WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |

V В качестве другого варианта попробуем сначала распределить массу равномерно внутри шара B радиуса, а затем найти искомое распределение, вычисляя предел 0. Тогда, если |r| < (r) = (r) dr = 1, если B V. (6.7) 0, если |r| V Однако при 0 получим, если r = (r) = (r) dr = 0, (6.8) 0, если r = V где интеграл понимается как несобственный, если 0 V.

Теперь вместо отыскания функции попытаемся найти функционал (f, ) = lim (f, ) = lim (r) dr = (6.9) 0 |r|< 3 = lim ((r) - (0)) dr + (0) dr.

43 |r|< |r|< Пусть функция (r) непрерывна в окрестности r = 0, тогда по теореме о среднем lim ((r) - (0)) dr = lim () - (0) = 0, || <.

0 |r|< (6.10) Следовательно, (f, ) = lim (f, ) = (0). Определим функционал дельта-функцию Дирака:

(, ) = (0). (6.11) Этот функционал и следует сопоставить плотности материальной точки; для расчета различных свойств, связанных с плотностью, необходимо вычислять значение функционала на соответствующих функциях (r).

В этой главе рассмотрены способы задания ОФ, простейшие действия с ними, а также некоторые применения ОФ для решения краевых задач математической физики.

6.1. Действия над обобщенными функциями Функция (x), определенная в Rn, называется финитной, если существует такая ограниченная область U Rn, что (x) = 0 при x U. Для непрерывной функции (x) замыкание множества то/ чек, где (x) = 0, называется носителем (x): spt = A, A = = {x Rn : (x) = 0}. Носитель финитной функции ограничен. Бу дем называть пространством основных функций D = D(Rn) множество всех финитных и бесконечно дифференцируемых в Rn функций, в котором сходимость определена следующим образом: n(x) (x) в D при n, если носители всех n(x) и (x) содержатся в некоторой ограниченной области U Rn и n(x) (x) на U при || n, || = 0, 1, 2.... Здесь оператор частной 1 n x1... xn производной порядка || = 1 +... + n. Обозначим D(G) множество всех функций из D, носитель которых содержится в области G Rn.

Обобщенной функцией (ОФ) f D называется линейный непрерывный функционал на D:

1. f D : (x) D (f, ) R (C);

2. (f, + ) = (f, ) + (f, ),, R (C),, D;

3. k 0 в D при k (f, k) 0 при k.

Пусть f(x) произвольная локально интегрируемая функция, т. е.

функция, интегрируемая на любой ограниченной области U Rn. Тогда регулярная ОФ f D определяется формулой def (f, ) = f(x) (x) dx, D. (6.12) Формально интегрирование в (6.12) производится по всему Rn (для краткости записи пределы не указываются), но фактически по некоторой ограниченной области, поскольку по определению финитна.

Например, ОФ R (x, ) = x (x) dx, D, -R (6.13) R R (, ) = (x) (x) dx = (x) dx, D -R регулярные. ОФ не являющиеся регулярными, называются сингулярными. Примерами сингулярных ОФ являются -функция Дирака:

def (, ) = (0), D, (6.14) а также функционал R 1 (x) (x) - (0) def P, = v. p. dx = dx, D.

x x x -R (6.15) Последовательность регулярных ОФ может сходиться в D к сингулярной ОФ. Например, справедлива следующая 1 x Лемма. Пусть f(x) = f, где f(x) локально интегрируемая + на R функция, такая, что f(x) 0 и f(x) dx = 1. Тогда f(x) (x) в D, 0.

Доказательство. Возьмем произвольные (x) D и > 0. Тогда x + + = t 1 x | (f, ) - (0)| = f (x) dx - (0) f(t) dt =dx = = dt - + + = f(t) [(t) - (0)] dt f(t) |(t) - (0)| dt.

- Разобьем последний интеграл на три части:

+ -C C + f(t) |(t) - (0)| dt.

f(t) |(t) - (0)| dt = + + - - -C C Функция (x) ограничена, так как непрерывна и финитна, и пусть + M= max |(x)|. Пользуясь сходимостью f(x) dx, можно подобрать xR константу C так, что -C + -C + f(t) |(t) - (0)| dt 2M f(t) dt <.

+ + - C C Поскольку (x) непрерывна, то можно указать такое > 0, что для всех t [-C, C] справедливо |(t) - (0)| <. Тогда C C f(t) |(t) - (0)| dt < f(t) dt.

2 -C -C В итоге для произвольных (x) D и > 0 при определенном выборе > | (f, ) - (0)| <, что и означает f(x) (x) в D, 0.

