WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 54 |

Теоретико-множественный язык хорош тем, что он не вынуждает говорить ничего лишнего. Г. Кантор определил множество как «соединение в одно целое различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли». Это наилучшее объяснение множества как понятия, помогающего познавать мир.

Многомерное пространство и идея линейности. Если автомобиль прошел за секунду двадцать метров, то за две секунды он, скорее всего, пройдет сорок метров. Если слабый ветер отклонил летящую пулю на три сантиметра, то вдвое более сильный отклонит ее на шесть сантиметров. Отклик на малые воздействия линейно зависит от этих малых воздействий –– таков естественнонаучный принцип, лежащий в основе огромного количества математических моделей.

Математик превращает этот принцип в определение дифференцируемой функции и в постулат о том, что большая часть процессов большую часть времени описывается такими функциями. Говорит ли закон упругости Гука или закон Ома что-нибудь большее, чем этот принцип линейного отклика на малые воздействия Да, если оказывается, что законы остаются верны и для довольно больших воздействий.

М Линейное пространство –– это идеализация «сколь угодно больших малых воздействий». Не обязательно вводить координаты, нужно лишь помнить, что элементы линейного пространства можно складывать и умножать на числа (вещественные или комплексные –– этот эпитет прибавляется к названию пространства). Исходный геометрический образ –– это наше «физическое пространство» размерности три; пространства n, n с координатным сложением и умножением исчерпывают все конечномерные линейные пространства.

Размерность линейного пространства –– это количество независимых линейных координатных функций на нем. Теорема о том, что от выбора самих координатных функций она не зависит, при всей ее простоте, является глубоким результатом. Она устанавливает связь между непрерывным и дискретным: целое число –– размерность впервые появляется не как количество предметов или дискретных образов, но как мера величины непрерывного объекта.

Линейное отображение, или оператор, –– это идеализация линейного отклика на произвольные воздействия. Отклик может измеряться элементами того же пространства, что и воздействие, или другого;

в любом случае это отображение линейного пространства в линейное пространство, переводящее сумму векторов в сумму их образов и произведение вектора на число в произведение образа на то же число.

В одномерном пространстве всякое линейное отображение в себя есть умножение на число –– «коэффициент усиления». В комплексном случае геометрический образ немного сложнее: поскольку одномерное комплексное пространство устроено как вещественная плоскость, умножение на комплексное число есть комбинация вещественного растяжения и поворота. Чистые повороты, т. е. умножения на числа, по модулю равные единице, играют большую роль в квантовой механике: в их терминах формулируется закон эволюции замкнутой квантовой системы.

Важный класс линейных отображений n-мерного пространства в себя образуют растяжения вдоль n независимых направлений со своим коэффициентом вдоль каждого из них. Множество «коэффициентов растяжения» линейного оператора называется его спектром:

омонимия с физическим термином отражает их глубокие связи.

В квантовой физике идея линейности приобретает фундаментальный физический смысл благодаря основному постулату о суперпозиции квантовых состояний. В классической физике и математике, кроме исходной мысли о линеаризации «чего угодно» в малом, большую роль играет замечание о том, что функции (все или непрерывные, или дифференцируемые, или интегрируемые по Риману и т. п.) на любом 44 Ч II. М пространстве сами образуют линейное пространство, потому что их можно складывать друг с другом и умножать на числа. Пространства функций в большинстве случаев бесконечномерны, но возможность направленно воспитать и затем применить к ним первоначально развитую конечномерную (даже трехмерную) интуицию оказалась исключительно плодотворным открытием. В двадцатом веке этому учили нас Давид Гильберт и Стефан Банах.

Измерения в линейном пространстве. В трехмерном физическом пространстве существуют твердые тела, сохраняющие некоторую «тождественность самим себе» в больших пространственновременных областях. Это –– основа всех физических измерений. Совсем не очевидно заранее, какие из идеализированных свойств физических измерений наиболее полезны в математической теории и в приложениях. Действительно, математические понятия, связанные с идеей классического измерения, образуют сложный идейный узор. Сразу назовем несколько образов: длина, углы, площади и скалярные произведения, движения.

Чтобы у читателя не возникло неверного впечатления, заметим, что само понятие линейного пространства не содержит ничего, позволяющего однозначно измерять что бы то ни было. У векторов нет никакой длины (правда, у пропорциональных векторов имеется естественное отношение длин), угол между векторами не имеет никакой естественной меры и т. д. Поэтому для математического оформления идеи измерения мы должны дополнительно ввести новый геометрический образ или даже несколько образов; на математическом жаргоне –– снабдить пространство дополнительной структурой.

