WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 54 |

84 Ч II. М Рассмотрим теперь более реалистическую модель, когда масса m сама сосредоточена в конечной области, радиус которой может быть больше радиуса Шварцшильда. Например, для Земли он имеет значение около 1 см, а для Солнца –– около 3 км. В этом случае труба Шварцшильда не имеет особого физического смысла. Но в процессе эволюции звезда достаточно большой массы может под влиянием собственного тяготения сколлапсировать, так что в какой-то точке K0 мировой линии ее центра радиус звезды сравняется с радиусом Шварцшильда и затем станет убывать. Отрезок трубы Шварцшильда после точки Kбудет пространственно-временной областью, не доступной внешнему наблюдению. Четырехмерная картина того, что увидит внешний наблюдатель, будет примерно такой. Приходящая пола светового конуса наблюдателя в любой точке наблюдения пересекается с мировой трубой звезды, но это пересечение всегда происходит раньше точки K0.

Иначе говоря, локальное время вдоль того конца луча, который воспринимает наблюдатель, будет стремиться к бесконечности, тогда как локальное время вдоль звезды, испускающей луч, будет стремиться к конечной величине, отвечающей точке K0 (напомним, что локальное время –– это длина соответствующей мировой линии). «По часам наблюдателя коллапс длится бесконечно долго».

Еще раз повторим, как соотносится с четырехмерной картиной ее видимый образ на небосводе наблюдателя. В искривленном Мире к и без того сложному процессу перевода добавляется лишний шаг –– построение плоского Мира, касательного к искривленному в точке, где находится мгновенный наблюдатель. Чтобы получить на своем небосводе точку видимого образа звезды S, наблюдатель должен:

а) построить в кривом четырехмерии приходящую световую геодезическую, соединяющую его положение с мировой линией звезды;

б) провести к этой геодезической касательную полупрямую в плоском Мире, касающемся кривого Мира в точке, где находится наблюдатель;

в) в плоском же Мире провести касательную к мировой линии наблюдателя; г) построить в этом плоском Мире мгновенное физическое пространство наблюдателя; д) спроецировать на него касательную к лучу от звезды.

Так движутся «тени идей» на стене Пещеры.

Спиноры, твисторы и комплексный Мир. Если согласиться с идеей, что точка пространства-времени есть идеализация классического образа «мельчайшего события», то мы неизбежно придем к необходимости рассматривать и другие геометрические модели по мере возрастания знаний о том, какими характеристиками обладают М такие события. Скажем, акт поглощения фотона далеко не полностью характеризуется указанием, в какой точке Мира он произошел, –– нужно указать энергию и поляризацию фотона. Положение электрона на своей мировой линии также еще не определяет полностью его состояние –– нужно указать направление его спина.

Хотя и поляризация, и спин являются квантовомеханическими внутренними степенями свободы, замечательно, что их геометрическое описание автоматически и очень естественно встроено в геометрию Мира. Именно, значение поляризации или спина в точке Мира –– это луч в двумерном комплексном пространстве, или точка на сфере Римана CP1. Оказывается, что эту сферу Римана можно совершенно однозначно отождествить с абсолютным небосводом этой точки, который, как мы объясняли выше, также является сферой Римана. Поэтому для каждого Мира можно рассмотреть расши ренный Мир, одна точка которого является парой (точка, точка абсолютного небосвода над этой точкой ). Имеется естественное отображение, превращающее в расслоение над со слоем CP1. Если заменить здесь каждое CP1 на двумерное комплексное пространство, из которого CP1 получается как пространство лучей, мы придем к знаменитому спинорному пространству Дирака.

Мировую линию частицы со спином, скажем электрона, естествен но представлять себе как линию именно в, а не в. Лучи света тоже, естественно, поднимаются в : в каждой своей точке такой луч определяет точку на соответствующем небосводе, куда он направлен;

