WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |

Элементарные функции — класс функций, состоящий из основных элементарных функций (многочлен, рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические), гиперболических, обратных гиперболических функций, а также функций, получающихся из перечисленных с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, применяемых конечное число раз. Данные функции непрерывны всюду, где определены.

Эллипс — замкнутая центральная кривая, описываемая уравнеx2 yнием + = 1. Точки пересечения с осями координат a2 b(-a,0, a,0,, b,0 называются вершинами эллипса. Рас) ( ) (-b,) ( ) стояния 2a и 2b между вершинами (и заключённые между ними отрезки) называются соответственно большой и малой осями. Фокусы расположены в точках F1 и F2 c,0, 2c — межфокусное рас(-c,) ( ) c стояние b2 = a2 - c2. Эксцентриситет эллипса e = < 1. Прямые ( ) a a x =± называются директрисами эллипса. Параметрические уравнеe ния эллипса x = a cost, y = b sin t 0 t 2. Площадь эллипса ( ) равна ab.

Эллипсоид — замкнутая центральная поверхность 2-го порядка, x2 y2 zописываемая уравнением + + = 1, где a,b,c — полуоси.

a2 b2 cЕсли a b c, эллипсоид называется трёхосным. При a = b > c получается сжатый эллипсоид вращения (или сфероид) — при вращеx2 zнии эллипса + = 1, y = 0 вокруг оси Oz (вокруг малой оси).

a2 cОбъём эллипсоида равен abc.

Эллиптический параболоид — поверхность 2-го порядка, опиx2 yсываемая уравнением + = 2z, p > 0, q > 0. При сечении p q x2 yпараболоида плоскостью z = h получается эллипс + = 2h или p q x2 y+ = 1, где a = 2 ph, b = 2qh. Плоскости xOz и yOz a2 bпересекают эллиптический параболоид по параболам x2 = 2 pz, y2 = 2qz (главные параболы). Если p = q, параболоид называется параболоидом вращения.

Эмпирическая функция распределения случайной величины nx по данной выборке X1, X2,..., Xn есть Fn x =, где nx — ( ) ( ) n число выборочных значений, меньших x. Функция ступенчатого типа, обладает всеми свойствами функции распределения (при больших n F x F x ).

( ) ( ) Эмпирическое распределение — распределение случайной величины, построенное по выборке X1, X2,..., Xn с ограниченным ni числом выборочных данных, задаётся с помощью частот hi =. Это n дискретное распределение некоторой случайной величины, принимающей конечное число значений с вероятностями, пропорциональными.

n Эпициклоида — плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её.

Я Якобиан или определитель Якоби — определитель из частных производных f1 f1 f...

x1 x2 xn f2 f2 f...

J = x1 x2 xn,....

fn fn fn...

x1 x2 xn где fi x1, x2,..., xn — функции, имеющие частные производные.

( ) Используется также обозначение (как единый символ) D f1, f2,..., fn ( ). Якобиан используется в теории неявных функций и D x1, x2,..., xn () в формулах преобразования кратных интегралов (переходе к новой системе координат). Например, при J = f x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w) J dudvdw, f(x, y,z)dxdydz [] v v x x x u v w y y y где J =.

u v w z z z u v w 2. Иллюстрации 2.1.Системы координат Декартова прямоугольная система координат Oxyz (на плоскости — Oxy, т.е. при z=0).

OM = r = xi + yj + zk Координатные линии:

Ox — ось абсцисс (y=0, z=0), Oy — ось ординат (x=0, z=0), Oz — ось аппликат (x=0, y=0).

Y Координатные плоскости:

Oxy (z=0), Oyz (x=0), Ozx (y=0).

Полярные координаты (, ).

O— полюс, l — полярный луч;

0 <, 0 < 2; иногда рассматривают случаи 0 <, 0 < <, либо < 0.

Связь с декартовыми координатами:

x = cos, y = sin.

X Цилиндрические координаты (,,z).

0 <, 0 < 2, - < z < x = cos y = sin z = z Сферические координаты (,,).

0, 0,0 < x = sin cos y = sin sin z = cos 2.2 Прямая и обратная функции График обратной функции y = x симметричен с графиком ( ) прямой функции y=f(x) относительно биссектрисы I и III координатных углов (относительно биссектрисы y=x).

2.3. Асимптоты Рассматриваются функции y = f x.

( ) Для наклонных асимптот f x ( ) y=kx+b k = lim или x x f x ( ) k = lim, xx b = lim f x kx.

