WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |

Другая проблема связана с областью изменения угловой переменной. Часто встречающиеся условия [0, 2) или [-, ) не совсем корректны, так как данные множества не являются областями и к тому же без всяких на то оснований выделяются углы = 0 или =.

Поступим иначе. Будем считать (-, +), но при этом потребуем однозначности всех рассматриваемых функций при изменении угловой переменной на любое целое число поворотов на угол 2:

f( + 2p) = f() p Z,. (2.37) Легко видеть, что это условие можно заменить на условие f( + 2) = f(),, которое обычно называют условием периодичности.

Учитывая связь между функциями в декартовых и полярных координатах u(x, y) = u( cos, sin ) = (, ) = ((x, y), (x, y)), (2.38) произведем замену переменных в уравнении. Для этого необходимо выразить вторые производные по x и y через производные по и.

Находим последовательно x = x + x, (2.39) xx = 2 + 2 x x + 2 + xx + xx.

x x Выражения для y и yy получаются путем замены x y. Теперь нужно вычислить частные производные функций (x, y) и (x, y). При вычислении частных производных (x, y) возникает нюанс. Обычно y y вместо tg = записывают = arctg, и тогда производные легко x x находятся (и ответ правильный). Однако второе соотношение по определению функции arctg x справедливо лишь для (-/2, +/2).

Проще и правильнее поступить так. Найдем дифференциал первого выражения:

1 1 y d = dy - dx. (2.40) cos2 x xОтсюда y cos2 y cos2 x 2xy x = - = -, y = =, xx = -yy =.

x2 2 x 2 Подставляя найденные частные производные и приводя подобные, получим 2 1 1 xx + yy =, = + +. (2.41) 2 2 Задача (2.34) принимает вид 2 1 1 - + + (, ) = (, ), 2 2 (a, ) = 0, (2.42) (, + 2) = (, ),, 0, = 1.

Полагая (, ) = R() (), разделим переменные в (2.42); для этого домножим уравнение на 2, разделим на R()() и введем константу разделения переменных µ:

() 2R () R () - = 2 + + = µ. (2.43) () R() R() Из граничных условий получим одно условие для радиальной функции:

(a, ) = R(a)() = 0 R(a) = 0. (2.44) Второе условие (в точке = 0) найдем с помощью предельного перехода. Как указывалось выше, должен существовать предел lim u(x, y), x, yи он не должен зависеть от закона стремления x 0, y 0. При переходе к переменным, потребуем, чтобы 0, но при этом угловая переменная принимала любое произвольное, но фиксированное значение. Отсюда получим, что lim R() = R(0) существует и конечен.

Принято записывать это условие в виде R(0) < и называть его условием ограниченности в нуле.

Из условия (, + 2) = (, ),, очевидно, имеем () = = ( + 2),.

Выполнены все условия а – в, и в итоге получаем одномерные задачи на собственные значения для угловой и радиальной функций:

- () = µ (), () = (+2),, (2.45) () 0, = 1 ;

2R () + R () + (2-µ)R() = 0, R(a) = 0, (2.46) R(0) <, R() 0, R = 1.

Для интеграла нормировки получим выражение u = |u(x, y)|2dxdy = |(, )|2 dd = R, (2.47) G G где 2 a = |()|2d, R = |R()|2 d. (2.48) 0 Рассмотрим сначала угловую часть задачи, поскольку (2.45) содержит только один неопределенный параметр µ; если сначала решать уравнение для радиальной функции (2.46) с двумя параметрами и µ, то придется рассмотреть б ольшее число возможностей.

-µ 1. µ < 0. Подставляя общее решение ДУ ()=C1 e- -µ +C2 e в условие 2-периодичности и группируя подобные, получим -µ 2 -µ C1 1 - e- -µ 2 e- -µ + C2 1 - e e = 0,. (2.49) Мы получили линейную комбинацию линейно независимых функций -µ e и e- -µ, которая тождественно равна нулю. Поскольку выражения в скобках в данном случае не обращаются в ноль, тождество (2.49) для всех возможно только при C1 = C2 = 0. Но тогда () 0, следовательно, решения задачи нет.

