WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 54 |

Асимптотические свойства многомерных объемов –– это геометрический арсенал статистической физики. Все разнообразие мира природа конструирует из малого числа разных кирпичиков. Кирпичики одного сорта тождественны, и когда статистика описывает поведение их конгломератов, она пользуется образом точки, блуждающей в областях почти бесконечномерного фазового пространства. Макроскопические наблюдения позволяют лишь грубо указать расположение области, куда попала точка, и чем больше ее объем, тем вероятнее, что мы увидим точку именно там.

В бесконечномерии, где почти вся область –– это ее граница, чтобы найти правильные способы думать и вычислять, нужны самые рафинированные орудия математического арсенала.

Нелинейность и кривизна. Так же как идея линейности экстраполирует малые приращения, идея кривизны использует такую экстраполяцию для изучения отклонения геометрического объекта (например, графика функции f ) от линейного.

Малые размерности дают пищу интуиции, вырабатывающей геометрический образ кривизны. График кривой y = ax2 в вещественной М плоскости имеет три основные формы: «чаша» (выпуклость вниз) при a > 0, «купол» (выпуклость вверх) при a < 0 и горизонтальная прямая при a = 0. Число a определяет крутизну стенок чаши или купола, а также радиус кривизны в нижней (верхней) точке, который равен. В физических моделях малых колебаний тяжелый 2|a| шарик, катающийся по дну чаши, совершает такие же колебания, как на пружине, и эквивалентная кривизна выражается через массу грузика и жесткость пружины. В многомерии график квадратичной функции при подходящем выборе системы координат приводится N к виду y = ai xi. Среди чисел могут быть положительные, отриi=цательные и нули, они определяют количество направлений, по которым график уходит вверх, вниз или остается горизонтальным.

В современной квантовой теории поля удивительно велико количество ситуаций, где эта простая модель отвечает за вид спектра масс элементарных частиц и спектра сил (констант) взаимодействий, служа первой ступенькой на долгом пути к более изощренным схемам.

При этом квадратичные функции возникают в бесконечномерном пространстве, горизонтальные направления в графиках появляются из-за действия группы симметрии; когда функция не меняется при некоторых движениях пространства по себе, ее график не может быть ямой, а в лучшем случае имеет вид оврага (овраг можно сдвигать по себе вдоль дна, а яму нельзя).

Итак, первый образ нелинейности, который мы вкратце описали, это образ того, как многомерная поверхность, график функции удаляется вблизи своей точки от линейной поверхности, касающейся ее в этой точке. Представив себе касательное пространство горизонтальным, мы можем отметить в нем набор попарно ортогональных направлений, вдоль каждого из которых поверхность уходит вверх, вниз или остается горизонтальной; скорость ухода вверх или вниз измеряется радиусом кривизны; этих радиусов столько, какова размерность поверхности.

Для описания искривления мы пользуемся, стало быть, «внешним лекалом». Этот круг представлений естествен и полезен, но эйнштейновская теория тяготения и, как было понято, максвелловская теория электромагнетизма, а также, как мы начинаем понимать сейчас, теория ядерных сил и, может быть, всех взаимодействий вообще требует более тонких представлений о кривизне. Первые математические теории «внутренней кривизны» в отличие от описанной «внешней» были развиты Гауссом и Риманом.

50 Ч II. М Понятие внутренней кривизны строится сначала для области в числовом пространстве, в которой для каждой пары близких точек задано расстояние между ними. Геометрия нашей области с новым, римановым понятием расстояния должна «в бесконечно малом» быть евклидовой. Разные аспекты понятия кривизны показывают, насколько эта геометрия все же не совпадает с плоской евклидовой.

Чтобы объяснить их, удобно начать с аналога прямых в этом многообразии –– это геодезические –– кривые наименьшей длины, соединяющие точки пространства (например, дуги больших кругов на сфере). Длина кривой, конечно, измеряется интегралом: кривую нужно разбить на много маленьких отрезков и заменить длину каждого отрезка расстоянием между его концами.

Теперь вообразим себе маленький вектор в многообразии, движущийся вдоль геодезической кривой так, что его угол с геодезической все время остается неизменным. (На двумерной поверхности этот рецепт определяет движение, а в многомерном случае его нужно еще уточнить.) Поскольку в малом пространство близко к евклидову, этим представлениям нетрудно придать точный смысл. Такое движение вектора называется его параллельным переносом. Можно определить и параллельный перенос вдоль любой кривой: как и для вычисления длины, ее следует заменить ломаной из коротких отрезков геодезических, и затем вектор переносить параллельно вдоль этих геодезических.

