WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 54 |

Такой переход к формализму и полезен и опасен. Мы постулировали, что симметрия граничных условий ведет к симметрии равновесной формы. Вот совершенно аналогичный пример, когда это, очевидно, не так. Нагрузим упругий вертикальный стержень сжимающей силой; при некоторой критической величине нагрузки он изогнется. Направление изгиба в плоскости, перпендикулярной стержню, ничем не выделяется в первоначальной осесимметричной картине, но выделено, когда изгиб произошел. В таких ситуациях физики говорят о спонтанном нарушении симметрии: явление, подчиняющееся некоторым законам, менее симметрично, чем сами эти законы. Еще в нашей задаче мы забыли о решении, состоящем из двух плоских пленок, натянутых на каждый обруч в отдельности. Это напоминание о том, что, исследуя функционал V на таком бесконечномерном многообразии, как пространство поверхностей, нужно попробовать разобраться заранее в его геометрическом устройстве. Такими зада 90 Ч II. М чами занимается топология. Лишь в последние годы доставляемые ею геометрические образы стали применяться в физике, например, в квантовой теории поля появилось представление о «топологическом заряде». К сожалению, нам некогда этим заниматься. Математически обычно полезно считать основным уравнением V = 0, пусть с не до конца определенной областью существования функции V, подлежащей уточнению в ходе решения задачи. График V –– это бесконечномерный желоб, по которому движется, ища покоя, наша система.

Физически этот образ оправдан поразительно универсальным принципом, который можно сформулировать так: развитие во времени фундаментальных классических систем есть их равновесие в пространстве-времени. Более точно, кинематика системы определяется описанием множества ее виртуальных историй –– «пленок» в доступных ей пространственно-временных областях. На этих виртуальных историях определен функционал S размерности действия. Динамика системы описывается условием S = 0. Переход от размерности энергии (V) к размерности действия (S) связан, конечно, с добавлением временной координаты. Действие первично; энергия есть всего лишь его производная по времени. В следующей фундаментальной теории действие останется, тогда как энергия станет квазиклассической величиной.

Виртуальная история системы в пространственно-временной области U классически определяется сечением расслоения степеней свободы системы над этой областью. Если область представлена в виде объединения двух своих непересекающихся частей U1, U2, а история есть объединение историй 1 и 2, то действие равно сумме действий 1 и 2. Этому постулату удовлетворяют почти все используемые в классической физике функционалы действия. Стало быть, полное действие истории в области U можно записать в виде суммы действий по многим маленьким областям, покрывающим U в пределе в виде интеграла S() = L((x, y, z, t)) dx dy dz dt, U где () –– набор внутренних координат системы и их производных по пространству и времени. Функцию L (или ее интеграл по пространственным координатам) называют лагранжианом системы: это плотность действия. Если мы поместим в область пространства-времени две системы с лагранжианами L1, L2, то лагранжиан объединенной системы имеет вид L1 + L2 + L12, где третий член есть «плотность взаМ имодействия». Две системы не взаимодействуют, если этот член равен нулю.

Само пространство-время («вакуум») вносит в лагранжиан член, пропорциональный его кривизне. Поэтому пространство-время можно рассматривать на тех же основаниях, что и системы, включающие массивную материю или электромагнитное поле.

Роль действия в квантовой физике чрезвычайно прояснил Ричард Фейнман, основываясь на более ранней работе Дирака. Его идеи за отсутствием фундаментальной квантовой теории мы вынуждены сейчас формулировать как рецепт «квантования», т. е. перехода от классического описания некоторой физической системы к ее квантовому описанию. Согласно этому рецепту следует представлять себе, что в квантовое описание истории системы вносит свой вклад каждая классическая история, но со своим комплексным весом (фазовым множителем) eiS() (действие, конечно, измеряется в единицах h).

Поясним это подробнее. Фиксируем классическое поведение системы на границе области U, скажем, 1 и 2 в моменты времени t1 и t2.

