WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 54 |

Один из них связан со спектром спина –– внутреннего момента количества движения элементарных частиц. Спин имеет ту же размер ность, что и действие, и состоит из целых кратных h/2 = h/4. Не означает ли это, что спин есть истинно фундаментальная величина, а действие –– лишь пережиток классической физики Второй контекст –– это знаменитое соотношение неопределенностей Гейзенберга. Квантовые модели определяют разбиение системы классических величин на пары сопряженных: координата –– проекция импульса, энергия –– время. Размерность произведения сопряженных величин есть размерность действия. Принцип неопределенности в словесной формулировке утверждает, что оба члена пары сопряженных величин не могут одновременно принимать точного значения ни на каком состоянии систем. Произведение неточностей ограничено снизу величиной h/2. Применяя этот принцип к энергии и времени, мы получаем формально соотношение E t h/2, содержательный смысл которого многократно обсуждался в физической литературе.

С нашей точки зрения, оно означает, что представление о классическом отрезке истории системы, на котором действие меняется меньше чем на h/2, лишено смысла. Позже мы подробнее обсудим трудный вопрос о сравнительном смысле одноименных классических и квантовых величин.

в) Масса. По Ньютону, значения инертной массы можно приписать стабильным материальным телам. Наименьшие объекты, к которым ньютоновское понятие массы еще применимо без принципиальных оговорок, –– электрон и протон. Они приводят к двум точкам на спекМ тре масс (кроме нуля): me и mp. Характерная масса человеческих масштабов определяется с помощью числа Авогадро –– 6,02 · 1023 mp. Отношение mp/me 1840 является первым истинно фундаментальным числом, которое мы до сих пор встретили, в отличие от точек спектра, которые числами, строго говоря, не являются.

Теория, которая его объяснит, наверное, будет важной теорией.

Другие элементарные частицы определяют другие точки на спектре масс; измеряя их в единицах me или mp, мы получаем кучу чисел, нуждающихся в теоретическом объяснении.

г) Гравитационная постоянная. Если две точечные массы m1 и mнаходятся на расстоянии r друг от друга и притягиваются с силой F, обусловленной только ньютоновским гравитационным взаимодейFrствием, то величина не зависит от m1 и m2. Она была открыта m1mНьютоном и обозначается G.

Последний пример идейно сложнее предыдущих: для введения G мы должны явно апеллировать к «физическому закону». Кроме того, мы получили точку нового спектра –– спектра констант связи фундаментальных взаимодействий, к которым относятся еще электромагнитное, сильное и слабое взаимодействия.

В этом месте пора ввести следующую крупную группу физических абстракций.

Физический закон, размерность и подобие. Для нужд этого пункта под «физическим законом» будем понимать содержание таких m1mформул, как F = ma, F = G (Ньютон), E = hv (Планк), E = mcr(Эйнштейн) и т. п. Физическая теория, скажем, механика Ньютона или электромагнитная теория Максвелла, с математической стороны включает в себя указание следующих данных: а) основные величины теории; б) основные связывающие их законы. Кроме того, с операциональной стороны, должны быть описаны: в) физические ситуации, в которых можно применять теорию; г) принципы сопоставления теоретических высказываний с измерениями и наблюдениями.

Мы занимаемся лишь первой частью. Зная величины и связывающие их законы, мы можем построить фундаментальную математическую характеристику теории –– ее группу размерностей D. На математическом языке это абелева группа, которую можно задать образующими и соотношениями: образующие –– это физические величины теории, а соотношения определяются условием, чтобы все законы теории были однородными. Класс величины в группе D называется размерностью этой величины. Можно выбрать основные вели 62 Ч II. М чины, которые в группе D составят независимую систему образующих; размерности остальных величин теории будут выражаться через них в виде формальных одночленов. Единицы основных величин определят единицы остальных. (Все это –– сжатое изложение принципов, лежащих за такими школьными обозначениями, как, например, см/с2.) Мы отметим несколько обстоятельств, в которых явное введение группы помогает разобраться в существе дела.

Группа размерностей ньютоновской механики. Она порождена размерностями длины L, времени T и массы M. Закон F = ma показывает, что сила имеет в этой группе размерность MLT-2, энергия (сила длина) –– ML2T-2, а действие (энергия время) –– ML2T-1.

Прогресс физики постоянно сопровождается двумя противоположными процессами: увеличением группы размерностей D в силу открытия величин новой природы (электромагнетизм после Ньютона;

новые квантовые величины, такие, как «странность», «очарование», в наши времена) и уменьшением этой группы в силу открытия новых законов, которые дают соотношения между прежде независимыми размерностями.

