WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 54 |

С другой стороны, не можем мы также и опустить слова и иметь дело только с формулами. Слова в математических и естественнонаМ учных текстах играют три основные роли. Во-первых, они обеспечивают многочисленные связи между физической реальностью и миром математических абстракций. Во-вторых, слова несут оценочные суждения (иногда явные, иногда неявные), которыми мы руководствуемся при выборе тех или иных цепочек математических рассуждений в огромном дереве «всех» допустимых, но по большей части бессодержательных формальных выводов. Наконец (последнее по счету, но не по важности), слова позволяют нам общаться, учить и учиться.

В заключение приведу глубокое замечание Поля Самуэльсона, сравнивающего использование слов и математических символов в экономических моделях (цитируется по [4]): «Когда мы приступаем к решению этих проблем [из экономики] с помощью слов, мы решаем те же уравнения, что и в случае, когда мы эти уравнения явно выписываем. … По-настоящему серьезные ошибки происходят на этапе формулировки исходных предпосылок. … Одно из преимуществ такого посредника, как математика (точнее говоря, математических канонов изложения доказательств, будь то словесно или с использованием символики) состоит в том, что нам приходится выложить карты на стол, так что наши исходные предпосылки будут видны всем».

Возвращаясь к карте математических провинций Геометрии, Алгебры и Анализа, заметим, что на ней надо найти место и для (математической) Логики, с ее современными воплощениями –– Теорией Алгоритмов и Теоретической Информатикой (Computer Science).

Имеются очень сильные доводы в пользу того, чтобы, вопреки Фреге, рассматривать ее как часть широко понимаемой алгебры. Если согласиться с этим, то догадка Атьи насчет связи между алгеброй и понятием времени получает подтверждение. Именно, серьезные сдвиги в развитии логики в 30-е годы XX века произошли тогда, когда Алан Тьюринг воспользовался физической метафорой «машины Тьюринга» для описания алгоритмизованного вычисления. До его работы логика обсуждалась почти исключительно в паралингвистических терминах, как и у нас выше. Тьюринговское представление о конечном автомате, передвигающемся дискретными шагами вдоль одномерной ленты и записывающем на ней биты или стирающего их, вместе с теоремой существования универсальной машины такого типа, подчеркивает именно этот временной аспект всякого вычисления. Еще важнее то обстоятельство, что представление о вычислении как о физическом процессе не только помогло сконструировать современные компьютеры, но и открыло пути для продумывания в физических терминах (как классических, так и квантовых) общих закономерностей хранения и обработки информации.

20 Ч I. М.2. Математика: предмет изучения. Когда мы занимаемся биологией, мы изучаем живые организмы. Когда мы занимаемся астрономией, мы изучаем небесные тела. Когда мы занимаемся химией, мы изучаем разновидности материи и их взаимопревращения.

Мы наблюдаем и измеряем нечто в реальном мире, мы разрабатываем специализированные эксперименты в точно определенных условиях (впрочем, не в астрономии), и в результате всего этого мы строим объясняющую парадигму, которая становится на текущий момент вехой в развитии науки.

Но что же мы изучаем, когда занимаемся математикой Один из возможных ответов таков: мы изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами (П. Дэвис и Р. Херш называют их «умственными объектами с воспроизводимыми свойствами»).

Каждая такая идея должна быть достаточно жесткой, чтобы сохранять свою форму во всяком контексте, где она может быть использована. В то же время у каждой такой идеи должен быть богатый потенциал для создания связей с другими математическими идеями. Когда первоначальный комплекс идей сформировался (исторически или педагогически), связи между этими идеями также могут приобрести статус математических объектов, образуя тем самым первый уровень гигантской иерархии абстракций.

В самом низу этой иерархии лежат мысленные образы самих вещей и способов манипулирования ими. Чудесным образом оказывается, что даже абстракции высокого уровня могут каким-то образом отражать реальность: знания о мире, полученные физиками, можно выразить только на языке математики.

Вот несколько основных примеров.

.2.. Натуральные числа. Это, возможно, старейшая протоматематическая идея. «Жесткость» таких объектов, как 1, 2, 3…, такова, что первые натуральные числа обретают символический и религиозный смысл во многих культурах. На ум тут же приходят христианская Троица и и буддистская нирвана: слово ‘нирвана’ происходит от санскритского nir-dva-n-dva, где dva так и значит ‘два’, а все выражение подразумевает, что состояние абсолютного блаженства будет достигнуто, когда человек подавит индивидуальное существование и будет составлять «одно» с Вселенной. (Эти отрицательные коннотации слова ‘два’ сохранились даже в некоторых современных европейских языках, в которых у слова ‘два’ имеются ассоциации с идеей сомнения; см. латинское dubius, немецкое Zweifeln и описание Мефистофеля у Гёте.) М Натуральное число является также и протофизической идеей: подсчет материальных объектов (а позднее –– и нематериальных, например, дней и ночей) является первым проявлением идеи измерения (см. ниже).

