WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 54 |

Фазовое пространство. Фазовое пространство замкнутой квантовой системы есть множество лучей (одномерных подпространств) в комплексном линейном пространстве, в котором задано также скалярное произведение. В этом постулате выражены: а) принцип линейной суперпозиции; б) принцип «ненаблюдаемости фазы». Вместо целой прямой в, описывающей состояние системы, обычно рассматривают один вектор, лежащий в этой прямой. Он определен только с точностью до умножения на комплексное число. Если даже нормировать его условием, чтобы его длина была равна единице, все еще останется произвол в выборе множителя ei. Это и есть «ненаблюдаемая фаза».

Фазовые кривые. Чтобы описать их, мы должны объяснить, как каждый луч в меняется со временем t, изображая эволюцию замкнутой системы. Стандартное описание таково: а) в имеется N попарно ортогональных лучей, которые вообще не меняются: они соответствуют стационарным состояниям системы (здесь N –– размерность ; как и в главе, мы для простоты рассматриваем лишь конечномерный случай); б) каждому из стационарных состояний j отвечает величина Ej, имеющая размерность энергии, энергетический уровень соответствующего стационарного состояния. Если в ну левой момент времени система находилась в состоянии ajj, то j через время t она будет находиться в состоянии (t) = ajjeE t/ih.

М Заметим, что Ejt имеет размерность действия и, естественно, измеEt Et h ряется единицей Планка h. Поскольку eEt/i = cos - i sin, каждое h h слагаемое здесь периодично по времени, в сущности, описывает движение по окружности со своей угловой скоростью. Их сумма, таким образом, изображает вращение вокруг N осей с разными скоростями.

Траектории таких двумерных движений –– это известные фигуры Лиссажу. Другой образ из давней истории науки –– эпициклы Птолемея, также приводившие к сумме круговых движений. Любая координата вектора (t) испытывает со временем частые и исключительно нерегулярные колебания; график уже такой простой функции, как cos(n2t) выглядит как сейсмограмма. Удобно записывать (t) в виn=де e-iS(t)(0), где S(t) –– линейный оператор «действие за время t».

Наблюдение: печки, фильтры и квантовые скачки. Классическая идеализация наблюдателя, способного фиксировать мгновенное положение системы на ее фазовой кривой, заменяется радикально новой системой понятий. Назовем их сначала не общеупотребительными словами, чтобы не создавать иллюзий. Сильно идеализированные предположения о связи описанной схемы с реальностью состоят в том, что для каждого состояния можно сделать физический прибор («печку») A, производящий систему в состоянии. Сверх того, для каждого состояния можно сделать прибор («фильтр») B, на вход которого подаются системы в состоянии, а на выходе обнаруживаются они же в состоянии или не обнаруживается ничего («система через фильтр не проходит»). Третий основной (после принципа суперпозиции и закона эволюции) постулат квантовой механики состоит в следующем: система, приготовленная в состоянии и сразу же после этого пропущенная через фильтр B, пройдет через него и окажется в состоянии с вероятностью, равной квадрату косинуса угла между лучами и в.

Если между приготовлением системы в состоянии и ее пропусканием через фильтр B прошло время t, то вероятность будет равна квадрату косинуса угла между eiS(t) и. Пока с системой ничего не делают, она движется по своей фазовой кривой. Но как только ее подают на фильтр, пропускающий лишь системы в состоянии, вектор ее состояния скачком меняется –– он либо доворачивается на угол между и и система проходит через фильтр, либо фильтр ее задерживает. Система, прошедшая через фильтр B, не несет никаких следов памяти о состоянии, с которым она вошла в фильтр, –– может получиться из чего угодно.

74 Ч II. М Если, имеют единичную длину, то «вероятность перехода» от к обозначается | ||2, а само скалярное произведение | называется амплитудой перехода. Поскольку фазы и не определены, не определен и аргумент комплексного числа | –– однозначный смысл имеют лишь разности аргументов, скажем, 1| и 2 |.

Квадрат модуля суммы двух комплексных чисел зависит не только от самих чисел, но и от угла между ними, т. е. разности их аргументов.

Это –– «интерференция амплитуд».