Чтобы понять этот второй процесс, вернемся к ньютоновской гравитационной постоянной G. Размерность ее есть по предыдущим правилам сила (длина)2 (масса)-2 = M-1L3T-2. Ее числовое значение, таким образом, зависит от выбора единиц массы, длины и времени.

Постоянна же она в том смысле, что после выбора таких единиц ее числовое значение, полученное по формуле Fr2(m1m2)-1, где F, r, m1, m2 измеряются в разных экспериментах типа эксперимента Этвеша или вычисляются по данным астрономических наблюдений, не зависит от переменных величин этих экспериментов: r, m1, m2.

После установления этого физического факта мы можем использовать его для построения уменьшенной группы размерностей D теории «механика Ньютона» + «гравитация Ньютона». Эта уменьшенная группа математически является фактор-группой D по подгруппе, порожденной всеми степенями M-1L3T2. В качестве основных размерностей в D можно выбрать любую пару (ML), (MT) или (LT), а оставшуюся размерность выразить через эту пару и размерность G.

Соответственно число основных единиц, отвечающих D, уменьшается до двух, если выбрать G в качестве единицы измерения размерности M-1L3T2. На этом примере также виден физический смысл отмеченных точек спектров: это точки, воспроизводимые в серии экспериментов некоторого типа, изолирующих определенные взаимодействия, системы определенного сорта и т. д.

М Масштабная инвариантность. Группу подобия, или масштабной инвариантности, D данной теории с математической точки зрения можно определить как состоящую из характеров группы размерностей D, т. е. из отображений группы D в положительные вещественные числа со свойством мультипликативности: (d1d2) = (d1)(d2) для всех dl, d2 D. Эта группа имеет прямой физический смысл: она показывает, в какой пропорции можно увеличивать (или уменьшать) разные характеристики явления, не выводя его за пределы применимости теории. Если все законы теории известны, D вычисляется тривиально. Польза D состоит в том, что иногда ее можно угадать из физических соображений до того, как становится известным точный вид этих законов. Тогда оказывается, что D несет о них важную информацию. Известный пример классического открытия, сделанного таким способом, –– закон Вина (, T) = 3F(/T) для испускательной способности абсолютно черного тела как функции частоты и температуры. Он отвечает характеру ([]) = a, ([]) = a3, ([T]) = a в группе D, где [], [v], [T] –– соответствующие размерности; a –– любое вещественное число. Можно упомянуть еще соображения Галилея о размерах животных и многочисленные приложения теории подобия в гидро- и аэродинамических расчетах. На уровне фундаментальных теорий группа D является простейшим примером групп симметрии, которые в физике элементарных частиц и в квантовой теории поля все чаще выступают в роли самостоятельных физических законов высшего уровня, накладывающих жесткие ограничения на вид законов следующего уровня, например лагранжианов. Важнейшие из этих групп –– некоммутативные и комплексные, как группы унитарных вращений U(n), потому что в квантовой механике основные величины лежат в многомерных комплексных пространствах, а не одномерных вещественных. На это уже другая история.

Планковские единицы и проблема единой физической теории. В ньютоновской физике нет других естественных единиц, кроме G. Скорость света c может быть объявлена естественной единицей лишь внутри новой теории, постулирующей ее особую роль как верхнего предела скоростей распространения материальных тел (недостижимого) или сигналов (достижимого), как инварианта относительно смены инерциальной системы координат, и т. п. Подобным же образом планковская единица действия h стала гербом новой физической теории –– квантовой механики.

Однако c и h, так же как G, имеют вполне определенные размерно сти в ньютоновской группе D: LT-1 для c и ML2T-1 для h. Выбрав G, c 64 Ч II. М и h в качестве основных единиц соответствующих размерностей, мы обнаруживаем, что имеется естественный масштаб, делающий значения всех вообще физических величин, выразимых в D, вещественными числами, т. е. имеются естественные единицы всего на свете! В самом деле, размерности M-1L3T-2(G), LT-1(c) и ML2T-1(h) порождают всю группу D (если уж быть совсем точным, то они порождают подгруппу индекса два). В частности, естественные единицы длины, времени и массы –– знаменитые единицы Планка –– суть:

L = (hG/c3)1/2 = 1,616 · 10-33 см;

T = (hG/c5)1/2 = 5,391 · 10-44 с;

M = (hc/G)1/2 = 2,177 · 10-5 г.

У читателя должен возникнуть вопрос –– почему же мы ничего не измеряем в планковских единицах Прагматический ответ: потому что они определяют совершенно несуразные масштабы. Боровский радиус равен 3,9 · 10-11 см: L меньше него на 22 порядка! Во столько же раз T меньше времени, за которое свет проходит боровский радиус. С другой стороны, M –– это масса вполне макроскопической пылинки, содержащей примерно 1019 протонов. Планковская единица плотности M/L3 равна 5 · 1093 г/см, ничего отдаленно подобного этому ни в каких условиях мы не можем даже вообразить.