2. µ = 0. В этом случае () = C1 +C2. Учитывая периодичность, получим C1 = C и C2 = 0. С учетом нормировки, собственная функция для µ0 = 0 имеет вид 0() =. (2.50) 3. µ > 0. Здесь удобно воспользоваться (и так принято в физической литературе) комплексной формой общего решения ДУ:

() = C1 e-i µ + C2 ei µ. (2.51) Используя условие периодичности, получим C1 1 - e-i µ 2 e-i µ + C2 1 - ei µ 2 ei µ = 0. (2.52) Поступая аналогично первому случаю, находим, что (с учетом комплексности экспонент) выражения в скобках обращаются в нуль, и при том одновременно, только при µ = m, где m = 1, 2.... Этот факт проще всего получить, используя формулу Эйлера e±i µ 2 = 1 cos µ 2 ± i sin µ 2 = cos µ 2 = µ = m, m = 1, 2....

sin µ 2 = Константы C1 и C2 остаются произвольными. В качестве двух линейно независимых решений можно взять случаи (-) (-) (-) C1 = N, C2 = 0 m () = N e-im, (2.53) (+) (+) (+) C1 = 0, C2 = N m () = N eim.

Это значит, что собственное значение µm = m2 двукратно вырождено.

(±) Из нормировки находим N =.

Окончательно, собственные функции и собственные значения задачи (2.45) удобно записать в следующем виде:

eim m() =, µm = m2, m = 0, ±1, ±2,.... (2.54) Любая линейная комбинация собственных функций m() и -m() также отвечает собственному значению µm = m2. В частности, можно выбрать вещественные функции 1 (1) 1 (2) 0() =, m () = cos m, m () = sin m, (2.55) µm = m2, m = 0, 1, 2,....

Этот выбор часто используется в математической литературе.

Далее, рассмотрим задачу (2.46). Учитывая, что µ = µm = m2, запишем уравнение для радиальной функции d2 d 2 R() + R() + 2 - m2 R() = 0. (2.56) d2 d Последовательно рассмотрим три случая.

1. < 0Обозначим = - и сделаем замену z =. Тогда для.

R(z) = R( ) = R() d d d d2 d R() = R(z) = R(z), R() = R(z) (2.57) d d dz d2 dzи ДУ принимает вид d2 d z2 R(z) + z R(z) - z2 + m2 R(z) = 0. (2.58) dz2 dz Его частные решения носят название функций Бесселя мнимого аргумента или модифицированных функций Бесселя. Общее решение при z 0 можно записать в виде Rm(z) = C1I|m|(z) + C2K|m|(z). (2.59) Свойства решений уравнения (2.58), а также уравнения (2.63), т. е.

цилиндрических функций или функций Бесселя, подробно обсуждаются в [9, 10]. Необходимо также отметить, что уравнения (2.58) и (2.63) зависят от m2, и, следовательно, их решения (2.59) и (2.64) зависят от |m|. Учитывая это, будем при обсуждении решений радиального уравнения полагать, что m = |m| = 0, 1, 2,....

Модифицированные функции Бесселя Im(z) и Km(z) могут быть представлены в виде рядов m+2k 1 z Im(z) =, (2.60) k!(m+k)! k=m-m-2k z 1 (-1)k(m-k-1)! Km(z) = (-1)m+1Im(z) ln + + 2 2 k! z k=m+2k (-1)m (m+k+1) + (k+1) z +, (2.61) 2 k!(m+k)! k=где (x)= (x)/(x) логарифмическая производная гамма-функции n [9, 10], в частности, (n+1) = - +, = 0.5772... постоянная k k=Эйлера. При m = 0 первую сумму в (2.61) следует полагать равной нулю. Вид функций Im(z) и Km(z) для разных m показан на рис. 2.4.

Поскольку Km(z) расходятся при z 0, то из требования ограниченности решений при 0 следует, что необходимо положить C2 = 0.

Функции Im(z) положительны и монотонно возрастают при z > 0, следовательно, из граничного условия при = a получаем C1 = 0. В итоге при < 0 решений задачи нет.

Рис. 2.2. = 0. Уравнение (2.56) является уравнением Эйлера, которое имеет общее решение R0() = C1 + C2 ln, Rm() = C1 m + C2 -m, m = 0. (2.62) В первом случае, при m = 0, уравнение элементарно интегрируется, а во втором случае решение может быть найдено с помощью подстановки R(). Из ограниченности решений при 0 следует, что C2 = 0;

из граничного условия R(a) = 0 получаем C1 = 0. Снова решений задачи нет.

3. > 0. Сделаем замену переменной: z =, R(z) = R(); задача (2.46) примет вид z2R + zR (z) + z2 - m2 R(z) = 0, (z) R( a) = 0, (2.63) R(0) <.