( ( )) x± В частности, функция может иметь горизонтальную асимптоту y=b (при k=0), вертикальную асимптоту x = x0 (если в этой точке терпит бесконечный разрыв), либо не иметь асимптот.

Конкретные примеры функций:

y=0 — горизонтальная асимптота, x=5 — вертикальная асимптота.

( ) f x = x - 2arctgx y1 = x - ( ) f x = 2x - 33 xи y2 = x + — Асимптот нет.

наклонные асимптоты.

2.4.Особые точки плоских кривых Рассматриваются кривые, задаваемые неявными функциями F(x, y) = 0, и точки M0 x0, y0 — такие, в которых одновременно ( ) выполняются условия:

F x0, y0 = 0, Fx x0, y0 = 0, Fy( ) x0, y0 = 0.

( ) ( ) Если в этой точке не все равны нулю производные A = Fxx x0, y0, ( ) B = Fxy x0, y0, ( ) C = Fyy(x0, y0), то характер точки определяется выражением = AC - B2.

Изолированная точка ( ) Двойная точка или узел <( >0 или = 0 ) Точка возврата Точка возврата Точка самоприкосновения первого рода второго рода ( ) = ( ) ( ) =0 =2.5. Примеры непрерывных и разрывных функций Непрерывные функции:

y = x - xx при x 1, y = при x > x Разрывные функции:

1 при x 0, -x -1 при x -1, y = 2 - x при x > y = 1- x2 -1при -1< x <1, x -1 при x Разрыв I рода 1 ( ) ( ) y = x 0 y = x x x Разрыв I I рода 2.6. Дополнительные данные по некоторым кривым.

(перепечатано из приложений к сборнику задач под редакцией Б.П.Демидовича, изданного главной редакцией физико - математической литературы в 1978 году.) Y X 1.Парабола 2. Кубическая арабола y=x2. y=x3.

1 4. Равноосная гипербола 3. График дробной функции y = y = x2 x 5. Локон Аньези 6. Парабола (верхняя часть) у= x.

у=.

1+ x Y X 7. Парабола у= x.

Y Y X X 8а. Полукубическая парабола 8б. Парабола Нейля x = t2, x = t, x y2 = x или у= или y = t3. y = t.

y=cos x Y y=sinx 0 - 2 2 X 2 -9. Синусоида и косинусоида y=sin x и y=cos x.

y=tgx y=ctgx Y 1 X 3 - - - 2 2 2 2 ---10. Тангенсоида и котангенсоида y=tg x и y=ctg x.

11. Графики функций y = sec x и y = cosecx.

12. Графики обратных тригонометрических функций y = Arcsin x и y = Arccos x.

13. Графики обратных тригонометрических функций y = Arctgx и y = Arcctgx.

14. Графики показательных функций -x ex e y= и y=.

15. Логарифмическая кривая y=ln x. e-x 16. Кривая Гаусса y=.

17. Графики гиперболических 18. Графики гиперболических функций функций ex - e-x ex - e-x y = thx y = shx ex + e-x и и ex + e-x y = cthx ex + e-x y = chx ex - e-x.

(цепная линия).

19. Эллипс x2 y2 x = a cost, + = 1 или a2 b2 y = bsin t 20. Гипербола x2 yx = acht - =1или (для правой ветви).

y = bsht a2 b21. Парабола 22. Декартов лист y2=2px 3at x = 1+ t x + y3 - 3axy = 0 или y = 3at.

1+ tOM=AB 23. Циссоида Диоклеса 24. Строфоида ata + x x = y2 = x.

3 a - x 1+ t2, x y2 = или at a - x y =.

1+ t25. Лемниската Бернулли ( x2 + y2 )2 = a2( x2 - y2) или r2 = a2 cos2.

26. Циклоида x = a(t - sint ), y = a(1- cost ).

27. Гипоциклоида (астроида) 28. Кардиоида r = a(1+ cos ).

x = acos3 t, или y = asin t 2 2 3 3 x + y = a.

29. Эвольвента (развертка) окружности x = a(cost + t sin t), y = a(sin t - tcost ).

r = a(r 0).

30. Спираль Архимеда r = e, 31. Логарифмическая спираль 32. Гиперболическая спираль a r = (r > 0).