Первый из таких образов –– единичная сфера пространства: множество векторов единичной длины. Если любой ненулевой вектор после умножения на подходящее число a попадает на единичную сферу, мы получаем возможность приписать ему длину –– это будет |a|-1, значит, a должно быть определено с точностью до умножения на число, по модулю равное единице. Расстояние между векторами x и y можно определить как длину их разности | x - y |.

Если ненулевые векторы имеют ненулевую длину, выполняется неравенство треугольника | x + y | | x | + | y | и еще условие о существовании пределов последовательностей Коши, мы приходим к понятию банахова пространства. Таковы многие полезные пространства функций. Произвольная банахова сфера, однако, недостаточно симметрична, чтобы быть правильным обобщением единичной сферы в трехмерном евклидовом пространстве. Есть два разных способа М добиться нужной симметрии, наложив на банахову сферу дополни n(n - 1) тельные условия: а) потребовать, чтобы некоторая -мерная непрерывная группа линейных отображений переводила ее в себя (n –– размерность пространства); б) потребовать, чтобы в пространстве существовало скалярное произведение векторов (x, y) (линейная функция по обоим аргументам в вещественном случае и несколько более сложная в комплексном) такое, чтобы | x |2 = (x, x) для всех x.

Первый способ –– обобщение идеи о том, что твердые тела можно вращать, второй –– что между векторами можно измерять углы, также не меняющиеся при вращениях пары. Обе идеи тесно связаны и приводят к понятию многомерного евклидова пространства (в комплексном случае его называют гильбертовым). В подходящих координатах единичная сфера в таком пространстве задается приn вычным уравнением | xi |2 = 1. Вращения –– это линейные отобраi=жения, переводящие эту сферу в себя, они образуют группу, которая обозначается O(n) в вещественном случае и U(n) –– в комплексном.

В евклидовом вещественном пространстве скалярное произведение принимает вещественные значения и является симметричным: (x, y) = = ( y, x). В евклидовом комплексном пространстве оно принимает комплексные значения и при перемене мест векторов становится комплексно-сопряженным: (x, y) = ( y, x). В обоих случаях выполняется замечательное неравенство |(x, y)|2 | x || y |, так что число (x, y) по модулю не больше единицы. Оно вещественно для веществен| x || y | (x, y) ных пространств, и существует угол, для которого cos =, –– | x || y | он называется углом между векторами x и y. В комплексном случае |(x, y)| можно определить этот угол формулой cos =. Правая часть | x || y | здесь принимает только значения, лежащие между нулем и единицей, и существует еще одна замечательная физическая величина с таким свойством –– это вероятность. В квантовой механике числа cosинтерпретируются как вероятности, о чем мы подробнее расскажем ниже. В школьной геометрии векторы x, y называются ортогональными, если косинус угла между ними равен нулю, т. е. если (x, y) = 0;

эта же терминология применяется и в общем случае.

Если отказаться от тех или иных свойств евклидовости, то понятие скалярного произведения приводит к нескольким важным классам линейных геометрий. Например, в 4 можно задать «длину» век2 2 2 тора x = (x0, x1, x2, x3) формулой | x |2 = x1 + x2 + x3 - x0. Один минус 46 Ч II. М приводит к большому количеству отличий: например, имеются целые прямые, состоящие из векторов нулевой длины. Они изображают лучи света в основной модели пространства-времени специальной теории относительности –– в знаменитом пространстве Минковского.

Можно отказаться от условия (x, y) = ( y, x) и заменить его условием (x, y) = -( y, x). Всякий вектор в таком пространстве «ортогонален самому себе»! Эту геометрию, называемую симплектической, нужно долго изучать, чтобы привыкнуть к ней. Гироскоп, ориентирующий ракету, –– это посланец шестимерного симплектического мира в нашем трехмерном; там его поведение выглядит просто и естественно.

Хотя симплектическая геометрия была открыта в прошлом столетии, ее роль в физике долго недооценивалась и в учебниках все еще затемняется старинным формализмом.

Но вернемся в евклидов, хотя и многомерный, мир. Последнее, что мы хотели бы обсудить, –– измерение объемов. Если e1, …, en –– попарно ортогональные векторы единичной длины, то натянутый на них n-мерный кубик с ребром тоже единичной длины –– множество векторов вида x1e1 + · · · + xnen, где 0 xi 1. Его объем естественно считать равным единице. Сдвиг этого кубика на любой вектор не меняет объема; кубик с ребром длины a имеет объем an. После этого объем любой n-мерной фигуры можно определить, замостив ее большим числом маленьких кубиков и сложив их объемы. Проблемы возникнут около границы –– там останется свободное пространство, при попытке замощения которого кубики начнут вылезать наружу. Если граница не очень сильно изрезана, то, делая кубики все более мелкими, мы сможем как угодно уменьшить ошибку. Это –– основная идея интегрирования. Она дополняется еще следующей конструкцией: предположим, что в нашей области пространства находится нечто, «субстанция», как сказали бы в прошлом веке, которая характеризуется своей плотностью f (x) вблизи точки x. Общее количество этой субстанции будет примерно выражаться суммой ее количеств во всех кубиках замощения, а количество в одном кубике –– произведением объема этого кубика на значение плотности в какой-нибудь его внутренней точке. Вся сумма есть «сумма Римана», а ее предел –– интеграл от функции f по объему.