Уравнение (2.63) уравнение Бесселя; его общее решение для z имеет вид Rm(z) = C1J|m|(z) + C2Y|m|(z). (2.64) Здесь Jm(z) и Ym(z) функции Бесселя порядка m 1-го рода и 2-го рода (функция Неймана) соответственно.

В общем случае разложение в ряд функции Бесселя 1-го рода порядка имеет вид +2k (-1)k z J(z) =, (2.65) k! ( + k + 1) k=где (x) гамма-функция [9, 10]; (m + 1) = m! для целых неотрицательных m (и по определению 0! = 1).

Разложение в ряд функции Бесселя 2-го рода имеет вид m-m-2k 2 z 1 (m-k-1)! Ym(z) = Jm(z) ln - - (2.66) 2 k! z k= m+2k 1 (m+k+1) + (k+1) z - (-1)k.

k!(m+k)! k=Здесь при m = 0 первую сумму следует полагать равной нулю.

Используя представление функций Бесселя в виде ряда, можно получить следующие рекуррентные соотношения:

[zZ(z)] = zZ-1(z), Z-1(z) = Z(z) + Z(z), z (2.67) [z-Z(z)] = -z-Z+1(z), Z+1(z) = Z(z) - Z(z).

z Здесь Z(z) означает J(z) или Y(z).

Рис. 2.Вид функций Бесселя 1-го и 2-го рода для нескольких значений порядка m показан на рис. 2.5. Учитывая поведение Ym(z) при z 0, в (2.64) следует положить C2 = 0. Граничное условие при = a приводит к уравнениям для отыскания собственных значений :

R( a) = 0 Jm( a) = 0. (2.68) Эти трансцендентные уравнения могут быть решены только численно.

Обозначим через zmk k-й (в порядке возрастания) корень уравнения Jm(z) = 0 (рис. 2.5), тогда zmk a = zmk mk =, k = 1, 2,.... (2.69) a Возвращаясь к переменной, запишем радиальную часть собственной функции:

Rmk() = Cmk Jm zmk. (2.70) a Константы Cmk найдем из условия нормировки a a a 2 2 1 = |Rmk()|2 d = Cmk Jm zmk d = Cmk I, a zmk 0 (2.71) где zmk I = Jm(z) z dz. (2.72) Вычислим неопределенный интеграл типа (2.72) для функции Бесселя 1-го рода порядка. Интегрируя по частям, получим J2(z) z dz = z2J2(z) - J(z)J(z) z2 dz. (2.73) Умножим уравнение Бесселя для J(z) на J(z) и найдем z2J (z)J(z) + zJ2(z) + z2 - 2 J(z)J(z) = (2.74) -J(z)J(z) z2 = z2J2(z) - 2J (z).

Отсюда получим J2(z) z dz = z2J2(z) + z2 - 2 J (z). (2.75) Учитывая, что в данной задаче Jm(zmk) = 0, определим константу нормировки:

1 2 I = zmkJm (zmk) |Cmk| =. (2.76) 2 a |Jm(zmk)| Используя соотношения (2.67), можно получить другое выражение для Cmk :

1 2 I = zmkJm+1(zmk) |Cmk| =. (2.77) 2 a |Jm+1(zmk)| Вид некоторых радиальных функций показан на рис. 2.6.

Рис. 2.В итоге для задачи (2.34) собственные значения имеют вид zmk mk =, |m| = 0, 1, 2,..., k = 1, 2,..., (2.78) a где zmk k-й корень уравнения J|m|(z) = 0. Собственные функции могут быть выбраны в комплексной форме:

umk(, ) = Nmk eimJ|m| zmk, m = 0, ±1, ±2.... (2.79) a При m = 0 все собственные значения невырождены, а при m = 0 все mk вырождены двукратно: каждому mk соответствуют две комплексно сопряженные функции с одинаковыми |m| и k.

В математической литературе чаще используют собственные функции при m = 0 в действительной форме:

(1) umk(, ) = 2Nmk Jm zmk cos m, a где m = 1, 2,.... (2.80) (2) umk(, ) = 2Nmk Jm zmk sin m, a Константы нормировки равны 2 N0k =, Nmk =. (2.81) a |J0(z0k)| a |J|m|(zmk)| Можно показать, что собственные функции для различных mk ортогональны (см. задачи 1.17.2 и 1.17.5).

2.4. Решить задачу на собственные значения для оператора Лапласа в круге G = (x, y) : x2 + y2 < a2 :

-u = u, (x, y) G, u = 0, n G u 0, u = 1, u где = n, u производная функции u по внешней нормали n к n границе круга.

