WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 54 |

2. Компанеец А. С. Симметрия микро- и макромира. М.: Наука, 978.

3. Математика в современном мире. М.: Мир, 969.

4. Фейнман Р. Характер физических законов. М.: Мир, 968.

5. Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, 965.

Связи между математикой и физикой Вкратце описав математическую структуру современной физики, мы переходим к анализу расхождения между математикой и физикой, возникшего в первой половине XX века; особое внимание будет уделено роли, которую в каждой из этих наук играют строгие определения и доказательства, алгебраические вычисления и нечетко сформулированные идеи.

§. Предисловие Начать мне бы хотелось с явного описания общей концепции этой статьи.

Для этого удобно обратиться к опыту сравнительного языкознания. История языка –– это не история всех (или хотя бы «самых важных») высказываний на этом языке, письменных или устных. Это –– история эволюции языка как системы. Для изучения же эволюции системы необходимо предварительно описать ту систему, историей которой мы занимаемся. Применение этой соссюровской схемы к истории математики (стоит заметить, что я не считаю, что математика –– это только язык) было бы, видимо, очень по душе Жану Дьедонне, который, будучи активным членом группы «Бурбаки», участвовал в создании систематизированной картины современной математики. В этом докладе я последую его примеру, но в гораздо более скромных масштабах. Само собой разумеется, что недостаток времени, места и познаний вынуждает меня ограничиться одной тонкой цепочкой связанных друг с другом идей, представленных в высшей степени односторонне.

Тем самым я отказываюсь (хоть и неохотно) обсуждать историю по Леопольду фон Ранке, с упором на то, «как оно было на самом деле». Одна из причин этого отказа состоит в том, что история современной математики в значительной мере сводится к утверждениям Впервые опубликовано в сб.: Materiaux pour l’histoire des mathmatiques au XXe sicle. Actes du colloque la mmoire de Jean Dieudonn (Nice, 996). Перевод с английского С. М. Львовского.

Жан Дьедонне, каким я его запомнил, был человеком с мощным голосом, сильными руками и твердыми взглядами. В частности, он настаивал на том, что в вычислениях с тензорами следует использовать тензорные произведения и коммутативные диаграммы, а не классические верхние и нижние индексы. Я был солидарен с его мнением, что это экономит бумагу, пока в какой-то момент мне самому не понадобилось провести вычисление с тензорами. Тогда я обнаружил, что индексы гораздо экономичнее.

С о том, кто что доказал и кому принадлежит приоритет: ей сильно недостает того драматизма, который присущ истории борьбы за реальную власть. Более личная и более существенная причина кратко сформулирована Иосифом Бродским в его автобиографическом эссе «Меньше единицы»: «То немногое, что я помню, еще уменьшается, когда я вспоминаю это по-английски».

Наконец, последнее предупреждение и извинение. Всякая система, разумеется, является теоретическим конструктом. Как таковой, она в лучшем случае является относительной и культурно обусловленной, в худшем –– субъективна. Именно в таком виде она и может служить материалом для истории математики XX века.

§ 2. Математическая физика как система 0.. Физика. Физика описывает внешний мир; в пределах своей применимости, она делает это в двух модальностях: классической и квантовой.

В классической модальности события происходят с телами и полями, расположенными и эволюционирующими в пространстве-времени. Физические законы накладывают ограничения непосредственно на наблюдаемые величины. В своей основе эти законы детерминистичны и выражаются дифференциальными уравнениями; для этих уравнений выполняются (иногда гипотетически) подходящие теоремы существования и единственности.

Статистическая разновидность классической модальности имеет дело с вероятностями и средними значениями, которые (иногда гипотетически) можно вывести из идеального детерминистического описания. Необходимость статистического описания диктуется двумя основными обстоятельствами: слишком большим количеством степеней свободы и неустойчивостью. (Выражаясь метафорически, неустойчивость означает, что каждый последующий десятичный знак добавляет новую степень свободы.) Фундаментальными физическими абстракциями являются изолированная система, эволюционирующая независимо от всего остального мира, и взаимодействие между потенциально изолированными системами (или между изолированной системой и остальным миром).

Пространство-время –– один из самых замечательных взлетов воображения в классической физике –– также выглядит как изолированная система, управляемая уравнениями Эйнштейна из общей теории относительности (при этом, возможно, тензор энергии-импульса отвечает за все то, что не является чистым пространством-временем).

