WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 54 |

Чтобы объяснить чуть подробнее, нам понадобится расширить картину, в рамках которой мы до сих пор работали. Теория чисел Р 2 изучает не только рациональные числа, но и все алгебраические числа, т. е. корни многочленов с рациональными коэффициентами. Удобно работать с меньшими числовыми полями K, например с конечномерными -подпространствами в, содержащими 1 и замкнутыми относительно умножения. Для каждого такого поля K можно доказать обобщение теоремы Островского, описывающее все нормирования поля K. Поскольку K, всякое такое нормирование w индуцирует на нормирование v, эквивалентное либо | · |, либо какому-нибудь | · |p. Мы будем говорить, что w продолжает, или делит, нормирование v. Имеют место следующие факты: а) всякое нормирование поля продолжается до конечного числа нормирований поля K; б) нормирования, продолжающие | · |, соответствуют различным вложениям K в комплексные числа. Коль скоро эта теорема доказана, можно определить w-адические числа Kw, адели AK, идели JK и другие объекты, которые мы ранее рассматривали «над ».

Пусть теперь у нас есть векторное пространство L над K, снабженное нормами · w (по одной для каждого нормирования w на K) таким образом, что al w = |a|w l w при a K, l L, и l w = 1 для почти всех w, если l = 0. Тогда можно определить высоту элемента l L по формуле h(l) = l w.

w Из формулы произведения |a|w = 1 при a K следует, что h(l) заw висит только от луча Kl в L, т.е. что высота –– функция на проективном пространстве, ассоциированном с L.

Поскольку пространство модулей Mg по существу задается алгебраическими уравнениями с целыми коэффициентами, мы можем вложить Mg в такое проективное пространство. Если это вложение провести с помощью мамфордовских детерминантных векторных расслоений, то при этом получится высота, связанная с мерой Полякова.

Полная высота, в отличие от ее архимедовой части, определена только для точек с алгебраическими координатами, которые хоть и плотны в Mg, но с физической точки зрения не выглядят особенно привлекательными. Тем не менее, в недавней работе [8] было установлено, что именно эти точки появляются естественным образом как точки решетки в струнной схеме решеточного приближения.

Ситуация выглядит следующим образом. При струнном решеточном приближении риманова поверхность, т. е. струнный мировой лист с метрикой ds2, заменяется на триангулированную метрическую поверхность, по существу задающуюся комбинаторными данными, 2 6 Ч II. М состоящими, например, из списка вершин и длин дуг, соединяющих некоторые вершины. Это –– двумерный аналог исчисления Редже в общей теории относительности.

Рассмотрим теперь компактную ориентированную поверхность, разбитую на равносторонние треугольники, у которых длины всех сторон равны 1 (если заменить эту длину на другую, конформный класс поверхности не изменится). Легко доказывается, что такая поверхность снабжена комплексной структурой, совместимой с метрикой (сначала надо удалить вершины, а затем продолжить получающуюся комплексную структуру, что возможно, так как сумма углов при каждой вершине равна n/3 для некоторого целого n).

Следовательно, такая поверхность задает точку на Mg. Основная теорема работы [8], которую предвидел Гротендик [0], утверждает, что таким образом мы получаем в точности все алгебраические точки. Стало быть, теоретико-числовая картина хорошо отражает комбинаторно-метрическую картину. Важная проблема –– установить дальнейшие связи между этими двумя описаниями, в частности, вычислить высоту в метрических терминах.

Теперь мы переходим к заключительной части нашего обсуждения.

Наиболее широкие обобщения формулы Эйлера ( ) связаны с вычислением адельного объема однородных пространств вида H(AK)/H(K), где H –– полупростая алгебраическая группа, а K –– алгебраически замкнутое поле (мы вкратце остановились на случае H = SL2). Аналогичные вычисления для других типов алгебраических многообразий, например, для Mg, связаны с серьезными трудностями. Почему же тогда мы надеемся, что с Mg удастся работать арифметически Возможный выход замечательным образом связан с новым подходом к другому поразительному свойству поляковской статсуммы, а именно, с тем, что она по сути является разложением теории возмущений. Несколько авторов предложили работать не с Mg, а с чем-то вроде универсального пространства модулей M, включающего в себя все Mg (и кое-что еще).

В работе [9], руководствуясь этой идеей и операторным подходом, я высказал гипотезу, что это M должно быть однородным пространством относительно алгебры Вирасоро.

Эта гипотеза была недавно доказана четырьмя группами авторов (см. работы [ 0]–[ 3]). Во всех этих работах используется одна и та же основная конструкция, принадлежащая Сато и Сегалу––Уилсо ну. В этой конструкции M является бесконечным грассманианом, а «модульная часть» пространства M параметризует тройки (X, p, z), где X –– комплексная риманова поверхность, p –– точка на X и z –– Р 2 локальная координата в этой точке. Если удастся определить непер турбативный фейнмановский интеграл как интеграл по M, то он вполне может стать вычислимым арифметически. Для этого нам понадобится обобщение теории Тамагавы––Вейля на бесконечномерные группы, наподобие групп Каца––Муди и GL(). (Заметим в скобках, что vol(SL(n, )/SL(n, )) = (2)…(n) имеет корректно определенный предел при n. Можно ли получить его как объем при n = ) В заключение я очень кратко опишу некоторые вопросы, волнующие теоретико-числовиков, которые могут иметь отношение к программе арифметизации физики.