2.5. Решить задачу на собственные значения для оператора Лапласа в круговом секторе G = (x, y) : x2 + y2 < a2, x > 0, y > 0 :

-u = u, (x, y) G, u|G = 0, u 0, u = 1.

2.6. Решить задачу на собственные значения для оператора Лапласа в кольце G = (x, y) : a2 < x2 + y2 < b2 :

-u = u, (x, y) G, u|G = 0, u 0, u = 1.

2.4. Оператор Лапласа в криволинейных ортогональных координатах Рассмотрим для определенности 3-мерное пространство. Помимо декартовых координат (x, y, z) координаты точки в этом случае могут задаваться тремя независимыми числами (u, v, w). Производная радиусвектора по какой-либо из координат является касательным вектором к соответствующей координатной линии (см. рис. 2.7). Определим единичный орт eu правилом 2 2 r r x y z = Hu eu, Hu = = + +. (2.82) u u u u u Орт eu направлен по касательной к координатной линии u, и его направление будет разным для различных точек пространства, т. е.

eu = eu(u, v, w). Величина Hu коэффициент Ламе также является функцией координат: Hu = Hu(u, v, w). В точках, где якоби(x, y, z) ан J = не равен нулю, однозначно определены три линей(u, v, w) но независимых вектора: eu, ev, ew локальный базис. Если векторы eu, ev, ew взаимно ортогональны везде, где J = 0, то координаты назы ваются ортогональными.

Рис. 2.Найдем выражение для оператора градиента в криволинейных ортогональных координатах. Для функции f = f(u, v, w) можно записать f f f f = u+ v+ w u + v + w f. (2.83) u v w u v w Вектор u направлен в сторону наибольшего возрастания u, т. е. u = = hueu. Рассматривая u как функцию декартовых координат, получим u u x u y u z r = 1 = + + = u, = huHu. (2.84) u x u y u z u u Следовательно, u = eu/Hu и оператор градиента в криволинейных ортогональных координатах имеет вид eu ev ew = + +. (2.85) Hu u Hv v Hw w Далее, найдем выражение для дивергенции вектора a: div a = (, a).

Разложение вектора a в локальном базисе имеет вид a = euau + evav + ewaw. Найдем eu ev ew, euau = + +, euau. (2.86) Hu u Hv v Hw w Для первого слагаемого получим eu 1 eu 1 au 1 au, euau = eu, au + (eu, eu) =.

Hu u Hu u Hu u Hu u (2.87) Здесь мы учли, что eu (eu, eu) = 1 (eu, eu) = 0 = 2 eu,. (2.88) u u Рассмотрим второе слагаемое в (2.86):

ev 1 eu 1 au 1 eu, euau = ev, au+ (ev, eu) = ev, au.

Hv v Hv v Hv v Hv v (2.89) Преобразуем скалярное произведение:

r eu r 1 1 2r u ev, = ev, = ev, + ev, = v v Hu u v Hu Hu vu 1 r 1 1 Hv = ev, = ev, Hvev =. (2.90) Hu u v Hu u Hu u В результате ev au Hv, euau =. (2.91) Hv v HuHv u Записывая аналогичное выражение для третьего слагаемого в (2.86), получим 1 au au Hv au Hw, euau = + + = HvHwau.

Hu u Hv u Hw u HuHvHw u (2.92) Суммируя все компоненты a, получим выражение для дивергенции вектора a в криволинейных ортогональных координатах 1 div a = HvHwau + HuHwav + HuHvaw. (2.93) HuHvHw u v w Отсюда, учитывая, что = (,), запишем оператор Лапласа:

1 HvHw HuHw HuHv = + +. (2.94) HuHvHw u Hu u v Hv v w Hw w Пример. Рассмотрим сферические координаты (рис. 2.7):

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos. (2.95) Подставляя коэффициенты Ламе 2 2 x y z Hr = + + = 1, (2.96) r r r H = r, H = r sin, в формулу (2.94), получим выражение для оператора Лапласа в сферических координатах 1 r sin r = r2 sin + + = r2 sin r r r r sin 1 1 1 1 = r2 + sin +. (2.97) r2 r r r2 sin sin2.5. Трехмерный случай: прямоугольный параллелепипед и цилиндр В случае прямоугольного параллелепипеда разделение переменных удобно провести в два этапа:

1) u(x, y, z) = X(x) F (y, z); 2) F (y, z) = Y (y) Z(z).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.