Взаимодействие системы с фильтром B –– частный случай того, что в квантовой механике называют наблюдением, или измерением. Более общая схема получается, если представить себе, что систему подают на набор фильтров B, …, B, где 1, …, n –– 1 n некоторая полная совокупность ортогональных базисных векторов;

эти фильтры следует представлять себе расположенными «параллельно», так что через какой-нибудь из них система пройдет и окажется в состоянии j. С таким набором фильтров связывают представление о некоторой физической величине B, которая в состояниях 1, …, n принимает значения b1, …, bn соответственно, и говорят, что акт измерения, или наблюдения, приводит к значению bj величины B на состоянии, если прошла через фильтр B. Матеj матическим представителем системы фильтров B или величины B j принято считать линейный оператор, который переводит вектор xj в вектор bj xj для всех j. Все такие линейные операторы, осуществляющие растяжение по N взаимно ортогональным направлением с вещественными коэффициентами, называют наблюдаемыми.

Приведем в качестве иллюстрации идеализированное описание эксперимента Штерна––Герлаха по квантовому измерению момента количества движения (спина) ионов серебра. Гильбертово пространство, соответствующее спиновым степеням свободы этой системы, двумерно. Серебро испаряется в электрической печке; ионы коллимируются небольшим отверстием в экране, и получившийся пучок пропускается между полюсами магнита, создающего неоднородное магнитное поле. В пучке ионы находятся во всевозможных спиновых состояниях, но, проходя через магнитное поле имеют тенденцию «сваливаться» в одно из двух стационарных состояний +, - в этом поле, которые по традиции называются состояниями со спином «вверх» и «вниз», если магнитное поле вертикально. На выходе из области поля эти состояния из-за неоднородности поля оказываются пространственно разделенными –– пучок делится пополам. Таким образом, магнитное поле действует как совокупность фильтров.

М Итак, квантовое «наблюдение», по сути дела, не имеет ничего общего с классическим наблюдением: а) акт «наблюдения» почти неизбежно выбивает систему с ее фазовой траектории; б) акт «наблюдения» позволяет зарегистрировать в лучшем случае новое положение системы на фазовой кривой, но не то, на котором она находилась к моменту наблюдения, память о чем теряется; в) новое положение системы лишь статистически определяется старым; наконец, г) среди квантовых «наблюдаемых» имеются (и в действительности играют основную роль) физические величины, которым не отвечают никакие классические наблюдаемые.

Сопоставление между значениями квантовых и классических наблюдаемых может быть лишь очень непрямым. Например, квантовой наблюдаемой B можно поставить в соответствие ее среднее зна чение B на состоянии (в смысле статистического усреднения).

Оно оказывается равным |B| (если || = 1). (Читатель может принять запись просто за новое обозначение.) Среднее значение эту B = (B - B)2| тогда измеряет разброс значений B относительно среднего значения B на состоянии. Пусть B, C –– две наблюдаемые величины, [B, C] = (BC - CB). Можно показать, что «теорема i Пифагора» в приводит к неравенству B · |[B, C] |, которое является математическим выражением соотношения неопределенностей Гейзенберга. Оно чаще всего применяется к парам на блюдаемых B, C, для которых [B, C] сводится к умножению на h. То гда неравенство принимает более привычный вид: B · h/2 все равно на каком. Заметим, что если конечномерно, таких пар наблюдаемых нет; соотношение неопределенности обычно применяется к квантовым аналогам пар классических наблюдаемых (координата и проекция импульса на соответствующую ось, энергия и время).

Объединение квантовых систем. Уже говоря о классическом наблюдении, мы отметили, что попытка детального описания подразумевает включение наблюдаемой системы S в большую систему (S, T).

Поэтому следует подозревать, что необычные свойства квантовых наблюдений удается лучше понять, разобравшись в принципах квантового описания объединенной системы.

Относящийся к этому постулат квантовой механики состоит в том, что пространство состояния S,T объединенной системы есть некото 76 Ч II. М рое подпространство тензорного произведения S T (если S и T бесконечномерны, то это произведение нужно пополнить; эти тонкости мы опускаем). Какое именно подпространство S T нужно взять, решается на основе дальнейших постулатов. Пока рассмотрим случай (S,T) S T. Уже сама формулировка математической модели показывает возможность совершенно неклассических связей между «частями» S и T объединенной системы. В самом деле, оказывается, что для подавляющего большинства состояний (S, T) нельзя сказать, в каком состоянии находятся S и T «по отдельности», так что представление о частях оказывается имеющим очень ограниченный смысл. Действительно, в S T имеются разложимые состояния S T где S S, T T. Когда система (S, T) находится в одном из таких разложимых состояний, мы имеем основания говорить что она состоит из S в состоянии S и T в состоянии T. Но уже для состояния S T + S такое утверждение несостоятельно.