Рассмотрим маленькую замкнутую кривую в пространстве –– почти плоскую петельку. Перенеся вектор вдоль нее параллельно и вернувшись в начальную точку, мы обнаружим, что вектор повернулся относительно своего начального положения на маленький угол, и этот угол пропорционален площади петельки. Сверх того, коэффициент пропорциональности зависит: а) от точки, вокруг которой расположена петелька; б) от направления двумерной площадки, которую можно натянуть на петельку. Этот коэффициент, как функция точки и двумерного направления в ней, называется римановым тензором кривизны. Для плоского евклидова пространства тензор кривизны тождественно равен нулю.

Понадобилось много времени, чтобы понять, какие образы в этой конструкции важнее всего, и прийти к выводу, что самой фундаментальной является идея параллельного переноса вдоль кривой.

Геометрическая картина кривизны, которая наиболее актуальна для понимания, например, теории полей Янга––Миллса в современной физике, более обща, чем картина римановой кривизны. Для определения римановой кривизны мы переносили вектор вдоль кривой М в пространстве. Представим себе этот вектор в виде маленького гироскопа, а кривую –– в виде его мировой линии в четырехмерном пространстве-времени (подробнее об этом будет рассказано ниже, в главе о пространстве-времени). Тогда предсказание о том, как будут различаться направления осей двух гироскопов, разошедшихся в одинаковом начальном состоянии и затем соединенных для сравнения вновь в близких точках пространства-времени, есть прямое дело физики. В то же время воображаемый набор поведений всевозможных таких гироскопов есть математический образ пространства, дополненного правилами параллельного переноса касательных векторов вдоль кривых в нем.

Остается один шаг до введения общего математического понятия пространства со связностью и кривизны этой связности. Направление оси гироскопа является частным случаем представления о том, что точечная физическая система может обладать еще внутренними степенями свободы. В классической физике это идеализация, в соответствии с которой мы суммарно учитываем составные части системы, их вращения, колебания и т. п.; в квантовой физике появляются неклассические степени свободы, такие, как спин или магнитный момент электрона, не сводящиеся к воображаемому поведению «частей» электрона в пространстве-времени. Пусть вообще задана пара пространств M и E и отображение f : E M, скажем, модель пространства-времени M, в каждой точке m которого находится локализованная физическая система с пространством внутренних -состояний f (m). Тогда связность на этом геометрическом объекте есть задание правила переноса системы вдоль кривых в M. Иными словами, если мы знаем отрезок мировой линии системы в M и ее начальное внутреннее состояние, то мы должны знать всю ее историю. Кривизна связности измеряет разницу конечных состояний системы, пришедших из близких начальных точек пространства-времени в близкие конечные разными путями, если сначала системы были в одинаковом состоянии.

Эти представления связывают геометрию с физикой напрямую, минуя сложные извивы гениальных догадок, ошибки, формализм и исторические случайности, сопровождавшие возникновение новых идей и постоянно переизлагаемые в учебниках.

Гравитационное поле –– это связность в пространстве внутренних степеней свободы гироскопа, управляющая его эволюцией в пространстве-времени. Электромагнитное поле –– связность в пространстве внутренних степеней свободы квантового электрона, управляющая его эволюцией в пространстве-времени. Поле Янга––Миллса –– 52 Ч II. М связность в пространстве цветовых внутренних степеней свободы кварка.

Сейчас эта геометрическая картина представляется наиболее универсальной математической схемой для классического описания идеализированного мира, в котором по очереди рассматривается небольшое число основных взаимодействий. Материя в пространстве-времени описывается сечением соответствующего расслоения E M –– указанием того, в каком состоянии эта материя находится в каждой точке в каждый момент. Поле описывается связностью в этом расслоении. Материя влияет на связность, накладывая ограничения на ее кривизну, а связность влияет на материю, заставляя ее «переноситься параллельно» вдоль мировых линий. Великие Уравнения Эйнштейна, Максвелла––Дирака и Янга––Миллса являются точным выражением этих идей.

