WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 54 |

2. Математика как инструмент познания 2.. Немного истории. Древние источники по истории математики свидетельствуют, что математика как отдельный род деятельности возникла как ответ на нужды торговли и государственного управления (для обслуживания войны и крупных общественных работ): см.

приведенную выше цитату о шумерской административной реформе.

В качестве другого примера обратимся к китайской книге «Девять глав о математических операциях», составленной при династии Хань в начале нашей эры (далее мы следуем докладу К. Шемлы на Берлинском международном математическом конгрессе 998 года [7]). Книга по большей части состоит из задач с решениями, выглядящими как частные случаи общих алгоритмов, что позволяет решать аналогичные задачи с другими числовыми значениями. Согласно докладчику, В задачах все время встречаются конкретные вопросы, с которыми сталкивались ханьская бюрократия, а более конкретно –– вопросы, за которые отвечал «Великий Министр Сельского Хозяйства» (дасынун): оплата труда чиновников, управление зернохранилищами или установление стандартных мер для зерна. Более того, шестая из глав названа по имени экономического мероприятия, предлагавшегося Великим Министром Сельского Хозяйства Сан Хуняном ( 52––82 до н. э.) с целью более справедливого налогообложения. В книге приводятся математические процедуры для вычисления налогов.

Еще одно описание того, чем занимались китайские математики, приведено в [30].

В течение всей долгой истории китайской империи математическая астрономия была единственным разделом естественных наук, пользовавшимся серьезным вниманием правителей. При каждой династии неотъемлемой частью государства была императорская обсерватория. На императора работали ученые трех специальностей: математики, астрономы и астрологи. При этом обязанностью математиков было разрабатывать алгоритмы для 32 Ч I. М составления календаря, и большинство математиков получали образование именно в качестве составителей календарей. … Составителям календарей требовалось соблюдать очень высокую точность в своих предсказаниях. Предпринимались непрекращающиеся усилия по совершенствованию методов вычислений, чтобы гарантировать точность, необходимую для астрономических наблюдений. Не было никакой нужды в том, чтобы заменять вычисления, игравшие основную роль в китайских календарных расчетах, на геометрическую модель; более того, это было и невозможно. … Не геометрия, а тесно связанная с вычислениями алгебра стала наиболее развитым разделом математики в старом Китае.

Западная традиция восходит к Греции. Согласно Тернбулу [36], термином «математика» и подразделением математики на арифметику и геометрию мы обязаны Пифагору (569––500 до н. э.). Точнее говоря, согласно Пифагору арифметика (и музыка) изучает дискретное, а геометрия и астрономия изучает непрерывное. Дальнейшее противопоставление «геометрия––астрономия» отражает противопоставление «неподвижное––движущееся».

Эта классификация с небольшими изменениями послужила основой средневекового квадривиума; ее следы ощущаются и в общей картине математики, как она видится Майклу Атье.

Платон (429––348 до н. э.) в «Государстве» (книга VII, 525 c.) объясняет, почему изучение арифметики необходимо просвещенному государственному деятелю:

Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счета, причем заниматься им они должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел –– не ради купли-продажи, о чем заботятся купцы и торговцы, но для военных целей и чтобы облегчить самой душе ее обращение от становления к истинному бытию2.

С постепенным выделением «чистой математики» возвращение к практическим нуждам стало рассматриваться как приложения. Противопоставление чистой и прикладной математики в его нынешнем понимании, бесспорно, сформировалось уже к началу XIX века. Во Перевод А. Н. Егунова.

М Франции Жергон издавал журнал «Annales de mathmatiques pures et appliques»3, выходивший с 8 0 по 833 год; в Германии Крелль в 826 году основал журнал под названием «Journal fr die reine und angewandte Mathematik»4.

2.2. Средства познания в математике. Чтобы понять, как именно математика применяется к пониманию реального мира, удобно рассмотреть ее в трех модальностях: как модель, теорию и метафору.

Математическая модель описывает (количественно или качественно) определенный класс явлений, но ни на что большее предпочитает не претендовать.

От птолемеевских эпициклов (описывающих движение планет;

около 50 года н. э.) и до «стандартной модели» (описывающей взаимодействие элементарных частиц; около 960 года) количественные модели подстраиваются под наблюдаемую реальность с помощью уточнения численных значений параметров, которых иногда насчитываются десятки (на менее двадцати в стандартной модели). Такие модели могут быть удивительно точными.