33. Четырехлепестковая роза 34. Трехлепестковая роза r = asin3 (r 0 ).

r = a sin 2.7. Поверхности второго порядка 1. Эллипсоид 2.Однополостный гиперболоид x2 y2 z2 x2 y2 z+ + = 1 + - = a2 b2 c2 a2 b2 c3. Двуполостный гипер- 4. Конус второго порядка болоид x2 y2 z+ - = x2 y2 za2 b2 c+ - = -a2 b2 c5. Эллиптический парабо- 6. Гиперболический параболоид лоид x2 y- = 2z( p,q > 0) x2 y p q + = 2z( p, q > 0) p q 7. Эллиптический цилиндр 8. Гиперболический цилиндр x2 y2 x2 y+ = 1 - = a2 b2 a2 b9. Параболический 10. Пара пересекающихся плоскостей цилиндр x2 y- = y2 = 2 px a2 b3. Тригонометрические функции, их связь, значения 3.1.Геометрия тригонометрических функций Прямоугольный треугольник a, b — катеты c — гипотенуза a b = sin ; = cos ;

c c a sin = tg = ; sec = —секанс;

b cos cos b cos = ctg = ; csc = — косеканс.

a sin sin Окружность единичного радиуса Нечётные функции Чётные функции (- = (- = cos sin ) - sin cos ) (- = (-) tg ) -tg sec = sec (-) ctg = -ctg (-) csc = -csc Знаки тригонометрических функций tgx, ctgx cos x, sec x sin x, csc x 3.2. Значения тригонометрических функций некоторых углов Градусное и радианное измерение углов Угол в 1° (один градус) — это центральный угол, который опишет радиус окружности, совершив 1/360 часть полного оборота против часовой стрелки;

1/60 часть градуса называется минутой (1);

1/60 часть минуты называется секундой (1).

1 радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности: 1рад 57°1744,8.

Если угол содержит a °, то его радианная мера равна a° = 180° Если угол содержит радиан, то его градусная мера 180° a°= Таблица значений функций Угол в 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 градусах Угол 2 3 5 (рад) 0 6 4 3 2 3 4 6 1 3 0 1 0 -1 sin x 2 2 2 3 2 - - 1 0 -1 0 cosx - 2 2 3 - tgx 0 1 0 - 3 - 3 -1 3 3 - 1 0 -1 - 3 - ctgx 3 3.3. Формулы приведения Это соотношения, с помощью которых значения тригонометриче ских функций аргументов x = ±, ±, ±, 2 ± 2 выражаются через значения sin, cos, tg, ctg.

Аргумент 3 - + - + 2 2 2 - + 2 - 2 + функция cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin sin x sin cosx -sin -cos -cos -sin sin cos cos tg tgx ctg -ctg -tg tg ctg -ctg -tg ctg tg -tg -ctg ctg ctgx tg -tg -ctg 3.4. Основные соотношения между тригонометрическими функциями Тригонометрические тождества sin2 + cos2 =1 tg ctg =sin cos tg = ctg = cos sin 1 1+ tg2 = 1+ ctg2 = cos2 sinФормулы сложения sin ± = sin cos ± cos sin ( ) cos( ± ) = cos cos m sin sin tg ± tg tg( ± ) = 1m tg tg Функции двойного аргумента sin 2 = 2sin cos 2 cos2 = cos2 - sin = 2 cos2 - 1=1- 2 sin 2tg sin 2 = 1+ tg1- tgcos2 = 1+ tg2tg tg2 = 1- tgФункции половинного аргумента 1- cos sin2 = 2 1+ cos cos2 = 2 1- cos tg2 = 2 1+ cos 1- cos sin tg2 = = 2 sin 1+ cos Формулы понижения порядка 1- cos2 1+ cossin2 = cos2 = 2 Формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения + - sin + sin = 2sin cos + - sin - sin =2cos sin 2 + - cos + cos = 2cos cos 2 + - cos - cos = -2sin sin 2 Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в суммы sin sin = cos( - ) - cos( + ) () cos cos = cos( - ) + cos( + ) () sin cos = sin( - ) + sin( + ) () 3.5. Обратные тригонометрические функции.