Квантовая теория ставит в соответствие этим условиям –– «обручам для пленки» –– не классическую историю развития от 1 до 2, а комплексное число G(1, t1, 2, t2) –– амплитуду вероятности перехода из состояния (1, t1) в состояние (2, t2), квадрат модуля которой в принципе наблюдаем или входит в другие наблюдаемые величины. Предписание Фейнмана состоит в том, что эта амплитуда есть e-iS()D, где интеграл берется по бесконечномерному множеству классических историй, соединяющих (1, t1) и (2, t2); D вместо d служит напоминанием об этой бесконечномерности: это не дифференциал, а «элемент объема»! В предыстории интегрального исчисления важное место занимает замечательный труд Кеплера «Стереометрия винных бочек». Интегралы, выражающие объемы тел вращения, полезных в народном хозяйстве, были вычислены в этой работе до появления общего определения интеграла. Математическая теория великолепных интегралов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, все еще недалеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зрения математика, каждое такое вычисление есть заодно определение того, что «вычисляется», либо построение текста в формальном языке, грамматика которого заранее не описана. В процессе таких вычислений физик спокойно делит и умножает на бесконечности (точнее, на нечто, что, если бы оно было определено, вероятно, оказалось бы бесконечным); суммирует бесконечные ряды бесконечностей, предполагая при этом, что два-три члена ряда дают хорошее приближение 92 Ч II. М ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «моральные нормы».

Едва ли можно будет построить последовательную математическую теорию интегралов Фейнмана без прогресса в понимании физики.

Сама идея «квантования» принадлежит не физике, а истории и психологии науки –– содержательный смысл может иметь лишь «деквантование», т.е. переход от квантового описания к классическому, когда он разумен, но никак не наоборот. Классические поля, входящие в лагранжианы слабых и сильных взаимодействий, являются физическими фантомами: мы не знаем их смысла, помимо вторичного квантования, и неправдоподобно, чтобы они описывали виртуальные классические истории чего бы то ни было. (Считается, что с квантованием электромагнетизма дело обстоит лучше.) Конечномерные квантовые модели позволяют предположить, какие черты фейнмановской формулировки существенны, а какие являются атавизмом. Как было объяснено в третьей главе, оператор эволюции замкнутой локализованной квантовой системы за ее локальное время t имеет вид eiS(t), где S(t) –– на этот раз оператор размерности, действия. Представляя себе разные мировые линии системы с разными локальными временами, мы убеждаемся, что квантовое действие есть связность в пространстве внутренних степеней свободы системы, определяющая физически допустимые истории как параллельные переносы. Рецепты вторичного квантования –– это примитивное оформление представления о том, что из-за виртуального рождения частиц уже у вакуума пространство внутренних степеней свободы «в одной точке» бесконечномерно. Дальнейшее понимание блокируется, пока мы не отказались от идеи пространства-времени как основы всей физики.

«Симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в единое целое. Красота тесно связана с симметрией» (Г. Вейль).

Кроме этой цитаты, я не повторю ничего из написанного Германом Вейлем в его замечательной книге «Симметрия» (М.: Наука, 968). Ее нужно прочесть каждому, кто хочет пройти хотя бы часть дороги от восприятия симметрии как чувственной данности (цветы, орнаменты, кристаллы) до ее понимания как глубочайшей физикоматематической идеи.

Универсальный математический образ симметрии –– это группа G и ее действие на множестве X, например, группа Sn всех перестановок чисел (1, …, n). Действие есть отображение G X X, ставящее в соответствие паре (элемент группы g, точка множества x) элемент М множества gx (образ x под действием g). Все элементы вида gx при переменном g составляют орбиту x под действием группы. Сама группа G никогда не задана как физический объект –– мы можем вообразить твердое тело как чувственную данность, но множество всех его вращений есть идея, находящаяся на следующей ступени абстракции.

Омонимичность слов «действие» в контекстах «действие группы» и «действие отрезка виртуальной истории» в основных европейских языках есть случайное следствие смутного исходного представления об «изменении как результате делания», но в выражении для квантового оператора эволюции U(t) = e-iS(t) эта омонимия неожиданно приобрела глубокий смысл.

Отделение понятия абстрактной группы от понятия ее действия на множестве было одним из великих достижений математической мысли и оказалось очень важным для физики. Вообразим себе атом водорода в виде электрона, движущегося в центральном кулоновском поле около неподвижного ядра. Евклидова группа вращений вокруг ядра SO(3) действует на комплексном линейном пространстве квантовых состояний электрона. Оказывается, что все бесконечномерное пространство возможных связанных состояний разбивается на сумму конечномерных подпространств, на которых SO(3) действует по отдельности. Эти действия –– неприводимые линейные представления группы и суть возможные стационарные состояния атома водорода.

Их точное математическое описание объясняет спектр, квантовые числа и т.п. Аналогично группа Пуанкаре –– полная группа симметрии Мира Минковского –– действует на пространстве квантовых состояний воображаемой одинокой элементарной частицы в Мире, где кроме нее ничего нет. Как показал Юджин Вигнер, экспериментальная классификация элементарных частиц по их массе и спину вкладывается в классификацию (бесконечномерных) неприводимых представлений группы Пуанкаре. Это дало повод к шутке, что мир двадцатого века состоит не из четырех стихий –– огня, воздуха, земли и воды, а из неприводимых представлений некоторой группы.

