WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 54 |

[Русский перевод более раннего издания: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Наука, 963.] 4. Candelas P., de la Ossa X., Green P., Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory // Nuclear Phys. 99. Vol. 359.

P. 2 ––74.

5. Dyson F. Missed opportunities // Bull. Amer. Math. Soc. 972. Vol. 78. P. 635–– 652. [Русский перевод: Дайсон Ф. Дж. Упущенные возможности // Успехи математических наук. 980. Т. 35, №. C. 7 –– 9.] 6. Feynman R. P. The space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 948. Vol. 20. P. 367––387.

7. Feynman R. P. QED. The Strange Theory of Light and Matter. Princeton Univ.

Press, 988. [Русский перевод: Фейнман Р. КЭД –– странная теория света и вещества. М.: Наука, 988.] 8. Glimm J., Jaffe A. Quantum physics. A functional integral point of view.

Springer, 98.

9. Grant H. What is modern about ‘modern’ mathematics // Math. Intelligencer.

995. Vol. 7, № 3. P. 62––66.

0. Hardy G. H. Mathematical proof // Mind. 929. XXXVIII- 49. P. ––25.

. Jaffe A., Quinn F. Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics // Bull. Amer. Math. Soc. 993. Vol. 29, №. P. –– 3.

2. Responses to ‘Theoretical mathematics etc.’ by A. Jaffe and F. Quinn // Bull.

Amer. Math. Soc. 994. Vol. 30. P. 6 –– 77.

3. Reshetikhin N., Turaev V. Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups // Inv. math. 99. Vol. 03. P. 547––597.

4. Witten E. Quantum fiels theory and the Jones polynomial // Comm. Math.

Phys. 989. Vol. 2. P. 35 ––399.

Размышления об арифметической физике Александру Гротендику к шестидесятилетию Есть и такие, кто при виде всего этого всего лишь недоверчиво пожмут плечами и скажут, что ничего, кроме фантазий, из этого не получится. Эти люди забывают или не знают, что наша наука, как и всякая другая, мало чего бы достигла, если бы с самого начала она не питалась мечтами и видениями тех, кто отдается ей со всей страстью.

А. Гротендик [0, с. 8] Развитие теоретической физики в последней четверти XX века определяется весьма романтической системой ценностей. Стремясь описать фундаментальные процессы в планковском масштабе, физики склонны терять какую бы то ни было прямую связь с наблюдаемым миром. В этом социальном контексте изощренная математика, появляющаяся в теории квантовых струн, перестает быть исключительно техническим инструментом, необходимым для вычисления каких-то измеримых эффектов, но становится делом принципа.

Сегодня по крайней мере некоторые из нас снова испытывают древнее платонистское чувство, что математическим идеям каким-то образом суждено описывать физический мир, сколь бы отдаленными от реальности ни казались их истоки.

Если быть последовательным, придется принять неправдоподобную () идею, что самые глубокие приложения в физике получит теория чисел. И действительно, явственно различима тенденция по крайней мере допускать теорию чисел в мир идей современной теоретической физики.

Автор этих строк был удивлен и обрадован, когда обнаружил, что для нахождения меры Полякова в струнной теории можно воспользоваться результатами Фальтингса, вычислявшего специфическую теоретико-числовую функцию –– так называемую высоту (см. [, 2, 3]).

Reflections on arithmetical physics // Conformal Invariance and string theory. Poiana Brasov, 987. Boston, MA: Academic Press, 989. P. 293––303. Перевод с английского С. М. Львовского.

2 0 Ч II. М Потом Саша Поляков сказал мне, что после доклада Фальтингса на международном математическом конгрессе в Беркли Эд Виттен скупил все книги по теории чисел, которые нашел в магазине через дорогу. (Я не спрашивал у Эда, так ли это: se non vero, ben trovato).

Стало быть, сейчас самое время представить некоторые размышления профессионального теоретико-числовика и физика-любителя о таком противоречивом предмете, как арифметическая физика.

Спросим себя для начала, можно подсчитать что-нибудь физическое с помощью средств, являющихся бесспорно теоретико-числовыми Я полагаю, что ответ должен быть утвердительным. Давайте посмотрим на одну из самых красивых формул Эйлера:

2/6 = (1 - p-2)-1. ( ) p простое Правая часть, без всяких сомнений, принадлежит теории чисел: простые числа p = 2, 3, 5, 7, 11, … –– один из ее главных предметов изучения. Осмелюсь сказать, что левая часть, в которой участвует число, является физической константой, хотя, видимо, чтобы убедить в этом читателя, потребуется какая-то аргументация. В самом деле, число может быть (и было) измерено, так же, как температура кипения воды или длина земного экватора. Можно сказать, что евклидова геометрия, в которой появляется как математическая константа, является на самом деле кинематикой идеальных твердых тел, работающей в макроскопическом приближении плоского гравитационного вакуума.