Но даже не записывая Уравнений, мы сказали очень многое. Открытие того, что основные физические поля суть связности, не было ни столь драматичным, ни столь точно датированным, как открытие этих Уравнений. В теории тяготения, например, основным понятием для Эйнштейна была не связность, а (псевдо)риманова метрика в пространстве-времени. Что электромагнитное поле является связностью, впервые предположил Герман Вейль, но в доквантовой физике он не смог указать, на каком расслоении эта связность определяет параллельные переносы, решив, что поле меняет длины отрезков, прошедших по разным путям в пространстве-времени. На неправдоподобность этого указал Эйнштейн, а правильное расслоение, на котором действует связность Максвелла, открыл Дирак. Но все равно осознание физических особенностей поля связности затянулось так надолго, что лишь в шестидесятых годах Ааронов и Бом предложили эксперимент, который показывает истинно «связностную» природу поля Максвелла. Для этого следует разделить на две части электронный пучок и пустить эти две части в обход цилиндрической области, внутри которой заключен магнитный поток, после чего наблюдать интерференционную картину на экране. По их предположению при включении и выключении магнитного поля картина должна меняться, хотя пучки, обходя область магнитного потока, проходят в области, где напряженности электромагнитного поля нулевые. Таким образом, разделенные и вновь соединенные на экране пучки будут «чувствовать» кривизну связности на расслоении Дирака, возникающую от включения поля в области, которую они обходят. Интерференционная картина на экране отражает именно разность углов поворота фаз в спиновом пространстве степеней свободы электрона, появляюМ щуюся из-за того, что электрон может прийти в точку экрана разными путями в обход магнитного поля. (Эксперимент был реально проведен и подтвердил эти предсказания.) Некоторые новинки. «Выставка» важнейших геометрических образов, по которой мы торопливо провели читателя, далеко не исчерпывается показанными экспонатами. Число таких образов пополняется. Из тех, которые начали привлекать внимание физиков и математиков в последнее время, можно, например, назвать «катастрофы», «суперсимметрии» и «солитоны».

Термин «катастрофы» ввел французский математик Рене Том для передачи интуитивных представлений, связанных с математическими схемами описания таких явлений, как разрывы, скачки, углы, поверхности раздела между однородными фазами, биологическая дифференциация тканей и т. п. Их польза в естественнонаучных моделях пока остается под вопросом и стала даже предметом горячих споров в газетах. Историку науки предоставляется счастливый случай наблюдать попытки установления новой парадигмы в смысле Томаса Куна и размышлять над социальными аспектами процесса установления научного общественного мнения.

«Суперсимметрии», изучаемые в супергеометрии, начинают входить в науку с меньшим шумом, хотя, возможно, окажут больше влияния на дальнейшее развитие физики и геометрии. Формально говоря, супергеометрия предлагает рассматривать на пространстве, скажем Rn, не только обычные функции, но также антикоммутирующие, т. е. удовлетворяющие условию fg = -g f, откуда, в частности, следует, что f = 0. Так как ненулевых чисел с нулевым квадратом нет, такая функция не может принимать числовые значения; ее естественные области значений –– так называемые грассмановы алгебры, введенные в прошлом веке замечательным математиком и санскритологом Грассманом. В физике грассмановы алгебры появились лишь после возникновения квантовой теории и понятия о спине; оказалось, что адекватное описание коллектива тождественных частиц с полуцелым спином, например электронов, требует введения антикоммутирующих переменных.

Образ солитона возник в результате открытия некоторых специальных решений уравнений, описывающих волны в разных средах, например на воде. Классические волновые уравнения линейны, т. е.

сумма их решений и произведение решения на число также являются решениями. Иными словами, это уравнения описывают волны, не взаимодействующие между собой. Учет таких свойств реальных 54 Ч II. М сред, как дисперсия (нелинейная связь между частотой и длиной элементарной волны) и нелинейная зависимость скорости волны от ее амплитуды приводит к гораздо более сложной картине взаимодействия волновых возмущений, чем простое их сложение. Поэтому крайнее удивление вызвало открытие в шестидесятых годах группой американских физиков и математиков эффекта нелинейного сложения некоторых уединенных возбуждений, описываемых уравнением Кортевега––де Фриза (эти уединенные возбуждения и были сначала названы солитонами). Высота солитонной волны пропорциональна ее скорости. Поэтому можно попытаться проследить судьбу суммы двух далеко разнесенных в начальный момент солитонов, из которых больший движется в сторону меньшего и потому обязательно догонит его.

Общее ожидание состояло в том, что после «столкновения» волновая картина разрушится, но машинный эксперимент показал, что ничего подобного не происходит: после периода взаимодействия больший солитон «проходит сквозь меньший», и оба начинают расходиться, сохранив свою форму. Точная математическая теория явления была построена вскоре после этого –– она подтвердила сохранение индивидуальности солитонов после взаимодействия, сколько бы их ни было вначале. После этого число нелинейных волновых уравнений, обнаруживающих аналогичные свойства, росло линейно со временем, а число публикаций, посвященных им, росло экспоненциально.

Высказываются надежды, что солитоноподобные возбуждения полей являются адекватным классическим образом элементарных частиц:

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.