98 Ч II. М В квантовой модальности теоретического описания наблюдаемый мир является вероятностным по своей сути. Более того –– и это особенно важно, –– основные законы, являющиеся в некотором смысле детерминистическими, описывают ненаблюдаемую сущность, амплитуду вероятности, являющуюся комплекснозначной функцией на пространстве квантовых траекторий. Грубо говоря, амплитуда составного события является произведением амплитуд его составных частей, а амплитуда события, представленного в виде суммы взаимоисключающих событий, равна сумме амплитуд этих событий.

Вероятность события равна квадрату модуля его амплитуды. Физические наблюдаемые суть средние значения, даже если речь идет об индивидуальном акте рассеяния одной элементарной частицы.

Наблюдаемое волновое поведение (скажем, света) всего лишь огрубленно отражает внутреннее волновое поведение амплитуд (волновых функций) неопределенного количества фотонов, описываемых фоковским пространством квантованного электромагнитного поля.

Многие квантовые модели содержат в себе (отчасти по историческим причинам) классическую модель, которая подвергается квантованию. Слово «квантование» почти без разбора применяется к большому количеству различных процедур, из которых наиболее важными является операторное, или гамильтоново, квантование и квантование с помощью фейнмановских интегралов. Первая из этих двух процедур более алгебраична и обычно имеет более твердые математические основания; вторая обладает огромным эвристическим и эстетическим потенциалом, и именно ее мы в дальнейшем обсудим подробнее. Если бы я вместо нее выбрал операторное квантование, то картина расхождения математики и физики в первой половине XX века, о которой пойдет речь в §4, выглядела бы менее впечатляющей, но основные результаты моего анализа не изменились бы.

Еще одна тема, заслуживающая отдельного исторического и структурного исследования, –– это двойственность между двумя названными выше подходами. Она началась с классической механики, Лагранжа и Гамильтона, и продолжилась в волновой механике Гейзенберга––Шрёдингера и в противопоставлении интегралов по траекториям и матрицы рассеяния. Этой двойственности на окраинах физики соответствуют такие недавние математические жемчужины, как представления алгебры Вирасоро на пространстве модулей кривых.

0.2. Математика. Если в математической физике есть самое важное понятие, то это функционал действия: он содержит в себе классические понятия энергии и работы, его плотность в области проС странства-времени –– это лагранжиан, а если его умножить на -и взять экспоненту, то получится основная амплитуда вероятности.

Действие измеряется в абсолютных планковских единицах, так что его можно рассматривать как действительное число. Точнее говоря, следующую схему описания мы будем рассматривать как основную для обеих модальностей физического описания, о которых шла речь выше.

Моделирование физической системы начинается с того, что описывается ее кинематика, включающая пространство виртуальных классических траекторий и функционал действия S:. Например, может состоять из параметризованных кривых в классическом фазовом пространстве механической системы, или из римановых метрик на данном гладком многообразии (пространствевремени), или из троек, состоящих из связности в данном векторном расслоении, метрики на этом расслоении и его сечения. Значение функционала действия в точке p обычно имеет вид L –– интеp грал формы объема по одному из пространств, участвующих в описании точки p.

Классические уравнения движения задают подпространство cl.

Это подпространство состоит из решений вариационных уравнений (S) = 0, т. е. из стационарных точек функционала действия.

Если классическое описание является статистическим, то exp(-S) есть плотность вероятности.

При квантовом описании мы выбираем физически мотивированные подмножества B (в типичных случаях они определяются граничными условиями), а затем определяем среднее по B значение наблюдаемой O как фейнмановский интеграл (интеграл по траекториям) вида p OB := O(p)ei L Dp. () B Это –– наши основные персонажи. Далее я представлю некоторые размышления об истории этой картины с точки зрения физиков и математиков.

Особое внимание я уделю идее интеграла и ее последнему воплощению в форме интеграла по траекториям.

§ 3. Интеграл Понятие интеграла –– одна из центральных и постоянно повторяющихся тем в истории математики за последние два тысячелетия. Периоды увлеченного решения задач сменяются периодами напряжен200 Ч II. М ного поиска определений, а затем снова появляются нестрогие, но поразительно эффективные эвристики, повергающие в ужас логически ориентированного фундаменталиста, живущего в каждом из нас.