Натуральное число становится математической идеей, когда:

а) изобретаются способы обращения с натуральными числами так, как если бы они были предметами (сложение, умножение);

б) выявляются первые абстрактные свойства внутренней структуры совокупности всех натуральных чисел (простые числа, их бесконечность, существование и единственность разложения на простые множители).

Эти два открытия весьма отдалены друг от друга и исторически, и географически (возможно, также и в культурном и философском аспектах). Позиционная система счисления знаменует начало того, что мы сегодня называем прикладной математикой, а простые числа –– того, что раньше называли чистой математикой. Скажем об этом немного подробнее.

Первоначально и числа, и способы обращения с ними кодировались специфическими материальными объектами: пальцами и другими частями тела, палочками, предназначенными для счета, зарубками. Зарубка –– это уже знак, а не вещь в собственном смысле слова;

она может означать не только 1, но и 10, и 60 –– в зависимости от того, где она расположена в ряду других символов. Тем самым открывается дорога к великому математическому открытию –– позиционной системе счисления. Впрочем, непротиворечивой позиционной системе необходим еще и знак для нуля, который появился достаточно поздно, ознаменовав переход на новый уровень математической абстракции.

Выразительный отрывок из [2] рисует такую картину.

В 2074 году до н. э. царь Шульги провел военную реформу в шумерском государстве, а на следующий год –– административную реформу (кажется, объявленную как временную в связи с чрезвычайными обстоятельствами, но вскоре ставшую постоянной), согласно которой большая часть трудоспособного населения была организована в почти что рабские рабочие бригады, а писцынадсмотрщики были сделаны ответственными за производительность этих бригад, исчисляемую в абстрактных единицах, равных 1/60 рабочего дня (12 минут), согласно четким нормативам. Вся работа и все результаты труда должны были скрупулезно подсчитываться и при учете переводиться в эти абстрактные единицы;

для этого требовалось в массовом порядке проводить умножение 22 Ч I. М и деление. При этом была введена и использовалась для промежуточных подсчетов позиционная система с основанием 60. Наличие такой системы предполагает существование таблицы умножения, таблицы обратных и таблицы технических констант и изучение этих таблиц в школах. Тем самым создание системы, основная идея которой «носилась в воздухе» в течение уже нескольких столетий, потребовало решения на государственном уровне и весьма энергичного проведения этого решения в жизнь. Как и во множестве случаев позднее, только война создала возможность для проявления такой политической воли.

С другой стороны, представляется, что простые числа возникли из чистого созерцания, так же как и идея совершенно конкретной бесконечности: как самих натуральных чисел, так и простых чисел.

Доказательство бесконечности простых чисел, включенное в «Начала» Евклида, является одним из красивейших математических рассуждений древности. Напомним его вкратце (в современных обозначениях): если у нас есть конечный список простых чисел p1, …, pn, то к нему можно добавить еще одно, взяв любой простой делитель числа p1…pn + 1.

Это –– идеальный пример обращения с математическими идеями так, как если бы они были жесткими материальными объектами. На этой стадии это уже чистые идеи, откровенно не имеющие даже отдаленного отношения к материальным обозначениям на шумерский или еще какой-нибудь лад. И сегодня, глядя на число, записанное в десятичной системе, легко сказать, четно ли оно и делится ли оно на 5 –– но невозможно сходу увидеть, что оно является простым. Целые поколения математиков после Евклида дивились тому, как, на первый взгляд, случайно рассыпаны простые числа в натуральном ряду.

Наблюдение, эксперимент в точно определенных условиях, а с недавних пор –– даже промышленное производство простых чисел (построение и выявление больших простых чисел с помощью практически реализуемых алгоритмов используется в задачах криптографии) стали отличительной чертой значительной части современной теории чисел.

.2.2. Действительные числа и «геометрическая алгебра». Целые числа возникли из счета, но остальные действительные числа возникли в геометрии в качестве длин, площадей и объемов. Пифагоровское открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной продемонстрировало также и то, что «величин» больше, чем «чисел».

В дальнейшем величины стали действительными числами.

