при µ = 1/k решение существует, единственно и дается формулой (3.23). Если µ = 1/k и все (f, k ) = 0, то решений m бесконечно много: формула (3.23) содержит pk произвольных постоянных. Если µ = 1/k, но (f, k) = 0, то решение не существует.

Формула (3.23) справедлива и для однородного уравнения (при f(x) = 0). Ясно, что в случае µ = 1/k, k, решение существует, единственно и тривиально: (x) = 0. Если же µ = 1/k, то так как (f, k) = 0, решение существует и имеет вид линейной комбинации собственных функций для k с произвольными коэффициентами, т. е.

не единственно.

Пример. Найдем решение следующего интегрального уравнения:

(x) = µ (x + y + 2xy) (y) dy + ax + b. (3.24) -Интегральный оператор этого уравнения рассматривался в примере из предыдущего раздела. Воспользуемся полученными там результатами для задачи на собственные значения:

2 3 1 = -, 1(x) = (1 - x) ; 2 = 2, 2(x) = (1 + 3x).

3 8 (3.25) Вычислим скалярные произведения (f, k):

3 2 (f, 1) = (at + b) (1 - t) dt = (3b - a), 8 3 -1 (f, 2) = (at + b) (1 + 3t) dt = 2 (a + b).

8 -3 При µ = -, запишем решение, пользуясь (3.23):

2 2 3 (3b-a) µ(-2) 2 (a+b) µ 3 8 3 3 8 (x) = ax+b+ (1-x)+ (1+3x).

8 1 - µ 2 1 - µ(-2) (3.26) Проводя очевидные упрощения, можно получить (2a + 2aµ + 3b) x + a + 2bµ (x) = ax + b + 2µ = (3 + 2µ)(1 - 2µ) 3 (a + 2bµ) x + 2aµ + 3b - 4bµ =. (3.27) (3 + 2µ)(1 - 2µ) При µ = - решение существует, только если (f, 1) = 0, т. е. если a = 3b, и имеет вид 2 (3b + b) (-3) 8 2 (x) = 3bx + b + C (1 - x) + (1 + 3x) = 1 - (-3) = b (1 + 3x) + C (1 - x). (3.28) При µ = решение существует, только если (f, 2) = 0, т. е. если a = -b, и имеет вид 2 3 (3b + b) (-2) 3 8 2 3 (x) = -bx + b + (1 - x) + C (1 + 3x) = 1 - (-2) 2 = b (1 - x) + C (1 + 3x). (3.29) 3.2. Решить интегральные уравнения с симметричным ядром с помощью задачи на собственные значения для оператора Фредгольма:

1) (x) = µ xy + x2y2 (y) dy + x2 + x4 ;

-2) (x) = µ x1/3 + y1/3 (y) dy + 1 - 6x2 ;

-3) (x) = µ 5 + 4xy - 3x2 - 3y2 + 9x2y2 (y) dy + x ;

-4) (x) = µ (sin x sin y + 3 cos 2x cos 2y) (y) dy + sin x ;

5) (x) = µ (cos x cos y + cos 2x cos 2y) (y) dy + cos 3x ;

6) (x) = µ cos2(x - y) (y) dy + 1 + cos 4x.

3.3. Решить интегральные уравнения при всех значениях параметров a, b, c, входящих в свободный член этих уравнений:

1) (x) = µ cos(x + y) (y) dy + a sin x + b ;

2) (x) = µ (1 + xy) (y) dy + ax2 + bx + c ;

-3) (x) = µ 3xy + 5x2y2 (y) dy + ax2 + bx ;

-4) (x) = µ 5(xy)1/3 + 7(xy)2/3 (y) dy + ax + bx1/3.

-3.4. Случай произвольного вырожденного ядра В случае произвольного, симметричного или несимметричного, вырожденного ядра, имеющего вид (3.4), ИУ запишется в виде n (x) = µ pl(x) (ql, ) + f(x). (3.30) l=Отсюда следует, что если решение существует, то оно имеет вид n (x) = f(x) + l pl(x), (3.31) l=где l коэффициенты, которые еще нужно найти. Подставляя (3.31) в предыдущее уравнение и используя свойство линейной независимости pl(x), находим, что l являются решениями линейной неоднородной системы алгебраических уравнений:

-(E - µK) = µ (f, q), (3.32) b -где (f, q)i = (f, qi) = f(t) qi(t) dt; E единичная матрица, а элеa менты матрицы K заданы выражениями (3.8).

В зависимости от параметра µ определитель системы det| E - µ K| может быть равен или не равен нулю. Если det| E - µ K|=0, то реше ние системы (3.32) существует и единственно, при этом для однородного уравнения оно тривиально: (x)=0. При det| E - µ K|=0 решение либо не существует, если ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы, либо содержит произвольные постоянные, если ранги равны.

Вычислять ранги матриц для n > 2 довольно утомительная процедура, и лучше использовать метод оптимального исключения Гаусса.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.