WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 54 |

Вернемся теперь к шенноновским процедурам оптимального кодирования и декодирования. Как мог заметить читатель, за экономию на передаче надо платить кодированием на передающем конце и декодированием на конце приемном. Что произойдет, если мы будем допускать более сложные процедуры кодирования и декодирования в надежде получить лучшее сжатие Тут может оказаться полезной следующая метафора. Закодированный текст на передающем конце –– это программа P, порождающая декодированный текст Q на приемном конце. Давайте разрешим передавать произвольные программы, порождающие Q; может быть, удастся выбрать из них самую короткую и тем самым сэкономить ресурсы.

44 Ч I. М Замечательный результат, принадлежащий Колмогорову, гласит, что так оно и есть: кратчайшая программа P действительно существует, и ее длина (колмогоровская сложность текста Q) по существу не зависит от метода программирования. Иными словами, существует совершенно объективная мера количества информации, содержащейся в данном тексте Q.

Однако же в этом месте начинаются неприятности. Во-первых, нет систематического способа строить P по данному Q (в отличие от ситуации с шенноновской энтропией), и во-вторых, получение декодированного текста Q при данном P может требовать очень больших вре менных затрат, даже если программа P известна и коротка. Вот очень простой пример: если Q –– это последовательность из 1010 единиц, то можно передать именно эту фразу, оставив адресату утомительную задачу распечатки 1010 символов «1».

Это означает, что колмогоровская сложность, будучи красивым и продвинутым (хотя и «элементарным») математическим понятием, не может дать нам практической меры количества информации. Тем не менее ее можно использовать как мощную метафору, высвечивающую силы и слабости современного информационного общества.

Понятие колмогоровской сложности позволяет нам выявить один из существенных способов кодирования научной (да и не только научной) информации. Основные физические «законы природы» (ньютоновское F = ma, эйнштейновское E = mc2, уравнение Шрёдингера и т. п.) представляют собой очень сжатые программы для получения информации в различных конкретных ситуациях. Величина их колмогоровской сложности явным образом имеет человеческие масштабы, эти законы названы в честь людей, имена которых связаны с их открытием, и их содержание целиком укладывается в сознание одного человека (ученого или студента).

В наши дни такие проекты, как «геном человека», порождают гигантские объемы информации, не вмещающиеся (в сколь угодно сжатом виде) в сознание одного человека. Возможно, этим же свойством будут обладать и аналогичные базы данных, которые будут созданы при исследовании центральной нервной системы (мозга): величина их колмогоровской сложности будет сравнима с их объемом.

Тем самым мы уже изучаем области материального мира, описа ния которых содержат больше информации (имеют большую колмогоровскую сложность), чем то, что составляло предмет классической науки. Без компьютеров было бы невозможно ни хранить в коллективной памяти данные наблюдений, ни обрабатывать их.

М Что же будет, когда не только хранение нового научного «знания», но и его обработка будет переложена на плечи больших компьютерных баз данных и сетей 3. Математические науки и человеческие ценности 3.. Введение. Вот что пишет редактор антологии [37] Дж.Р.Ньюман по поводу папируса Ринда –– древнеегипетского руководства по математике, написанного около 700 года до н. э.:

Похоже, что должным образом оценить египетскую математику можно только при условии гораздо более широкого и глубокого понимания человеческой культуры, чем то, на которое претендуют и египтологи, и историки математики. На вопрос, как египетская математика соотносится с вавилонской, месопотамской или греческой, ответить относительно легко, но этот вопрос не слишком важен. Интереснее было бы понять, почему у египтян получилась математика именно такого вида, до какой степени она помогает понять их культуру, как ее можно связать с их социальнополитическими институтами, с их религиозными верованиями, экономической практикой, повседневными привычками. Только при этом условии египетскую математику можно оценить по справедливости. (Т. I, c. 78).

Эти слова были опубликованы в 956 году; к 990 году сформулированный в этой цитате подход стал широко распространенной парадигмой; Д’Амброзио назвал его «этноматематикой» (см. [20]). Сборник, для которого была написана эта статья5, и весь проект, в рамках которого сборник опубликован, представляет собой краткий автопортрет западной этноматематики как она видится из второй половины XX века.

Возможно, наиболее интересные внутрикультурные взаимодействия, связанные с математикой –– не прямые, но опосредованные системой ценностей. Система ценностей влияет на деятельность в любой области и при этом практически предопределяет культурную интерпретацию этой деятельности. И обратно, система ценностей, зарождающаяся в рамках одного из видов культурной деятельности (например, в науке), порождает процесс пересмотра других ценностей, их преобразования, а иногда –– их уничтожения или коренной перестройки. В свете этого в заключительном разделе статьи я вкратMatematica e Cultura (в печати).

46 Ч I. М це коснусь человеческих ценностей в контексте математического творчества.