ОФ f и g из D равны в области G Rn, если (f, ) = (g, ), D(G). (6.16) В частности, ОФ f D равна нулю в области G Rn, если (f, ) = 0, D(G). Носителем ОФ f D называется замыкание множества точек x Rn, в любой окрестности которых f = 0. ОФ f D назы вается финитной, если ее носитель ограничен.

Произведением f D и a(x) C(Rn) называется ОФ, действующая по правилу def (a f, ) = (f, a ), D. (6.17) Для ОФ определена линейная замена переменных (n = 1):

1 y - b def (f(ax + b), (x)) = f(y),, D, (6.18) |a| a где a = 0.

6.1. Вычислить в D пределы функциональных последовательностей при +0:

1/(2), |x| <, 2) ;

1) f(x) = 2 + x0, |x| ;

x 1 x4) sin2 ;

3) e- ;

x 1 x 5) sin ; 6).

x x ± i 6.2. Вычислить:

1) x (x) ; 2) cos x (x) ;

1 3) x P ; 4) xn P, n 1.

x x 6.3. Вычислить значения функционалов на функциях (x) D:

1) (-x) ; 2) (x + 1) ;

3) (3x + 5) ;

4) x2(1 - 2x) ;

5) (a x), a R ; 6) a(x) (x), a(x) C(R).

Производной ОФ f D называется ОФ f D, определенная правилом def (f, ) = - (f, ), D. (6.19) Каждая ОФ имеет производные любого конечного порядка m; f(m) D определяется формулой def f(m), = (-1)m f, (m), D. (6.20) В случае частных производных эта формула имеет вид def (f, ) = (-1)|| (f, ), (6.21) где || порядок производной.

В некоторых случаях выражению для производной ОФ можно придать более удобный вид. Рассмотрим одномерный случай (n = 1) и функцию f(x) непрерывно дифференцируемую всюду, кроме точки x = x0, в которой она имеет разрыв первого рода. Эта функция локально интегрируемая, и ей сопоставляется регулярная ОФ по формуле R x0-1 R def (f, ) = f(x) (x) dx = lim f(x) (x) dx + lim f(x) (x) dx.

10 x0+-R -R Функция f (x) определена всюду, кроме точки x0. Она также локально интегрируема; обозначим соответствующую ей регулярную ОФ {f }:

R x0-1 R ({f }, ) = f (x) (x) dx = lim f (x) (x) dx+ lim f (x) (x) dx.

10 x0+-R -R Покажем, что ОФ f не совпадает с регулярной ОФ {f }:

x0-1 R (f, ) = - (f, ) = - lim f(x) (x) dx - lim f(x) (x) dx = 10 x0+-R x0-x0-= lim - f(x) (x) + f (x) (x) dx + -R -R R R + lim - f(x) (x) + f (x) (x) dx = x0+x0+= lim [f(x0+2) (x0+2)] - lim [f(x0-1) (x0-1)] + ({f (x)}, ) = 20 = ({f (x)}, (x)) + (x0) [f(x0 + 0) - f(x0 - 0)] = = ({f (x)}, (x)) + [f]x ((x - x0), (x)), где [f]x = f(x0 +0)-f(x0 -0) скачок функции f(x) в точке x = x0.

Следовательно, f (x) = {f (x)} + [f]x (x - x0). (6.22) Эта формула, очевидно, обобщается на конечное число точек разрыва первого рода, а также допускает обобщение на случай n > 1 [4].

Также можно показать, что при дифференцировании ОФ выполняется аналог правила Лейбница для дифференцирования произведения:

(a · f) = a · f + a · f, (6.23) где a(x) C(Rn), f D.

6.4. Вычислить:

1) (x) ; 2) (x0 - x) ;

3) |x| ; 4) |x| ;

5) [(x) sin x] ; 6) [(x) cos x] ;

7) ((a - |x|)), a > 0 ; 8) (sign sin x) ;

9) (|x| sin x) ; 10) (|x| cos x) ;

11) x (m)(x), m = 1, 2,... ; 12) xk(m)(x), m = 0, 1,... k-1.

6.5. Доказать:

+ 1) |sin x| + |sin x| = 2 (x - k) ;

k=+ + 2) eikx = (x - 2k).

k=- k=Пусть для функций f(x) и g(x), локально интегрируемых в Rn, функция h(x) = |f(y) g(x - y)| dx также локально интегрируема.

Тогда сверткой функций f(x) и g(x) называется функция (f g) (x) = f(y) g(x - y) dx = g(y) f(x - y) dx = (f g) (x).