множество таких пар в и есть образ луча в. Р. Пенроуз предложил рассмотреть замечательное пространство H, которое получа ется, если в каждый луч стянуть в одну точку. Математически H называется фактор-пространством по отношению эквивалентно сти, определенному лучами в. Чтобы понять устройство H, разбе рем случай, когда –– плоский мир Минковского. Тогда в никакая точка не лежит на пересечении лучей (в отличие от ) и каждый луч с каждым небосводом либо совсем не пересекается, либо пересекается в одной точке. Поэтому каждый небосвод CP1 просто вкладывается в H без самопересечений, а некоторые небосводы попарно не пересекаются. Простейшее пространство, куда можно уложить много проективных комплексных прямых, –– это проективная комплексная плоскость CP2. Но она не может быть кандидатом на роль H, ибо любые две прямые в CP2 пересекаются. На самом деле H лежит в CP3 –– проективном комплексном трехмерном пространстве, или пространстве проективных твисторов. Правда, небеса над точками мира Минковского –– это не все прямые в CP3, а лишь их часть, лежащая на 86 Ч II. М пятимерной гиперповерхности (всё CP3 шестимерно). Очень полезно ввести дополнительные «идеальные» точки плоского мира, небеса над которыми отвечают недостающим прямым в CP3. Получится комплексное компактное пространство—время Пенроуза C –– в нем координаты точек могут быть любыми комплексными числами и, сверх того, имеется еще целый комплексный световой конус, «лежащий на бесконечности».

Может ли такая абстрактная конструкция иметь какое-либо отношение к физике По-видимому, ответ должен быть утвердительным.

Один из аргументов состоит в открытой сравнительно недавно аналогии между квантовой теорией поля и статистической физикой. Если в основных формулах квантовой теории поля чисто мнимую координату ict заменить вещественной, то, грубо говоря, они перейдут в основные формулы статистической физики (роль ict играет обратная температура). Такая замена геометрически означает переход от мира Минковского с неопределенной метрикой к трехмерному миру Евклида с метрикой «сумма квадратов». Этот мир благополучно помещается в C, нужно лишь развернуть временную ось в на 90. Все остальные точки C получаются в результате интерполяции между мирами Евклида и Минковского, и, видимо, описания многих важных событий допускают аналитическое продолжение с на C или на часть C. Стандартный пример –– сопоставление «туннельного перехода» квантовой механики с классической эволюцией системы в мнимом времени.

Сам «рай Пенроуза» H = CP3 (пространство, где помещаются все небеса, но ничего не осталось от пространства-времени, естественно назвать раем), как оказалось совсем недавно, очень полезен для изучения уравнений Максвелла и их обобщений –– уравнений Янга–– Миллса, которые, как теперь предполагается, описывают глюонные поля, связывающие кварки в нуклоне. Имеются глубокие физические основания считать, что мир, заполненный лишь излучением (или частицами, летящими с околосветовыми скоростями, почти вдоль световых конусов), должен лучше описываться в терминах геометрии H, чем уже привычного нам вещественного четырехмерия.

К пространству-времени нас привязывает масса, она мешает нам лететь со световой скоростью, когда время останавливается, а пространство теряет смысл. В мире света нет ни точек, ни мгновений;

сотканные из света существа жили бы «нигде» и «никогда», лишь поэзия и математика способны говорить о таких вещах содержательно.

Одна точка CP3 есть вся история жизни свободного фотона –– самое маленькое «событие», которое может произойти со светом.

М Пространство-время, гравитация и квантовая механика. Самое важное, что следует усвоить при обдумывании взаимоотношений между нашими моделями классического Мира и квантовомеханическими принципами описания материи, состоит в том, что мы очень плохо понимаем эти взаимоотношения. Основные принципы описаний взаимно несогласованы.

Вот один из примеров расхождений. Пытаясь отметить точку Мира на мировой линии частицы массы m, мы не можем сделать это с мень2Gm шей ошибкой, чем радиус Шварцшильда этой массы. Поэтому, cпытаясь увеличить точность, мы должны пользоваться частицами как можно меньшей массы. С другой стороны, как заметили Ландау и Пайерлс, из соотношения неопределенности для пары (координата, импульс) и ограниченности всех скоростей скоростью света следует, h что неопределенность положения не может быть меньше, т. е. увеmc личение точности требует использования частиц как можно большей массы! Оба предела сравниваются при массе, которая находится из h 2Gm равенства =, т. е. как раз массе Планка. Этот общий предел mc cесть планковская длина. Значит, планковская единица длины (напомним, что ее порядок равен 10-33 см) указывает границы, за пределами которых заведомо неприменимо представление о пространственновременной области, способной быть носителем элементарного события. События, изучаемые на современных ускорителях, происходят в гораздо больших областях, но все же предел локализации в рамках современных теорий указывается четко.