3.2. Рациональность. Послушаем еще раз Дж.Р.Ньюмана (см. [37, предисловие к тому I]).

...Я начал собирать материалы для антологии, которая, как я надеюсь, сказала бы что-то про разнообразие, пользу и красоту математики.

Книга ([37]. –– Ю. М.) представляет математику как инструмент, как язык и как карту; как произведение искусства и как самодостаточную ценность; как плод стремления к совершенству.

Мы видим математику как объект сатиры, как предмет юмора и как источник споров; как гимнастику ума и как затравку для воображения рассказчика; как занятие, приводящее людей в исступление и приносящее им наслаждение. Математика как целое представляется как корпус знаний, созданных человеком, но при этом от человека не зависящий и отдельный.

В этом очень личном и эмоциональном списке ценностей, связанных с математикой, удивительным образом отсутствует рациональность. Одно из возможных объяснений состоит в том, что в англосаксонской традиции основные ценности Просвещения стали ассоциироваться с экономическим поведением и зачастую интерпретируются в следующем узком смысле: рационально действует тот, кто последовательно блюдет свой интерес.

Другой причиной может быть то, что рациональность не приносит особой радости: «Cogito ergo sum» –– это доказательство существования, ничего не говорящее о той абсолютной потребности в мышлении, что присуща всякой живой душе.

И тем не менее рациональность в ренессансном смысле, «il natural desiderio di sapere» (см. [5]), и стремление быть последовательно рациональным –– это та движущая сила, без которой невозможно было бы ни существование математики в течение многих веков, ни ее успешный вклад в технический прогресс общества.

3.3. Истина. О проблеме истины в математики существует множество подробных, сложных, тонких и противоречащих друг другу высказываний (см. относительно недавний обзор [35]). Здесь я просто отмечу, что с аксиологической точки зрения истина, независимо от ее исторических и философских коррелятов, является одной из основных ценностей, связанных с математикой.

М Авторитет, полезность для практики, успех в состязании, вера –– все эти не всегда совместимые друг с другом ценности математик, приступающий к работе, должен отодвинуть на задний план.

3.4. Действие и созерцание. По самой сути своего ремесла математики склонны к созерцанию более, чем к действию.

Римляне, которые были деятелями par excellence, глубоко уважали греческую культуру, но не восприняли греческую математику. В имперском списке ценностей –– доблесть, честь, слава, служба –– для геометрии места не было.

Представление о математиках-созерцателях входит в традицию, длящуюся веками, но во всякой традиции имеются поразительные исключения. Я завершу это эссе кратким рассказом об одном из великих математиков прошедшего века –– Джоне фон Неймане.

Янош Нейман родился 28 декабря 903 года в Будапеште и умер 8 февраля 957 года в Вашингтоне. За свою не очень долгую жизнь он успел внести критически важный вклад в следующие области знания:

основания теории множеств, квантовая статистика и эргодическая теория, теория игр как модель экономического поведения, теория операторных алгебр, архитектура современных компьютеров, принцип имплозии в конструкции атомной бомбы и многое другое.

Вот два примера его мышления и его способа выражать свои идеи –– из начала и конца его карьеры.

Созерцание: универсум фон Неймана. Канторовскому определению множества как произвольного набора различных предметов, существующих в нашей мысли, во многих случаях удовлетворяет больше объектов, чем хотелось бы. Поэтому универсум фон Неймана состоит только из множеств, элементами которых являются также множества. Потенциально опасной аутореферентности удается избежать, постулировав, что в любом семействе множеств Xi, для которого Xi есть элемент в Xi+1, имеется наименьший элемент; самым маленьким множеством, из которого все и строится, является пустое множество. Тем самым универсум фон Неймана строится из «философского вакуума»; его первые элементы суть (пустое множество), {} (одноэлементное множество, единственным элементом которого является пустое множество), {{}}, {, {}}, и т. д. Скупые фигурные скобки заменяют канторовскую рамку «Zusammenfassung… zu einem Ganzen», и эта операция, которую можно итерировать –– единственный способ строить новые множества из уже существующих.

Итерация, конечно, может быть и трансфинитной (другое великое прозрение Кантора).

48 Ч I. М Наведение на цель пушки с применением квадранта из книги «Erste deutsche Vitruvausgabe» Трудно представить себе более чистый объект созерцания, чем эта тихая и одновременно мощная иерархия.

Действие: Хиросима. Вот отрывок из датированного 8 декабря 947 года письма фон Неймана к Р. Дункану из отдела военной истории фирмы IBM.

Уважаемый г-н Дункан! В ответ на Ваше письмо от 6 декабря … сообщаю следующее.