М Арифметические операции над целыми числами развивались от соединения двух кучек палочек и составления двух шестов с зарубками до регламентированных действий с систематизированными обозначениями. Алгебраические операции над действительными числами начинались с рисования и разглядывания рисунков, которые могли быть то планами местности или будущих строений, то изображениями евклидовских квадратов, окружностей и углов.

В XX веке историки математики спорили о том, правильно ли рассматривать значительную часть греческой математики как «геометрическую алгебру». Один из примеров геометрической алгебры –– рисунок, изображающий квадрат, разделенный двумя прямыми, параллельными двум перпендикулярным сторонам, на четыре части, две из которых также являются квадратами. Этот рисунок можно понять как геометрическую запись и доказательство алгебраического тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Наш модернизаторский подход к истории подсказывает необходимость рассмотрения нескольких режимов мышления, в особенности мышления, связанного с математикой. Вот основное разделение.

а) Сознательное манипулирование конечной и дискретной системой символов с явно зафиксированными правилами построения осмысленных строк символов и менее явными правилами, согласно которым некоторые строки признаются «интересными» (левое полушарие: лингвистическая и алгебраическая деятельность).

б) В большой степени подсознательное манипулирование со зрительными образами, неявно опирающееся на прошлый опыт и оценку вероятностей возможных результатов, но также использующее в качестве критерия равновесие, гармонию и симметрию (правое полушарие: пластические искусства, музыка, геометрия).

В сознании математика, занимающегося исследованием, эти два режима мышления должны сочетаться многими сложными способами. Это непросто, в частности, и потому, что скорости обработки информации в двух режимах чрезвычайно сильно различаются: порядка 10 битов в секунду для сознательной обработки символов и порядка 107 битов в секунду для подсознательной визуальной деятельности (см. [26]).

Возможно, именно из-за внутреннего напряжения, создаваемого этим (и другими) несоответствиями взгляды на два указанные режима мышления часто являются эмоционально окрашенными; два полушария рассматриваются как воплощения разных ценностей: холодный интеллект против теплого чувства, голая логика против проницательной интуиции. См. прекрасные статьи Дэвида Мамфорда [22] 24 Ч I. М и [23], в которых он красноречиво выступает за статистику и против логики, но при этом пользуется математической статистикой, которая, как и всякий раздел математики, построена в высшей степени логично.

Возвращаясь к действительным числам и «геометрической алгебре» греков, мы узнаем в ней пример правополушарного подхода к предмету, который в дальнейшем развился в нечто управляемое в основном левым полушарием. Мамфорд по этому поводу говорит, что современная алгебра представляет собой грамматику операций с объектами, являющимися по сути своей геометрическими, а греческая алгебра –– это ранний компендиум таких операций.

Возможно, влияние непрерывности греческого геометрического мышления как когнитивного феномена можно обнаружить не только в современной геометрии, но и в теоретической физике. В течение последних десятилетий из физики в математику шел такой мощный поток догадок, гипотез и изощренных конструкций, что был даже изобретен термин «физическая математика». Теоретическое мышление, на котором основано творческое использование фейнмановских интегралов, поражает нас богатством результатов, построенных на основе, которая по любым математическим критериям должна считаться весьма шаткой. Это можно рассматривать как дополнительную иллюстрацию того тезиса, что «геометрическая алгебра» существовала в реальности и не является исключительно результатом нашей реконструкции.

.2.3. ei = -1: повесть о трех числах. Не исключено, что формула Эйлера ei = -1 –– самая красивая одиночная формула во всей математике.

В ней в высшей степени неожиданным образом объединены три (или четыре, если включить в счет и -1) константы, открытые в различные эпохи и с очень разной мотивацией.

Говоря очень кратко, = 3,1415926… принадлежит (опять) к наследию греков. Само его существование как действительного числа (то есть как чего-то подобного длине отрезка или площади квадрата) нельзя осознать без дополнительного мыслительного усилия. Проблема квадратуры круга –– это не просто очередная геометрическая задача; это тест на легитимность с неясным результатом.

Напротив, число e = 2,718281828… является продуктом уже зрелой, хоть и не полностью развитой, западной математики (середина XVII века). Это –– теоретический побочный продукт, с одной стороны, изобретенных в это время таблиц логарифмов, являвшихся средством оптимизации численных алгоритмов (замена умножения сложениМ ем), и с другой стороны –– задачи о «квадратуре гиперболы». Никакие классические геометрические конструкции не приводили к числу e и не наводили на мысль о существовании соотношения между e и.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.