Графики Свойства (- ) (- ) arcsin x = - arcsin x arctg x = -arctgx (- ) (- ) arccos x = - arccos x arcctg x = - arcctgx arcsin x + arccos x = arctgx + arcctgx = 2 () sin arcsin x = x tg(arctgx) = x () cos arccos x = x ctg(arcctgx) = x ( ) arcsin sin x = x arctg(tgx) = x ( ) arccos cos x = x arcctg(ctgx) = x 3.6. Основные тригонометрические уравнения (В этом разделе k Z ) Уравнение и его решение Частные случаи sin x = a, - 1 a 1 sin x = 0, x = k k (- ) ( ) x = 1 arcsin a + k sin x =1, x = + 2 k sin x =-1, x =- + 2 k cos x = a, - 1 a 1 cos x =1, x = 2 k ( ) x = ± arccos a + 2 k cos x = 0, x = + k cos x =-1, x = + 2 k tgx = a tgx = 0, x = k ( ) x = arctg a + k tgx =1, x = + k tgx =-1, x = - + k 4. Алгебра двучленов Сумма и разность степеней ( )( ) a2 - b2 = a + b a - b ( ) a3 + b3 = a + b (a2 - ab + b2) ( ) a3 - b3 = a - b (a2 + ab + b2) ( ) a4 - b4 = a - b (a3 + a2b + ab2 + b3) ( ) a5 + b5 = a + b (a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) ( ) a5 - b5 = a - b (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) ( ) an - bn = a - b (an-1 + an-2b + an-3b2 +...+bn-1) Степень суммы и разности a + b °=1, a + b ( ) a ± b = a ± b ( ) a ± b = a2 ± 2ab + b( ) a ± b = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b( ) a ± b = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b( ) Бином Ньютона n n -n n ( ) k a + b = an + an-1b + an-2b2 +...+Сn an-kbk +...+bn ( ) 1 5. Логарифмы Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a 1) называется показатель степени N, в которую надо возвести a, чтобы получилось число b :

loga b = N aN = b Свойства a alog b = b — основное тождество loga1 = loga a = ( ) loga b c = loga b + loga c loga bp = p loga b ( ) b loga = loga b - loga c loga q b = loga b ( ) c q Переход от одного основания к другому logb c loga с = loga с = logb a logc a Логарифмы десятичный и натуральный log10 b = lg b loge b = ln b lg e 0,4343 ln10 2,lg a 0,4343ln a ln a 2,3lg a 6. Комплексные числа Степени мнимой единицы i i1 = i; i2 =-1; i3 =-i; i4 =1; i5 = i;

i4n+1 = i; i4n+ 2 = -1; i4n+ 3 = -i; i4n+ 4 =1; n N Интерпретация z = a + bi a, b — действительные числа;

a — действительная часть, bi — мнимая часть числа.

Если a 0, b = 0, то z = a есть действительное число.

Если a = 0, b 0, то z = bi есть чисто мнимое число.

Сопряженные числа z = a + bi и z = a - bi, т.е. действительные части равны, а мнимые части противоположны по знаку.

Комплексная плоскость y a a bi + i r b x r a -bi Ox — действительная ось Oy — мнимая ось b tg =, - a r = z = z = a2 + b — аргумент, r — модуль комплексного числа Формы записи комплексных чисел z = a + bi — алгебраическая z = r(cos + isin ) — тригонометрическая z = re i — показательная e i = cos + isin Формула Эйлера Действия над числами z1 ± z2 = a ± a 2 + b ± b i ( ) ( ) 1 1 1 z1 z2 = r1 r2 cos + + isin + = r1 r2 ei( + ) () () [] 1 2 1 z1 r- ) 1 = - + isin - () () [cos ]= r1 ei( 1 2 1 z2 r2 rz + z = 2a В частности:

z z = a2 + bk zk = r (cosk + i sin k) Формулы Муавра k zk = r eik 7. Векторы Задание вектора a = ax ;ay ;az = axi + ay j + azk ( ) b = bx ;by;bz = bxi +by j +bzk () M1M2 = x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 = x2 - x1 i + y2 - y1 j + z2 - z1 k () ( ) ( ) ( ) Длина (модуль) вектора 2 a = a = ax + a2 + az y 2 2 M1 M2 = x2 - x1 + y2 - y1 + z2 - z( ) ( ) ( ) Сложение и вычитание векторов b a b + a b + b a -b a a a a a a b + b b b a+0=a a+b=b+a a+(b ±c)=(a+b) ± c Умножение на число a = a (a ± b) = a ± b (µ a) = ( µ)a ( + µ)a = a + µ a Скалярное произведение a b = a b cosa,b = ab cos a b = axbx + ayby + azbz Другие обозначения: (a b), (a,b), ab.

a b = b a ( ) Свойства: a b = a ( b) = (a b) a (b ± c) = a b ± a c Угол между векторами axbx + ayby + azbz a b cos = cos = ab ax 2 + ay2 + az2 bx 2 + by2 + bz Векторное произведение a b = c, причём 1) c = absin a 2) ca и cb b 3) тройка векторов O a, b, c — правая Другие обозначения:

c a b, a, b.

Свойства:

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.