Действительно, во время войны я был инициатором исследования отражения косых ударных волн и сам этим исследованием занимался. Исследования привели к выводу, что большие бомбы эффективнее взрывать не на поверхности земли, а на значительной высоте, поскольку при этом повышается давление при наклонном падении ударной волны … М Я действительно получил медаль «За заслуги» (октябрь 946) и награду «За безупречную службу» (июль 946), со следующей формулировкой:

Медалью «За заслуги» награждается д-р Джон фон Нейман за образцовое исполнение особо важных работ для США в период с 9 июля 1942 года по 31 августа 1945 года. Д-р фон Нейман, проявляя исключительную преданность делу, лидерские качества в технической области, неизменный энтузиазм и постоянную готовность к коллективной работе, был основным ответственным за проведенное Военно-морскими силами США исследование эффективности взрывов на больших высотах, в результате которого был найден новый метод ведения наступательных операций, который уже доказал свою эффективность при использовании атомных бомб против Японии. Д-р фон Нейман внес неоценимый вклад в победу Соединенных Штатов Америки в войне.

Гарри Трумэн Литература. Atiyah M. Geometry and Physics of the 20th Century. In: [ 2, p. 4––9].

2. Boo-Bavbneck B., Hyrup J. Introduction. In: [24, p. ––9].

3. Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, 994.

[Русский перевод более раннего издания: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Наука, 963.] 4. Li Calzi M., Basile A. Economists and Mathematics from 494 to 969. Beyond the Art of Accounting. In: [2, p. 95–– 07].

5. Cesi F. Il natural desiderio di sapere. The Pontifical Academy of Sciences.

Vatican, 2003.

6. Чайковский Ю. В. Что такое вероятность (Эволюция понятия от античности до Пуассона) // Историко-математические исследования. Cер. 2.

6(4 ). М., 200. С. 34––56.

7. Chemla K. History of Mathematics in China: A Factor in World History and a Source for new Questions // Proceedings of the Int. Congr. of Mathematicians.

Berlin, 998. Bielefeld: Documenta Mathematica, 998. Vol. III. P. 789––798.

8. The Cultural Value of Science. Proceedings of the plenary session of the Pontifical Academy of Sciences. Nov. 8––. 2002. Vatican, 2003.

9. Dales H. G., Oliveri G. Truth and the foundations of mathematics. An introduction. In: [35, p. ––37].

0. Davis P., Hersch R. The mathematical Experience. Boston: Birkhuser, 980.

. Enzensberger H. M. Drawbridge Up. Mathematics –– a Cultural Anathema. Natick, Mass.: A. K. Peters, 999.

50 Ч I. М 2. Gomtrie au XXe sicle. Histoire et horizons / Ed. by J. Kouneiher, D. Flament, Ph. Nabonnand, J.-J. Szczeniarz. Paris: Hermann, 2005.

3. Keilis-Borok V., Gascon D., Soloviev A., Intriligator M., Pichardo R., Winberg F.

On the predictability of crime waves in megacities –– extended summary. In:

[8, p. 22 ––229].

4. Kobzarev I. Yu., Manin Yu. I. Elementary Particles. Mathematics, Physics and Philosophy. Kluwer Academic Publishers, 989.

5. Macrae N. John von Neumann. AMS, 990.

6. Манин Ю. И. Истина, строгость и здравый смысл (см. наст. изд.).

7. Манин Ю. И. Математика как метафора (см. наст. изд.).

8. Манин Ю. И. Георг Кантор и его наследие (см. наст. изд.).

9. Mandelbrot B., Hudson M. The (Mis)behaviour of Markets. Profile, 2005.

20. Mathematics across cultures. The history of Non-Western Mathematics / Ed.

by H. Selin. Kluwer Academic Publishers, 2000.

2. Mathematics and Culture I / Ed. by M. Emmer. Springer, 2004.

22. Mumford D. The dawning of the age of stochasticity // Mathematics: Frontiers and Perspectives / Ed. by V.Arnold, M.Atiyah, P.Lax and B. Mazur. AMS, 2000.

P. 97––2 8.

23. Mumford D. Pattern Theory: the Mathematics of Perception // Proceedings of the Int. Congr. of Mathematicians. Being 2002. Vol. I. Being: Higher Education Press, 2002. P. 40 ––422.

24. Mathematics and War / Ed. by B. Boo-Bavbnek, J. Hyrup. Basel: Birkhuser Verlag, 2003.

25. von Neumann J. Selected Letters / Еd. by M. Rdei. History of Math. AMS and London MS, 2005. Vol. 27.

26. Nrretranders T. The User Illusion: Cutting Consciousness Down to Size.

Penguin, 998.

27. Платон. Государство. Книга VII, 522d, 525c, 526b–d.

28. Poovey M. A History of the Modern Fact. Problem of Knowledge in the Sciences of Wealth and Society. The University of Chicago Press, 998.

29. Poovey M. Can numbers ensure honesty Unrealistic expectations and the US accounting scandal // Notices of the AMS. 2003. Vol. 50, №. P. 27––35.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.