Ричард Фейнман, создатель магической формулы (), у которой до сих пор отсутствует точная математическая интерпретация как раз в тех случаях, когда она особенно нужна физикам2, с гордостью рассказывал, что с помощью () удалось вычислить значение аномального магнитного момента электрона, совпавшее с экспериментальным в десяти значащих цифрах:

«В 983 году теоретическое значение равнялось 1,00115965246, с ошибкой порядка 20 в двух последних цифрах, а экспериментальное равнялось 1,00115965221, с ошибкой порядка 4 в последней цифре. Такая точность –– все равно, что померить расстояние от ЛосАнджелеса до Нью-Йорка (около трех тысяч миль) с погрешностью, равной толщине человеческого волоса» [7, с. 8].

Недавно произошло аналогичное поразительное событие: с помощью физических вычислений (названных даже «предсказаниями», ср. [4]) были найдены различные индексы пересечения в алгебраической геометрии, такие, как число Nd рациональных кривых степени d на общей трехмерной квинтике (например, N10 = 70428 81649 78454 68611 34882 –– теоретическое () значение, до сих пор не проверенное в эксперименте (), в котором должны участвовать математическое определение числа Nd и компьютер). Идеология интегрирования по траекториям сыграла существенную роль в этих вычислениях: формула () интерпретировалась как сумма по инстантонам в сигма-модели, и в данном случае инстантоны были рациональными кривыми на квинтике.

Интуитивный физический смысл интеграла –– «количество чего-то в данной области». Если первые вычисления этого «чего-то» интерпретировались, скажем, как объем пирамиды, то вряд ли можно сомневаться, что они использовались для фактической оценки количества камня (и рабского труда), необходимого для сооружения гробницы египетского фараона. В заглавии книги Кеплера «Stereometria Doliorum» упоминаются винные бочки. Когда длина пути вычисляется как интеграл от скорости, область, по которой проводится интегриро вание, приобретает временное измерение; соответственно, понятие энергии постепенно заменяется понятием действия. В XX веке тоСм. также более оптимистическую оценку в замечательной книге [8], оказавшей влияние на структуру этой работы. Впрочем, на c. 3 3 авторы пишут: «Существует ли теория электродинамики в математическом смысле –– это загадка».

С пология также становится субстанцией, количество которой можно измерить с помощью интегрирования замкнутых дифференциальных форм (дерамовская теория периодов, предугаданная Пуанкаре). Другой такой субстанцией оказалась вероятность, и винеровская трактовка броуновского движения как меры на пространстве непрерывных траекторий проложила путь и колмогоровской аксиоматизации теории вероятностей, и нашему нынешнему неохотному принятию фейнмановских интегралов. (Это последнее частично поддерживается успехами конструктивной теории поля и стохастического интегрирования. Тем не менее, случайные поверхности, на которых основываются струнные фейнмановские интегралы, доставляют значительные трудности.) С математической точки зрения, всякое вычисление (или определение) интеграла основывается на двух физически очевидных принципах –– аддитивности относительно области интегрирования и относительно подынтегрального выражения и на предельном переходе в какой-нибудь форме. Имеются по крайней мере две архетипические формы перехода к пределу.

Одна форма представлена «неделимыми» Кавальери, римановыми суммами и т. п. Она связана с топологической структурой области интегрирования, а именно, с понятием границы и тонкого (d + 1)-мерного слоя, окружающего d-мерный объект. К этому кругу идей относится формула Стокса во всех ее видах; комплекс де Рама –– это ее линейная двойственная форма.

Другая форма предельного перехода принадлежит скорее теории меры, чем топологии. Имеются базисные области, наполненные легко измеримым количеством интересующей нас субстанции (объема, действия, вероятности и т. п.); мы пытаемся аппроксимировать другие распределения с помощью их мозаичных портретов, устремляя локальные погрешности к нулю. Локальность, однако, уже не понимается в топологическом смысле, а понятие границы становится ненужным или неважным. Вместо этого нам приходится иметь дело с измеримыми множествами, образующими всего лишь алгебру относительно пересечений и объединений. К этому типу обычно относятся бесконечномерные конструкции. Из-за хорошо известного «эффекта арбузной корки» (в больших размерностях объем сконцентрирован вблизи границы) не удается эффективно воспользоваться неделимыми. Даже в конечной размерности граница может не подходить на роль неделимого по Кавальери, если она является очень негладкой (фракталом). В тонких исследованиях по теории меры, датированных началом XX века, об этом много сказано.

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.