Квантовые принципы еще многими способами мешают представлять точку Мира как элементарное событие. Свободная квантовая частица с фиксированным четырехмерным импульсом k не локализована нигде –– она «равномерно размазана по Миру», ее пси-функция есть плоская волна де Бройля eikx. Две тождественные квантовые частицы должны описываться пси-функцией, зависящей от двух точек Мира:

симметричной для бозонов и антисимметричной для фермионов. Но это буквально означает, что в одной точке Мира вообще ничего не может «происходить», точнее говоря, через пси-функции материи и полей одна точка неразрывно связана со всеми остальными.

Образ вещественного четырехмерного Мира с метрикой Минковского в будущей теории может оказаться чем-то вроде квазиклассического приближения к бесконечномерному комплексному квантовому Миру. Например, в геометрической оптике, являющейся приближением к волновой, есть понятие каустики –– множества точек, где ин 88 Ч II. М тенсивность излучения в этом приближении бесконечна. Заманчиво представлять себе четырехмерный Мир как своего рода каустическое многообразие квантового волнового бесконечномерия. Наши затруднения с бесконечной плотностью энергии вакуума прекрасно разрешились бы в этой схеме.

Группа Лоренца является странной группой с вещественной точки зрения, но если заменить ее на SL(2, C) –– группу комплексных (2 2)-матриц, мы получаем очень естественный объект –– группу симметрии простейшего мыслимого пространства состояний квантовой системы. Не значит ли это, что спиновые степени свободы являются более фундаментальными, чем пространственно-временные В группе SL(2, C) таинственное для нас разделение Мира на пространство и время содержится неявно, и потому его существование «объясняется» на основе принципов, не предполагающих такого разделения заранее. Более того, как мы видели, Мир без массы можно получить из SL(2, C) (или ее обобщения SL(4, C)) и не вводя пространствавремени. Точки нашего четырехмерного Мира, или, лучше, его мелкие области, отмечены событиями, которые происходят с массивной материей. Возможно, и масса, и пространство-время есть результат спонтанного нарушения симметрии основных законов.

Такую теорию трудно придумать. Мы все еще пытаемся квантовать классическую Вселенную как атом водорода, вместо того чтобы пытаться получить ее образ как предел квантового описания. Может быть, первая квантовая модель Мира, скажем, вблизи Большого Взрыва, будет совсем простой математически, и лишь привычки инертного ума мешают нам угадать ее сейчас. Хотелось бы дожить до времени, когда такая модель будет предложена и принята.

5. Действие и симметрия Физика там, где есть Действие.

Неизвестный автор Шарик, катающийся в желобе под действием собственного веса, –– простейшая физическая система. Состояние покоя –– его простейшая история. Шарик может покоиться лишь в тех точках желоба, где касательная к желобу горизонтальна, иначе он скатится под уклон. Зададим положение шарика горизонтальной координатой x и обозначим через V(x) его потенциальную энергию (пропорциональную высоте желоба) в точке x. Точки x, в которых шарик может покоиться, –– это dV решения уравнения = 0 или dV = 0; приращение функции при маdx М лом удалении от такой точки имеет высший порядок малости по сравнению с приращением координаты. В этих точках V стационарна.

Второй пример –– мыльная пленка, натянутая, скажем, между двумя проволочными окружностями. Равновесная форма покоящейся пленки определяется тем, что при малых изгибах ее энергия поверхностного натяжения V меняется на величину высшего порядка малости по сравнению с некоторой естественной мерой величины изгиба. Энергия поверхностного натяжения V пропорциональна площади пленки, так что форма покоящейся пленки есть состояние, в котором площадь стационарна. Функция (или функционал) V в этом случае определена не на числах x, а на всевозможных поверхностях, натянутых на заданный контур. Вместо дифференциала dV принято писать «первую вариацию» V.

Пусть, например, проволочные обручи радиусов r и R находятся в параллельных плоскостях на расстоянии l, и линия, соединяющая их центры, перпендикулярна этим плоскостям. Она является осью симметрии контура, и потому следует ожидать, что равновесная форма пленки будет поверхностью вращения кривой q(x) с условиями q(0) = r, q(l) = R. Примем это; тогда энергия V пропорциональна l dq 2 1/площади 2 q(x) 1 + dx и уравнение V = 0 можно пеdx реписать:

d2q dq -q + + 1 = dx2 dx и затем решить его с поставленными граничными условиями.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.