Чтобы лучше понять формулу ( ), полезно вспомнить некоторые свойства простых чисел. Классически простое число p определяется как целое положительное число, не имеющее делителей, кроме самого себя и единицы. Каждое целое число можно единственным образом разложить в произведение простых; простых чисел бесконечно много; они распределены довольно нерегулярно; простейшая асимптотическая формула для количества простых чисел, не превосходящих N, имеет вид N/ log N. Это, однако, не тот подход, который нам сейчас нужен.

Современное объяснение роли простых чисел дается теоремой Островского: простыми числами описываются все разумные способы (в дополнение к традиционному) ввести понятие непрерывности на множестве рациональных чисел.

Говоря более конкретно, определим функцию |a|p от числа a таким образом: |a|p = p-n, если a = pncd-1, где c и d –– целые числа, не делящиеся на p. Эта функция обладает обычными свойствами Р нормы: |ab|p = |a|p|b|p, |a + b|p |a|p + |b|p (на самом деле даже max(|a|p, |b|p) –– так называемое неархимедово неравенство треугольника). Следовательно, эта норма определяет на топологию, в которой ai 0, если |ai |p 0. Эта топология называется p-адической. Поскольку сложение и умножение p-адически непрерывны, можно стандартным образом определить фундаментальные последовательности и множество пределов таких последовательностей, называемых p-адическими числами.

Множество p-адических чисел, обозначаемое p, является новым аналогом множества действительных чисел, которое можно построить таким же способом с использованием обычной абсолютной величины, которую удобно обозначать через |a|. Теорема Островского утверждает, что всякая норма (говорят еще «нормирование») на задает ту же топологию, что | · | или | · |p для некоторого простого p.

Разумеется, свойства p во многих отношениях отличны от свойств. Главная причина в том, что p и сильно отличаются топологически: p-адические числа образуют канторово множество, или «фрактал» [4]. Тем не менее, многие разделы классического анализа и геометрии удается развить над p-адическими числами;

прекрасное введение можно найти в книге [5].

Как мы знаем, физический мир весьма эффективно описывается с помощью математики, основанной на (и на его последующем расширении –– комплексных числах). Недавно было высказано предположение, что в планковских масштабах больше подходит p-адическая топология [6]. При этом, однако, возникает вопрос: почему какоето одно p должно быть выделенным с физической точки зрения Не разумнее ли верить в демократию и считать, что все имеющиеся топологии равноправны (Или, по крайней мере, все p-адические топологии:, бесспорно, является «первым среди равных», так как оно задано с помощью единственной архимедовой нормы.) Оказывается, что тождество Эйлера ( ), так же как и целый ряд аналогичных фактов, можно объяснить способом, который подсказывает очень убедительную картину такой демократии.

Начнем с почти очевидной формулы |a| = |a|-1. Она означает, p p что знать обыкновенную абсолютную величину рационального числа –– то же самое, что знать все его p-адические абсолютные величи ны. Или, если быть полностью демократичными, |a|v = 1, где v равv но или p = 2, 3, 5… В теории чисел полно формул такого типа; они называются формулами произведения, законами взаимности и т. п.

2 2 Ч II. М В выписанной нами формуле произведения мы рассматривали рациональное число a по очереди как действительное, 2-адическое, 3адическое и т. д. Введем, более общим образом, множество бесконечных векторов (a, a2, a3, …), где a и ap p. Такой вектор, с дополнительным условием, что |a|p 1 для всех достаточно больших p, называется аделем. Этот термин был изобретен Клодом Шевалле около 940 года, вместе с термином «идель», означающим «обратимый адель» (т. е. av = 0 для всех v и |ap |p = 1 для больших p). Этимоло гия этих слов неясна; предположительно, «идель» происходит от слова «идеальный», а «адель» означает «аддитивный идель». Как бы то ни было, для современных теоретико-числовиков это стандартные термины.

Давайте теперь представим первые шаги математики, в которой действительные числа заменены на адели. У аделя a = (av) имеются компоненты, вещественная a и p-адические компоненты ap для всех p. Множество всех аделей образует топологическое кольцо A, с покомпонентными сложением и умножением. Его топология совмещает в себе архимедовы и фрактальные свойства. Рациональные числа вкладываются в A диагонально: a (a, a, a, …). Простое, но важное наблюдение состоит в том, что A –– дискретная подгруппа, как. Иными словами, последовательность рациональных чисел не может сходиться во всех v-адических топологиях одновременно (если, например, она p-адически сходится к нулю для всех p, то она должна состоять из растущих до бесконечности целых чисел).