Качественные модели помогают понимать такие явления, как устойчивость и неустойчивость, аттракторы (предельные состояния, не зависящие, как правило, от начальных условий), фазовые переходы, происходящие, когда сложная система переходит границу между двумя фазами или между двумя бассейнами с разными аттракторами. Недавний доклад [ 3], посвященный предсказанию волны убийств в Лос-Анджелесе, в качестве метода использует распознавание образов для случая редких событий. Вот его вывод: «Мы обнаружили, что повышению количества убийств предшествует месяцев, в течение которых статистика преступлений имеет специфический вид: число краж со взломом и хулиганских нападений растет, число ограблений и убийств падает. При этом и растут, и падают эти показатели не монотонно: это спорадические процессы, продолжающиеся от 2 до 6 месяцев».

В компьютерную эпоху модели чрезвычайно распространились;

теперь их производят в промышленных масштабах, а решают численными методами. Р.Солоу в своем проницательном эссе [33] (написано в 997 году) выдвигает тезис, что основная часть современной экономической науки занимается именно построением моделей.

Модель часто используются как черный ящик со скрытыми процедурами компьютерного ввода, на выходе которого получаются предАнналы чистой и прикладной математики.

Журнал чистой и прикладной математики.

34 Ч I. М писания, относящиеся к поведению людей (так бывает в приложениях компьютеров в финансовой сфере).

Теорию (имеется в виду математически сформулированная физи ческая теория) от модели отличают в первую очередь большие притязания. Современная физическая теория обычно утверждает, что она описывала бы мир с абсолютной точностью, если бы он состоял из объектов какого-то одного вида: материальных точек, подчиняющихся исключительно закону всемирного тяготения, электромагнитного поля в вакууме и т. п. В ньютоновской формуле Gm/r2, описывающей силу, действующую на точку в центральном поле тяготения, Gm и r могут меняться в угоду измеримой реальности, но показатель в r2 –– это твердая, как скала, теоретическая двойка, а не какое-нибудь 2,000000003…, что бы ни показывали результаты экспериментов. Хорошая количественная теория может быть очень полезна в инженерии: машина –– это искусственный фрагмент вселенной, в котором основную роль играет лишь небольшое число физических законов, причем действуют они в весьма изолированной системе. В этой ситуации теория доставляет модель.

Та сила, что побуждает все время создавать теории –– это концепция реальности, существующей независимо от материального мира и возвышающейся над ним, реальности, которую можно познать только с помощью математических инструментов. Эту психологическую установку можно проследить от платоновых многогранников, через галилеевский «язык природы» и до квантовых суперструн –– даже если она не согласуется с явно выраженными философскими взглядами того или иного ученого.

Математическая метафора, в тех случаях, когда она претендует на статус инструмента познания, постулирует, что некоторый сложный набор явлений можно сравнить с какой-то математической конструкцией. Наиболее недавняя из тех математических метафор, что я имею в виду –– это искусственный интеллект (ИИ). С одной стороны, ИИ –– это корпус знаний, относящихся к компьютерам и к новой искусственной реальности, состоящей из аппаратного и программного обеспечения, Интернета и пр. С другой стороны, в потенции это модель функционирования мозга и сознания в биологии. В своем полном объеме ИИ пока что не достиг стадии модели: мы не располагаем систематизированным, непротиворечивым и широким списком соответствий между процессорами и нейронами, между компьютерными алгоритмами и алгоритмами, выполняющимися в мозгу. Однако же мы можем использовать (и используем) наши обширные знания об алгоритмах и компьютерах (благо и те, и другие нами и созданы) для М порождения осмысленных догадок о структуре и механизмах деятельности центральной нервной системы (см. [22] и [23]).

Математическая теория –– это приглашение к построению работающих моделей. Математическая метафора –– это приглашение к размышлению о том, что мы знаем. Полезным предостережением может здесь послужить эссе Сьюзен Сонтаг [34] об использовании (разумном и неразумном) метафоры болезни.

Разумеется, подразделение, которое я набросал выше, не является ни жестким, ни абсолютным. У статистических исследований в общественных науках статус зачастую колеблется между моделью и метафорой. При смене парадигмы научные теории переходят в разряд устаревших моделей. Тем не менее в нашем изложении это удобный способ организации исторических данных, как в синхронии, так и в диахронии.