У теории чисел есть своя группа большого объединения: это груп па Галуа G = Gal( / ), состоящая из всех перестановок алгебраических чисел, сохраняющих алгебраические соотношения между ними с рациональными коэффициентами. Это бесконечная топологическая группа «фрактального» типа; ее структура очень сложна и, в некотором смысле, содержит в себе всю арифметику (если учесть также некоторые канонические центральные расширения ее подгрупп –– так называемые группы Вейля). Для иллюстрации этого утверждения отметим только, что ее максимальная абелева факторгруппа Gab изо морфна, так что простые числа появляются вновь, совершенно p p неожиданным образом –– по существу как образующие Gab. При изучении представлений G и ее замкнутых подгрупп теоретико-числовик встречается с автоморфными и модулярными функциями почти так же (точнее говоря, двойственным образом), как физик, изучающий представления алгебр Каца––Муди и Вирасоро. Серия глубоких гипотез, принадлежащих Ленглендсу [ 4], связывает теорию представлений группы G с теорией представлений групп H(AK), через модулярные формы и их преобразования Меллина.

Я искренне надеюсь, что столь замечательные совпадения не являются простой случайностью.

В заключение хочу сказать, что я с удовольствием и гордостью посвящаю эту заметку Александру Гротендику, чьи прозрения оказали огромное влияние на математику, а сейчас начинают влиять и на физику.

Литература 0. Grothendieck A. Esquisse d’un programme. Preprint. 984. Опубликовано в кн.: Geometric Galois actions,. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 997.

P. 5––48.

. Manin Yu. I. The partition function of the Polyakov string can be expressed in terms of theta functions // Phys. Lett. 986. Vol. B 72. P. 84–– 86.

2 8 Ч II. М 2. Faltings G. Calculus on arithmetic surfaces // Ann. Math. 984. Vol. 9. P.387–– 424.

3. Smit D.-J. String theory and algebraic geometry of moduli spaces // Comm.

Math. Phys. 988. Vol. 4, № 4. P. 645––685.

4. Mandelbrot B. Fractals. San Francisco: Freeman, 977.

5. Koblitz N. p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions. Heidelberg;

Springer-Verlag, 977. [Имеется русский перевод: Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 982. 92 с.] 6. Volovich I. V. a) Number theory as the ultimate physical theory. Preprint CERNTH 478 /87; b) Волович И. В. p-адическое пространство-время и теории струн // ТМФ. 987. T. 7, № 3. С. 337––340.

7. Tate J. Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-functions // Algebraic number theory / Ed. by J. W. S. Cassels, A. Frlich. Academic press, 967.

P. 305––347.

8. Воеводский В. А., Шабат Г. Б. Равносторонние триангуляции римановых поверхностей и кривые над полями алгебраических чисел. Препринт.

987.

9. Манин Ю. И. Критические размерности в струнных теориях и дуализирующий пучок на пространстве модулей (супер)кривых // Функц. анализ.

986. Т. 20, № 3. C. 88––89.

0. Концевич, М. Л. Алгебра Вирасоро и пространства Тейхмюллера // Функц.

анализ. 987. Vol. 2, № 2. P. 78––79.

. Beilinson A., Schechtman V. V. Determinant bundles and Virasoro algebras // Comm. Math. Phys. 988. Vol. 8, № 4. P. 65 ––70.

3. Arbarello E., De Concini C., Kac V., Procesi C. Moduli spaces of curves and representation theory // Comm. Math. Phys. 988. Vol. 7. №. P. ––36.

4. Langlands R. P. L-functions and automorphic representations // Proc. ICM 978. Helsinki, 980. Vol.. P. 65–– 76.

5. Kneser M. Semi-simple algebraic groups // Algebraic number theory / Ed. by J.W.S. Cassels, A. Frlich. Academic press, 967. P. 250––265 [Русский перевод в кн.: Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрёлиха.

М.: Мир, 969. С. 347––396.] Ч III И Стихи и переводы Из цикла «Книги моей юности» Название цикла, «Книги моей юности», отсылает к Мандельштаму:

«Разночинцу не нужна память, ему достаточно рассказать о книгах, которые он прочел, –– и биография готова». («Шум времени»).

Один из моих дедов говаривал: «Истинный разночинец не принадлежит никакому сословию, ни даже и разночинству».

Неохотные комментарии обращены к читателю, который в юности читал другие книги.

Подражание И. Б.

Russians are tragic Italians.

(anon.) Я мог бы родиться в Италии. Звали б меня, скажем, Джорджо Манини. По воскресеньям родня собиралась бы в церкви, а мужчины сидели в таверне, обсуждая политику и австрияков браня.