Вспоминая, что / = U(1) является окружностью, мы приходим к понятию адельной окружности:

A / = p /, (2) p где p –– множество p-адических целых чисел (a p |a|p 1). Из (2) видно, что адельная окружность –– это смесь U(1) и компактной топологической вполне несвязной группы, которую можно также описать как «предел решеточных приближений» для U(1), т. е. как lim /n. Тем самым мы опять наблюдаем соединение архимедовых -n и фрактальных свойств в одном объекте. Фурье-анализ, основанный на A / вместо U(1), чрезвычайно изящно связывает воедино обычное и конечное преобразования Фурье. См. диссертацию Тэйта [7].

Если продвинуться еще на шаг дальше, можно определить простейшую некоммутативную адельную группу SL2(A ), являющуюся Р 2 по существу множеством бесконечных матричных векторов av bv cv dv SL2( v): v =, 2, 3, 5, …, для которых (av), (bv), (cv) и (dv) являются аделями. Подгруппа SL2( ) также дискретна в SL2(A ). Пользуясь левоинвариантной дифференциальной формой на SL2 и нормами |a|v, можно определить левоин вариантную меру dm = dmv на группе SL2(A ) так же, как на ее v классической компоненте SL2( ). Если нормализовать dm с помощью условия dm = 1, а затем вычислить интеграл покомпонентSL2(A )/SL2( ) но, то мы в конце концов придем к красивому объяснению формулы ( ):

1 = dm = dm dmp, (3) p SL2(A )/SL2( ) SL2( )/SL2( ) SL2( p) dm = 2/6, dmp = 1 - p-2. (4) SL2( )/SL2( ) SL2( p) Здесь формула (3) устанавливается так же, как (2), архимедова часть формулы (4) доказывается с помощью трюка, основанного на формуле суммирования Пуассона, а p-часть формулы (4) следует из того факта, что SL2 над конечным полем из p элементов состоит из p3 - p точек, так что относительное количество точек в SL2( p) по отношению к 3 равно 1 - p-2.

p Теперь мы видим следующую закономерность:

• (по крайней мере некоторые) существенные понятия действительного и комплексного анализа и геометрии имеют адельные аналоги;

• адельные объекты имеют сильную тенденцию быть проще, чем их архимедовы компоненты; например, адельные фундаментальные области арифметических дискретных подгрупп в полупростых группах обычно имеют объем 1 (философия Зигеля––Тамагавы–– Вейля, см. [ 5]);

• благодаря этому факту и «формулам произведения», воплощающим идею равноправия всех топологий, информация о вещественной компоненте адельного объекта может быть считана либо с самой этой вещественной компоненты, либо с произведения pадических компонент для всех p.

2 4 Ч II. М Если теперь позволить себе несколько рискованное обобщение, то можно сформулировать основную гипотезу этого доклада.

На фундаментальном уровне наш мир не является ни вещественным, ни p-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (возможно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проектируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проектировать ее в неархимедову сторону и вычислять наиболее важные вещи арифметически.

«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике.

Разумеется, никто не обязан принимать эту метафизику всерьез.

Скептический читатель может тем не менее пользоваться ею как руководящим принципом при математическом исследовании структуры струнной теории.

Теперь я опишу некоторые работы, которые кажутся обещающими в этом отношении.

Для начала отметим, что реинтерпретация вычисления поляковской меры [ ] показывает [3], что если взять точку пространства модулей Mg с алгебраическими координатами, то плотность данной меры по отношению к канонической будет равна обратному от архимедовой части функции, называемой высотой точки x.

Замечательное свойство высоты, совместимое с нашей философией, состоит в том, что она определяется как произведение множителей, соответствующих всем нормированиям поля, в котором лежат координаты точки x.

Я выдвигаю следующую гипотезу: на пространстве адельных точек универсального пространства модулей можно определить адельную меру Полякова, архимедова компонента которой совпадает с обычной мерой Полякова; хочется надеяться, что соответствующий полный адельный объем будет вычислим как в (3), (4) и тем самым даст арифметическое выражение для струнной статистической суммы.

Если эти надежды оправдаются, у нас будут некоторые основания говорить об адельных струнах. Разумеется, главное основание для веры в это –– замечательное появление в теории струн алгебраических многообразий (пространства модулей) и мер на них (формы Мамфорда), инвариантно определенных над целыми числами, а не только над или.

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.