Теперь я остановлюсь более подробно на этих инструментах познания, сделав основной упор на модели и связанные с ними структуры.

2.3. Модели. Возникновение и функционирование математической модели можно проанализировать, рассмотрев следующие этапы, внутренне присущие всякому систематическому исследованию наблюдений, результаты которых можно выразить числами.

) Выбор списка наблюдаемых величин.

2) Разработка метода измерения (сопоставления наблюдаемым числовых значений). Часто этому этапу предшествует более или менее явное упорядочение таких значений на некоторой оси (отношение «больше––меньше»); ожидается, что последующее измерение согласуется с этим упорядочением.

3) Угадывание закона или законов, которым подчиняется распределение наблюдаемых в получающемся (обычно многомерном) конфигурационном пространстве. Эти законы могут быть точными или вероятностными. Состояния равновесия могут представлять особый интерес: часто они характеризуются как стационарные точки подходящего функционала, определенного на полном конфигурационном пространстве. Если в число измеряемых величин входит время, то в игру вступают дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию.

Говоря о концепте оси, стоит отметить его широкие и общие культурные коннотации, раскрытые Карлом Ясперсом. Ясперс постулировал, что переходный период к современности имел место около V века до н. э., в период «осевого времени», когда возникал новый тип человеческого мышления, основанный на противопоставлении имма36 Ч I. М нентного и трансцендентного. Для нас здесь существен образ оппозиции в виде противоположных ориентаций одной и той же оси и идея свободы как выбора между двумя несовместимыми альтернативами.

Те же образы стояли за стандартным физическим выражением «степени свободы»; сейчас это почти не ощущается, как оно обычно и бывает, когда образы становятся терминами.

Идея измерения, являющаяся основой современной науки, настолько жизненно важна, что порой она некритически воспринимается при построении моделей; важно не забывать об ее ограниченности.

При квантовом описании микромира «измерение» –– это весьма специального вида взаимодействие, результатом которого является случайное изменение состояния системы, а не получение информации об этой системе.

В экономике деньги играют роль универсальной оси, на которой откладываются «цены» и все прочее. Считается, что «измерение» производят силы рынка.

Глубинное внутренне противоречие рыночной метафоры состоит в том, что мы проецируем многомерный мир несравнимых и несовместимых степеней свободы на одномерный мир цен в денежном выражении. Этот одномерный мир в принципе нельзя сделать совместимым даже с основными отношениями порядка на различных осях;

тем более нельзя его сделать совместимым с несуществующими или несравнимыми ценностями различных видов.

В этом смысле пример наиболее внутренне противоречивого использования рыночной метафоры дает выражение «свободный рынок идей». На этом рынке продается одна-единственная идея: идея «свободного рынка».

2.3.. Краткая опись измеряемого. Начнем с замечания, относящегося ко всем измерениям: для каждой из «осей», которые мы будем рассматривать, измерения начинаются с измерений «в человеческом масштабе», подразумевающих непосредственные манипуляции с материальными объектами. По ходу развития оно распространяется на более крупные и более мелкие масштабы, и для разрешения проблем, связанных с этим развитием, создается и используется все больше и больше математических знаний.

Счет. Предлагаем читателю перечитать раздел, посвященный натуральным числам, как очерк истории счета (и учета). На примере счета ясно виден переход от подсчетов малых количеств предметов («человеческий масштаб») к масштабам экономики целого государства –– переход, стимулировавший создание и кодификацию позиционной системы.

М Пропуская другие интересные этапы, мы должны вкратце упомянуть то, что Георг Кантор справедливо считал своим главным достижением: подсчет «бесконечностей» и открытие бесконечной шкалы бесконечностей, растущих по величине.

Основное рассуждение Кантора по своей структуре очень похоже на евклидовское доказательство бесконечности простых чисел: для данного конечного или бесконечного множества X множество P(X), состоящее из всех его подмножеств, имеет строго большую мощность.

Это доказывается с помощью знаменитого канторовского «диагонального процесса».

Канторовская теория бесконечных множеств представляет собой невероятное обобщение обоих аспектов натурального числа. Всякое число измеряет «количество», и числа упорядочены отношением «x меньше y». Соответственно, бесконечности бывают «кардиналами» (мерами бесконечности) и «ординалами» (точками на упорядоченной оси растущих бесконечностей).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.