Более содержательное замечание состоит в том, что у нас на самом деле нет единой физической теории, в которой бы фигурировали одновременно G, c и h. Уже теории, соединяющие эти константы попарно, являются крупнейшими достижениями двадцатого века:

(G, c) –– это общая теория относительности; (c, h) –– это релятивистская квантовая теория поля, сравнительно завершенная лишь для электромагнитных взаимодействий. К фрагментам будущей (G, c, h)теории относятся расчеты квантового рождения частиц в сильных классических гравитационных полях, в частности, вблизи черных дыр малой массы (С. Хокинг). Пока полностью квантовой (G, c, h)теории не существует, планковские единицы остаются отдаленными пограничными столбами обширной неисследованной территории.

Можно посмотреть на это странное несоответствие порядков величин естественных единиц друг с другом и с привычными единицами с другой точки зрения. В гипотетических фундаментальных уравнениях единой теории –– «всеобщей теории всего» (Станислав Лем) –– разные члены (теперь безразмерные числа!) будут принимать (благодаря этому несоответствию) очень резко отличающиеся по величине значения в зависимости от масштабов области пространства (времени, М импульсов, энергий), в которой помещаются изучаемые нами явления. Самые маленькие члены можно будет отбросить с ничтожной ошибкой, придя к одной из приближенных теорий. Так и происходит на границах применимости известных ныне моделей, когда мы описываем мир классически, в человеческих масштабах (считая v/c = и h/S = 0, где v –– типичные скорости; S –– типичные действия) или не учитываем гравитацию в микромасштабах, полагая G = 0.

На самом деле это содержащее долю истины рассуждение крайне наивно. Настоящая смена теории не есть смена уравнений –– это смена математических структур, и лишь фрагменты конкурирующих теорий, часто не самые важные идейно, допускают сравнение друг с другом на ограниченном круге явлений реальности. «Гравитационный потенциал» Ньютона и «кривизна метрики Эйнштейна» описывают разные миры на разных языках.

Кроме того, жизнь –– может быть, самое интересное физическое явление –– вышита на ажурной канве игры неустойчивостей, когда несколько квантов энергии могут иметь огромную информационную ценность, а отбрасывание малых членов в уравнениях означает смерть.

Классификация физических констант. Подведем некоторые итоги. Справочник «Таблицы физических величин» (М.: Атомиздат, 976) содержит 1005 страниц текста и многие миллионы чисел; как в них разобраться Эти величины делятся по крайней мере на четыре типа.

а) Естественные единицы измерения, или физически отмеченные точки спектров. Это –– не числа, а такие величины, как G, c, h, me, e (заряд электрона). Это –– размерные характеристики некоторых явлений, поддающихся воспроизведению многократно, с высокой степенью точности. Это –– отображение того, что природа тиражирует элементарные ситуации огромными сериями. Размышления над тождественностью подобных кирпичиков мироздания приводили иногда к таким глубоким физическим идеям, как статистики Бозе––Эйнштейна и Ферми––Дирака. Фантастическая мысль Уилера, что все электроны тождественны потому, что представляют собой мгновенные сечения запутанной в клубок мировой линии одного электрона, привела Фейнмана к изящному упрощению диаграммной техники вычислений в квантовой теории поля.

б) Истинные, или безразмерные, константы. Это –– отношения нескольких отмеченных точек на спектре величины одной размерности, например, отношения масс электрических частиц: мы уже упоминали mp/me. Отождествление разных размерностей при учете 66 Ч II. М нового закона, т. е. редукция группы размерностей, приводит к объединению прежде разных спектров и к необходимости объяснять новые числа.

Например, размерности me, c и h порождают группу Ньютона и потому приводят к столь же естественным атомным единицам размерностей M, L, T, как и единицы Планка. Поэтому их отношения к планковским единицам нуждаются в теоретическом объяснении. Но, как мы говорили, это невозможно, пока отсутствует (G, c, h)-теория. Однако и в (me, c, h)-теории –– квантовой электродинамике –– имеется безразмерная величина, значению которой современная квантовая электродинамика в некотором смысле слова обязана своим существованием. Поместим два электрона на рассто янии h/mec (так называемая комптоновская длина волны электрона) и измерим отношение энергии их электростатического отталкивания к энергии mec2, эквивалентной массе покоя электрона. Получится число = 7,2972 · 10-3 1/137. Это –– знаменитая постоянная тонкой структуры.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.