Чтобы дать корректное определение свертки ОФ, необходимо ввести понятие последовательности {k(x)} функций из D(Rn), сходящейся к 1 в Rn. Будем говорить, что k(x) 1 в Rn при k, если а) для любого шара UR найдется такой номер N, что k(x) = 1 для всех x UR и k N ;

б) {k(x)} равномерно ограничены: |k(x)| C при k = 1, 2,...

для всех.

Выберем любую последовательность k(x, y) 1 в R2n при k, и пусть ОФ f(x) и g(x) из D (Rn) таковы, что для любой D(Rn) предел числовой последовательности (f(x) · g(y), k(x, y)(x + y)) при k существует и не зависит от выбора {k}. Сверткой f g называется функционал (f g, ) = (f(x) · g(y), (x + y)) = lim (f(x) · g(y), k(x, y) (x + y)).

k Свойства свертки:

1. Свертка коммутативна: f g = g f (но в общем случае свертка не ассоциативна).

2. Свертка линейна: (1f1 + 2f2) g = 1 (f1 g) + 2 (f2 g) для любых 1, 2 R (но в общем случае свертка не непрерывна).

3. Если свертка f g существует, то (f g) = f g = f g.

Достаточные условия существования свертки:

1. Если f произвольная, а g финитная ОФ из D, то свертка f g существует в D.

2. Пусть D+ множество ОФ из D (R), равных нулю при x < 0.

Если f, g D+, то их свертка существует и принадлежит D+.

6.6. Доказать:

1) f = f; 2) (x - a) f(x) = f(x - a);

3) (m) f = f(m); 4) (m)(x-a)f(x) = f(m)(x-a).

6.7. Вычислить в D (параметр a > 0):

1) (x) (x);

2) (x) (x) x2;

2 4) (x) x2 (x) sin x;

3) e-ax xe-ax ;

x2 x- (t) (t) 4t 4a2t 6) (x) (t) e ;

5) ex(t) e ;

2 t 2a t 7) (at - |x|) [(t) · (x)] ; 8) (at - |x|) [(x) · (t)].

6.2. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов Обобщенным решением в области G Rn линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами m L() u a u = f(x), (6.24) ||=где f D заданная ОФ (свободный член), называется всякая ОФ u, удовлетворяющая этому уравнению в обобщенном смысле:

(L() u, ) = (f, ), D(G). (6.25) Фундаментальным решением оператора L() называется любая ОФ E, удовлетворяющая уравнению L() E = (x). (6.26) Фундаментальное решение E определено с точностью до произвольного решения однородного уравнения.

Для уравнения (6.24) справедлива следующая Основная теорема. Пусть f такова, что свертка E f существует в D.

Тогда u = E f (6.27) является решением уравнения (6.24), и это решение единственно в классе тех ОФ u, для которых существует свертка u E.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для дифференциального оператора dm dm- L = + a1 +... + am (6.28) dtm dtm-фундаментальное решение из D+ можно взять в виде E(t) = (t) Z(t), где функция Z(t) является решением задачи Коши:

L Z(t) = 0, (6.29) Z(0) = Z (0) =... = Z(m-2)(0) = 0, Z(m-1)(0) = 1.

6.8. Найти фундаментальные решения в D+ следующих операторов:

d d1) ± a ;

2) + a2 ;

dt dtd2 d2 d 3) - a2 ; 4) + 4 ;

dt2 dt2 dt d2 d d2 d 5) - 4 + 1 ; 6) + 3 + 2.

dt2 dt dt2 dt n 6.9. Доказать, что для оператора Лапласа = фундаменxk k=тальными решениями являются функции:

1) в R2: E(r) = ln r ;

2) в R3: E(r) = -.

4r 6.10. Пусть – финитная абсолютно интегрируемая функция в Rn, n = 2, 3, носитель которой содержится в области G. Показать, что 1 (r ) 1) в R3 объемный потенциал V3 = = dr удовлеr |r - r | G творяет уравнению Пуассона:

V3 = -4 ;

1 2) в R2 потенциал площади V2 = ln = (r ) ln dr r |r - r | G удовлетворяет уравнению Пуассона:

V2 = -2.

6.11. Доказать, что для оператора Гельмгольца L = + k2 фундаментальными решениями являются функции:

i i 1) в R1: E(x) = - eik|x|, E(x) = e-ik|x| ;

2k 2k 1 2) в R3: E(r) = - eikr, E(r) = - e-ikr.