На шершавых фасадах поганками после дождя высып б портреты Дуче, то есть Вождя али Всех Времен и Народов, а Владимир Владимирович Маринетти будил меня утром, старый мир нещадно гвоздя.

В Пионерском саду, где Салгир вливается в Тибр, и мафиози идут из киношки в тир, науке любви меня бы учила Мазина в воспаленных сумерках, после школьных игр.

Впрочем, все так и было. Nel mezzo del cammin... (и т. д.) душа покидает юдоль скорбей... (и проч.) и оглядывается. Таврида с Тосканой уплывают, неразличимо сливаясь, вдаль.

Филиппо Томмазо Маринетти –– основатель итальянского футуризма. Владимир Владимировичем звали, конечно, Маяковского.

Салгир –– речка, протекающая через город Симферополь в Крыму, где автор родился и жил в годы 1937––41 и 1945––53.

Джульетта Мазина –– актриса и муза Феллини.

222 Ч III. И Обэриуты Прекрасной женщины душа Ленивой бабочкой летает.

Художник, житель чердака, Ее внезапно уловляет, Накалывает на булавку И сносит в государственную лавку.

Она уж не порхает.

Он водку пьет и тяжело вздыхает.

Архитектурный памятник устало Фронтоном оседает в новый век.

Шаг вбок, шаг вверх –– считается побег.

Из дома вышел человек –– его не стало.

ОБЭРИУ (Объединение Реального Искусства) –– название неформальной группы ленинградских поэтов, основанной в 1927 году, коллективный голос русского модернизма и «абсурдизма». Судьба их была предрешена. Александр Введенский (1904––1941) был подвергнут «превентивному аресту» в 1941 году и, по разным свидетельствам, либо умер от дизентерии, либо был застрелен тюремной охраной. Даниил Хармс (1905––1942), согласно официальной информации, скончался в тюремной психушке. Николай Заболоцкий (1903––1958) пережил арест и ссылку (1938––1946). После смерти Сталина несколько лет публиковал хорошие стихи, написанные в традиционной поэтике. Николай Олейников (1898––1937) был арестован и расстрелян в 1937...

«Шаг влево, шаг вправо считается побег: охрана стреляет без предупреждения» –– лагерная мудрость, которую большинство моих сверстников, к счастью, узнало только от Шаламова и Солженицына.

«Из дома вышел человек...» –– строчка Хармса.

С Из У. Одена (As I walked out one evening...) Я вышел вечером в город.

На Бристоль-стрит пала мгла.

Как поле перед жатвой, Толпа, колыхаясь, шла.

Вдали, где река втекала Под мостовой пролет, Влюбленный пел свои клятвы:

«Любовь моя не умрет! Покуда Китай и Африка Не снимутся с якорей И стерлядь не выйдет с песней На улицы из морей, Развешенных сохнуть, подобно Выжатому белью, И звезды не взмоют, кряча, Тебя я не разлюблю! Как кролики, столетья Проскачут стороной, Пока я тебя сжимаю в объятиях, ангел мой!» Но все часы городские Заскрежетали так:

«Ты Время вокруг пальца Не обведешь, простак! Ты Истину нагую Обнимешь в полусне –– Закашляется Время Из темной ниши в стене.

Уходит жизнь сквозь пальцы Под головную боль, И что пожелает Время, То и станет с тобой.

224 Ч III. И Зеленую долину Укроет белый снег, И хоровод рассыплется, И оборвется бег.

Черпни воды в ладони, В черную воду взгляни, И то, чего не понял, Пока не поздно, пойми.

Ледник стучит в буфете, В постели пески шелестят, И трещина в чайной чашке Открывает дорогу в ад, Где Принц навеки нищий, Русалочка –– в огне, И Золушка танцует На костяной ноге.

Но вглядись в свое отраженье, В отчаяние свое, Жизнь –– это благословенье, Благослови ее.

Стань у окна, сквозь слезы В лица ближних взгляни, И каждую грешную жизнь В грешное сердце прими».

Умолкли часы на башнях.

Сгустилась ночная мгла.

Любовники исчезли.

И только река текла.

С Двенадцать цезарей, салют! Привет мой и тебе, Светоний, историк пакостных историй.

Теперь и нас от этих блюд мутит.

Поспорим о властях и властелинов побичуем.

Недуг шкодливый, не пустяк, страдают им, как почечуем.

Как дети, деспоты просты, святы пресветлые тираны, хоть их обязанности странны и непонятны их посты.

Вконец подорвано здоровье от людоедства натощак, пока поэты верещат про славу, купленную кровью...

А впрочем, ладно.

С ними Бог, и с нами Бог, и Бог со всеми, а историческое время все норовит куда-то вбок...

1967, 226 Ч III. И У греков –– жизнь любить, у римлян –– умирать… А. Кушнер Весеннее небо в огрехах просыпанных мимо дождей...

Да что все о Риме да греках, не эллин я, я –– иудей, летучая малая спора, грибницы усохшей зерно, от Книги ослепшего взора поднять не успевший.

Давно у Рима, и мира, и рока я выучил смерти урок.

А жизнь убегает с урока, туда, где в ветвях ветерок.

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.