Теоретическая физика последних десятилетий усиленно занималась поисками группы симметрии фундаментальных взаимодействий: их законы (лагранжианы) выступают как вторичный объект в математическом описании.

В физических изложениях, подчеркивающих скорее формализм, чем его теоретико-множественную интерпретацию, бывает иногда затемнено описание того, на чем действует группа симметрии. Вот два крайних случая, ведущих, по существу, к разной физике: а) группа симметрии G действует на фазовом пространстве системы и перево 94 Ч II. М дит в себя ее фазовый портрет; б) фазовое пространство X системы само представляется в виде множества орбит некоторого другого пространства Y под действием группы G.

К случаю а) принадлежит описание рассмотренного выше атома водорода. Дискретные инварианты неприводимого представления –– это квантовые числа соответствующего состояния, но сам вектор состояния в пространстве представления еще не определен однозначно, как в примере с изгибом стержня. Симметрия снова спонтанно нарушена. В схемах описания фундаментальных взаимодействий часто постулируют схему нарушения симметрии более слабым взаимодействием. Нарушение симметрии –– это тоже многозначный термин.

О спонтанном нарушении можно говорить, когда фазовый портрет системы симметричен, но не симметричны его отдельные траектории. Учет нового взаимодействия нарушает симметрию всего фазового портрета, ибо, вообще говоря, изменяет его. Но если это изменение невелико, то его можно учитывать приближенно, рассматривая как малое возмущение исходной симметричной картины.

К случаю б) относятся так называемые калибровочные теории.

Классическое поле материи в такой теории (объект, подлежащий вторичному квантованию) является не сечением расслоения внутренних степеней свободы, как мы говорили раньше, а целой орбитой таких сечений под действием калибровочной группы преобразований. Над одной точкой пространства-времени такая группа представляется некоторыми вращениями пространства внутренних степеней свободы, но эти вращения могут независимо и непрерывно меняться с изменением точки. Условие, чтобы лагранжиан теории был инвариантен относительно таких преобразований, накладывает на него очень жесткие требования, что резко ограничивает выбор лагранжиана. В суперсимметричных теориях, о которых мы вкратце говорили в первой главе, калибровочная группа может быть еще более общим объектом, перемешивающим, в частности, бозонные и фермионные поля. С калибровочными и суперсимметричными теориями сейчас связаны основные надежды на построение единой теории фундаментальных взаимодействий.

В заключение я хотел бы сказать несколько слов о теории чисел –– высоко развитой и обладающей изумительной красотой математической дисциплине, которая до сих пор не нашла никаких глубоких естественнонаучных приложений. Один из главных объектов ее изучения –– простые числа: целые положительные числа, не имеющие целых делителей, кроме себя и единицы. Еще в «Началах» Евклида содержится теорема о том, что простых чисел бесконечно М много (зная их конечную систему p1, …, pn, мы можем построить еще одно простое число как наименьший, отличный от единицы делитель числа p1…pn + 1). Это –– замечательное рассуждение при всей его краткости. Вот более свежий образец теоремы о простых числах. Обозначим через (n) (n-е число Рамануджана) n-й коэффициент ряда, который получится после формального разложения бесконечного произведения x (1 - xm)24. Если p –– простое число, m=то |(p)| < 2p11/2. Доказать это здесь никак невозможно; по оценке его автора, П. Делиня, чтобы изложить это доказательство, считая известным все, что знает студент третьего курса мехмата, понадобилось бы около двух тысяч страниц печатного текста. Вероятно, по отношению длины доказательства к длине формулировки эта теорема занимает рекордное место во всей современной математике.

Разумеется, вместе с ней мы поняли еще много интересных вещей –– для доказательства была создана большая новая теория («l-адические когомологии») и пришлось пользоваться двумя-тремя старыми (группы Ли, автоморфные функции...).

Замечательно, что самые глубокие идеи теории чисел обнаруживают далеко идущее сходство с идеями современной теоретической физики. Подобно квантовой механике, теория чисел доставляет совершенно не очевидные образы соотношения между непрерывным и дискретным (техника рядов Дирихле и тригонометрических сумм, p-адические числа, неархимедов анализ) и подчеркивает роль скрытых симметрий (теория полей классов, описывающая связь между простыми числами и группами Галуа полей алгебраических чисел).

Хочется надеяться, что это сходство не случайно, и мы уже слышим новые слова о мире, в котором живем, но только не понимаем пока их смысла.

Литература. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 97.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.