4r 4r 6.12. Доказать, что для оператора теплопроводности L = - at фундаментальными решениями являются функции r(t) 4a2t E(t, r) = e, n = 1, 2, 3.

n (4a2t) 6.13. Доказать, что для волнового оператора = - a2 фунa tдаментальными решениями являются функции:

1) в R1: E(t, x) = (at - |x|) ;

2a (at - r) 2) в R2: E(t, r) = ;

2a a2t2 - r(t) (t) 3) в R3: E(t, r) = S = (a2t2 - r2), at 4a2t 2a где Sat = {r : r = at}.

6.3. Решение задачи Коши методом свертки Рассмотрим на примере ОДУ, как можно свести задачу Коши к уравнению (6.24) для ОФ из D+ и найти решение с помощью свертки с фундаментальным решением по формуле (6.27).

Пример. Найдем решение следующей задачи Коши:

u (t) + a u(t) = f(t), (6.30) u(0) = u0, где u(t) C1(t > 0) C(t 0) и f(t) C(t > 0). Продолжим u(t) и f(t) нулем при t < 0:

(t) = (t) u(t), f(t) = (t) f(t). (6.31) Рассматривая как ОФ, найдем уравнение, которому она удовлетворяет. Умножая дифференциальное уравнение в (6.30) на (t), получим (t) u (t) + a (t) = f(t). (6.32) Чтобы выразить первое слагаемое через, продифференцируем (6.31):

(t) = (t) [u]0 + (t) u (t) = u0(t) + (t) u (t). (6.33) Здесь использовано начальное условие из (6.30). Таким образом, уравнение для имеет вид (t) + a (t) = f(t) + u0(t). (6.34) Начальные условия исходной задачи Коши в этом уравнении входят в обобщенное внешнее воздействие F = f(t) + u0(t), F D+.

d Фундаментальное решение оператора + a (см. задачу 6.8. 1) dt E(t) = (t) e-at принадлежит D+; согласно второму достаточному условию существования свертки свертка E F существует. По формуле (6.27) находим решение уравнения (6.34):

(t) = E F = (t) e-at f(t) + u0(t) = t (6.35) = (t) u0 e-at + f()e-a(t-)d.

Отсюда, учитывая (6.31), получим решение исходной задачи:

t u(t) = u0 e-at + f() e-a(t-) d. (6.36) Как и следовало ожидать, оно совпадает с классическим решением, но этот способ обобщается на УМФ.

Если решение u(t, x) классической задачи Коши для уравнения теплопроводности ut = a2u + f(t, x), (6.37) u|t=0 = u0(x) и заданную функцию f(t, x) продолжить нулем при t < 0:

(t, x) = (t) u(t, x), f(t, x) = (t) f(t, x), (6.38) то можно доказать, что новая функция (t, x) будет удовлетворять в Rn+1 в обобщенном смысле уравнению t = a2 + f(t, x) + u0(x) · (t). (6.39) Задачу об отыскании решений этого уравнения, обращающихся в нуль при t < 0, называют обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности.

Аналогично, в случае классической задачи Коши для волнового уравнения utt = a2u + f(t, x), u|t=0 = u0(x), (6.40) ut|t=0 = u1(x) можно получить уравнение tt = a2 + f(t, x) + u0(x) · (t) + u1(x) · (t). (6.41) Задачу об отыскании решений этого уравнения, обращающихся в нуль при t < 0, называют обобщенной задачей Коши для волнового уравнения.

Решения уравнений (6.39) и (6.41) можно найти с помощью свертки фундаментального решения соответствующего оператора и свободного члена в уравнении. Фундаментальные решения оператора теплопроводности и волнового оператора приведены в задачах 6.12. и 6.13. При этом получаются известные формулы для решений задачи Коши для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

В общем виде решение задачи Коши (6.37) для уравнения теплопроводности в Rn выражается формулой Пуассона |x-||x-|2 t 1 f(, ) 4a2(t-) 4a2t u(t, x) = u0() e d+ e dd.

n 2a t [ 2a (t-) ]n Rn 0 Rn (6.42) В общем виде решение задачи Коши (6.40) для волнового уравнения выражается:

1) при n = 1 формулой Даламбера:

x+at 1 u(t, x) = [u0(x + at) + u0(x - at)] + u1() d + 2 2a x-at (6.43) x+a(t-) t + f(, ) dd ;

2a x-a(t-) 2) при n = 2 формулой Пуассона:

1 u0() d 1 u1() d u(t, x) = + + 2a t a2t2 - |-x|2 2a a2t2 - |-x||-x|

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.