В математике трудно указать более классическое и в то же время более живое понятие, чем интеграл. Каждые несколько десятилетий приносят его новые математические варианты, а физика все время требует еще. Определение интеграла Римана, которое мы привели выше, математически разумно лишь для не слишком сильно меняющихся функций f, скажем непрерывных. Но почти каждая физичеМ ская модель, как только она сменяется более детальной, обнаруживает, что функция f, казавшаяся довольно гладкой, есть результат усреднения более сложной «мелкозернистой» картины. Заряд можно измерять интегралом от его плотности, пока мы не выходим на масштабы, где носителями заряда являются электроны и ионы. Плотность заряда на точечном носителе бесконечна, а вне его равна нулю, и мы вынуждены строить аппарат для интегрирования таких функций.

Вызовом математикам остаются замечательные континуальные интегралы Фейнмана, уже превратившиеся в основной инструмент квантовой теории поля, но все еще не определившиеся как математический объект. Два обстоятельства затрудняют их понимание: интегрировать приходится по бесконечномерному пространству и притом очень сильно колеблющиеся функции. Скажем здесь несколько слов об эффектах бесконечномерности, понимая ее наивно как очень большую конечную размерность.

Из отрезка длины 1 вырежем его среднюю часть длины 0,9. Длина остатка будет, конечно, составлять 10 % от длины всего отрезка.

Из круга диаметром 1 вырежем концентрический круг диаметром 0,9. Площадь оставшегося кольца будет уже 19 % площади круга.

Из шара диаметром 1 вырежем концентрический шарик диаметром 0,9. Объем оставшегося шарового слоя будет составлять уже 27,1 % объема шара: почти треть вместо одной десятой для отрезка. Объем n-мерного шара диаметром d, как нетрудно сообразить «физически», должен выражаться формулой c(n)dn, где c(n) –– константа, от d не зависящая. Доля объема концентрического шара диаметром 0,9d поэтому будет (0,9)n; она стремится к нулю вместе с ростом n. Двадцатимерный арбуз радиусом 20 см с толщиной корки 1 см чуть не на две трети состоит из корки:

1 - 1 - 1 - e-1, e 2,72.

Эти расчеты позволяют сформулировать геометрический образ: «объем многомерного тела почти целиком сосредоточен у его поверхности». (Интересно рассмотреть также вместо шара куб –– тот же эффект проявляется в быстром росте числа его граней.) Представим себе простейшую модель газа: N точечных атомов, движущихся в резервуаре со скоростями vi, i = 1, …, N; каждый атом N mviимеет массу m. Кинетическая энергия газа E равна ; состояние i=газа, описываемое набором скоростей при фиксированной энергии E, определяет точку на (N - 1)-мерной евклидовой сфере радиусом 48 Ч II. М 2E. Для макроскопического объема газа в нормальных условиях m размерность этой сферы имеет порядок 1023 1025 (определяемый числом Авогадро), т. е. очень велика. Если два таких резервуара соединены так, что они могут обмениваться энергией, но не атомами, и сумма их энергий E = E1 + E2 остается постоянной, то энергии Eи E2 большую часть времени будут близки к таким, которые максимизируют объем пространства состояний, доступный объединенной си 2E1 2Eстеме. Он равен произведению объемов сфер радиусов и m m соответственно, первый из которых с ростом E1 очень быстро растет, а второй очень быстро убывает. Их произведение имеет поэтому острый пик в точке, которую легко вычислить; точка отвечает условию равенства температур. «Сосредоточенность объема многомерного тела вблизи поверхности», в сущности, предопределяет существование температуры как макроскопической величины.

О каком пространстве идет речь в этом примере О пространстве состояний физической системы, точнее, о некотором его факторпространстве: мы не принимаем во внимание ни положения атомов, ни направления скоростей. Одна его точка –– это снова возможность.

Типичное множество –– это не стулья в комнате и не ученики в классе и даже не атомы в резервуаре, а возможные состояния атомов в резервуаре.

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.