T Между тем принцип суперпозиции позволяет строить такие состоя ния (i) (i) в большом количестве. Множество разложимых соS T i стояний имеет размерность m + n, а всех –– размерность mn, где mn –– размерности S и T соответственно, т. е. почти все состояния (S, T) неразложимы. В подавляющем большинстве состояний (S, T) подсистемы S и T существуют лишь «виртуально».

Эта неклассическая связь между частями объединенной системы часто не может объясняться на основе классических представлений о том, что связь частей системы осуществляется через обмен энергией между ними. Действительно, имеется фундаментальный случай объединения двух тождественных систем S и T, когда в фазовом пространстве объединенной системы вообще нет ни одного разложимого состояния. Пусть S –– фермионная элементарная частица, скажем, электрон, T –– другая такая же частица. Тогда S,T есть собственное подпространство S T = S S, состоящее из векторов, меняющих знак при перестановке S и T, –– это линейные комбинации векторов 1 2 –– 2 1. Легко убедиться, что каждое состояние системы двух электронов неразложимо. Векторов, в частности, в фазовом пространстве нет; в популярном изложении говорят, что два электрона не могут находиться в одинаковом состоянии;

это основа существования стабильных атомов и, в конечном счете, материального мира, окружающего человека. Однако почти невозможно объяснить словами «квазиразложимые» состояния 1 2 –– 2 1. Говорят, что один из электронов находится в состоянии 1, а другой –– в состоянии 2, но нельзя сказать, «который» из них М в каком состоянии. Наконец, естественный язык оказывается уже в безвыходном положении, когда нужно объяснить разницу между объединением двух тождественных фермионов и двух тождественных бозонов, где фазовое пространство (S,S) состоит из симметричных относительно перестановок векторов в S S, т. е. объяснить, что «различными, но неразличимыми» две системы могут быть двумя разными способами (уже и один способ причинял массу хлопот натурфилософии).

Здесь уместно сделать отступление о «естественном языке». В действительности наши представления о «классической» и «неклассической» физике очень тесно связаны с представлением о том, что можно и что нельзя адекватно выразить простыми словами. Положение дел здесь очень нетривиально. Не только популяризатор, но и работающий физик часто стремится объяснить новое явление, закон или принцип «на пальцах». Нужно лишь отдавать себе отчет в том, каково место такого объяснения. Оно призвано: а) назвать и быть способным вызвать из памяти соответствующий фрагмент точной теории с математическими формулами, структурами и т. п., подобно тому, как действует код команды в алгольной программе, включая процесс выполнения этой команды, который и составляет ее смысл; б) включить процесс порождения ассоциаций, т. е. помочь обнаружить, что нечто похоже на нечто другое; в) создать в мозгу структуру интуитивных представлений о предмете, значение которой состоит не в замене точного знания о нем, а в формировании ценностных принципов и возможности быстрых оценок –– что искать дальше, в каком направлении думать, что правдоподобно и что неправдоподобно. (В частности, в этом польза популяризации для ученых другой специальности.) Мы должны подчеркнуть еще раз следующую точку зрения: семантикой словесного описания какого-то фрагмента физики является, в общем, не соответствующий комплекс явлений природы, а соответствующий фрагмент теории, семантика которой, в свою очередь, эксплицируется через другие фрагменты теории, операциональные предписания и т. п. Тем не менее, побуждение интерпретировать непосредственно языковые выражения может оказаться исключительно плодотворным. Так были открыты кварки: когда выяснилось, что пространство некоторых внутренних степеней свободы нуклона разлагается в тензорное произведение трех подпространств, возник соблазн рассматривать эти три подпространства как внутренние степени свободы трех новых частиц, из которых состоит нуклон. Эти частицы и суть кварки u, d, s (они «открыты, но не обнаружены в свободном состоянии»).

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.