WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 54 |

Теперь нам более понятно, почему природа предпочла Дарвина Ламарку. Информация, закодированная в генах, очень сильно изолирована (и это правильно) от окружающей среды. Это –– текст чрезвычайно сложной программы развития, который должен быть защищен от попыток улучшить его извне. В противном случае нам бы потребовался механизм, при котором, например, такая резкая перемена в окружающей среде, как глобальное потепление, должна была бы быть осмысленно закодирована в тонких химических процессах, необходимых, чтобы получить новое поколение безволосых мышей. Неизвестно ничего похожего на такие детерминистические механизмы. Вместо этого природа доставляет случайные вариации генетических инструкций, в результате чего безволосые мыши, которые ранее вымерзли бы, не успев произвести потомства, теперь вытесняют своих волосатых собратьев.

Это рассуждение приводит к забавному вопросу. В конце концов, способность передавать потомству приобретенные признаки можно рассматривать как одну из черт данного биологического вида. Нам такой вид неизвестен, но если эта способность эффективно помогает адаптации, почему она не могла развиться в ходе эволюции в результате последовательности случайных мутаций, подобно умению летать или зрению Иными словами, почему ламаркистская эволюция не может возникнуть на одном из этапов дарвинистской эволюции М Можно ответить, что именно это и произошло с человечеством, только на другом уровне организации. Какое-то время назад наша биологическая эволюция остановилась, а культурная эволюция пошла по пути, описанному Ламарком.

С помощью языка формируется генофонд культуры. Он развивается и передается сначала в устной традиции, затем через письменные тексты. Опыт поколений напрямую кодируется в эпических поэмах и компьютерных программах, чтобы сообщить следующим поколениям о меняющихся условиях жизни.

Ч II М Математика и физика Предисловие Есть предание о том, как один известный математик начинал читать логику второкурсникам. «Логика –– это наука о законах мышления, –– сообщал он. –– Теперь я должен объяснить вам, что такое наука, что такое закон и что такое мышление. Что такое ‘о’, я объяснять не буду».

Взявшись писать книжку «Математика и физика», автор понимал, что ее объема едва хватит на попытку объяснить, что такое «и» в ее названии. Две науки, бывшие единой ветвью на дереве познания, к нашему времени далеко разошлись. Одна из причин этого в том, что обе они в этом столетии активно занимались самоосознанием, т. е. своими средствами строили свои собственные модели. Физика волновало взаимоотношение мышления и действительности, а математика –– мышления и формул. Оба эти отношения оказались много сложнее, чем казалось раньше, и модели, автопортреты, маски-длясебя двух дисциплин вышли очень несхожими. В результате уже со студенческой скамьи физиков и математиков учат думать по-разному.

Было бы замечательно владеть обоими типами профессионального мышления, хотя бы так, как мы владеем правой и левой рукой.

Но эта книжка –– партия одной руки. Автор, по образованию математик, как-то прочел студентам четыре лекции под названием «Как математик должен учить физику». В лекциях говорилось, что современная теоретическая физика –– это роскошный, совершенно раблезианский полнокровный мир идей, и математик может найти в нем все, что душе угодно, кроме порядка, к которому он привык. Поэтому хороший способ настроить себя на активное изучение физики –– сделать вид, что ты пытаешься, наконец, навести в ней этот самый порядок.

В книжке, выросшей из этих лекций и дальнейших размышлений, я попробовал выделить несколько крупных абстракций двух наук и сопоставить их. На самом высоком уровне такие абстракции теряют терминологичность и способны стать культурными символами времеВпервые опубликовано: Новое в жизни, науке и технике. М.: Знание, 979. 64 с.

(Сер. Математика, кибернетика; № 2).

38 Ч II. М ни: вспомним судьбу слов «эволюция», «относительность» или «подсознательное». Здесь мы спускаемся ступенькой ниже и обсуждаем слова, еще не символы, но уже почти не термины: «множество», «симметрия», «пространство-время». (Ср. попытку М. М.Бахтина терминологически ввести последнее понятие в литературоведение в нарочито остраненной форме «хронотоп».) Часть этих слов стоит в названиях главок. У каждого читателя в сознании должны быть первоначальные образы этих понятий, образы, имеющие физическое происхождение в широком смысле слова.

Автор хотел показать, как математика сопоставляет с такими физическими абстракциями новые образы, для тренированного рассудка почти осязаемые, но далеко ушедшие от тех, которые дает прямой жизненный и физический опыт. Скажем, движение планет Солнечной системы математик представит в виде линии тока несжимаемой жидкости в 54-мерном фазовом пространстве, объем которого задается мерой Лиувилля.

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связывается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это –– лишь дисциплина, линейка, которой нас учат не умирать.

Вычислительный формализм математики –– мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуждается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку этой временно отторгнутой мысли. Думать –– значит вычислять, волнуясь.

Безумная идея, которая ляжет в основу будущей фундаментальной физической теории, будет осознанием того, что физический смысл имеет некоторый математический образ, ранее не связывавшийся с реальностью. С этой точки зрения проблема безумной идеи –– это проблема выбора, а не порождения. Не нужно понимать это слишком буквально. В шестидесятых годах (по частному поводу) было сказано, что крупнейшее открытие последних лет в физике –– комплексные числа. Нечто подобное автор имеет в виду.

Я не хочу извиняться за субъективность суждений и выбора материала. О физике и математике писали Галилей, Максвелл, Эйнштейн, Пуанкаре, Фейнман, Вигнер; только надежда сказать что-то свое может оправдать новую попытку.

М. Математика с птичьего полета Математическая истинность. Вероятно, самые простые математические действия –– это арифметические вычисления вроде такого:

0,25 7,8 · 104 2 · 0,· · · = 0,038.

20 1,1 2,04 · 105 0,021 + 0,Для реалистичности этот пример списан не из школьного задачника, а из статьи Энрико Ферми «О поглощении и диффузии медленных нейтронов». Подумаем немного о смысле такого вычисления.

а) Для проверки этого равенства можно условиться, что оно относится к целым числам (возведем в квадрат, освободимся от знаменателей и будем считать все в тысячных долях единицы). Тогда наше равенство можно рассматривать как предсказание о результате некоторого «физического эксперимента», состоящего в следующем: нужно взять две группы по 48 предметов (2 · 0,048), повторить это действие 78 000 раз (7,8 · 104) и т. п. Так в первом классе раскладывают по кучкам палочки, чтобы уяснить смысл счета, целого числа, сложения и умножения, а также смысл арифметических тождеств. Поэтому разумно представлять себе, что арифметика целых чисел есть «физика собирания предметов в кучки».

б) Все же практическое вычисление, конечно, производится иначе: оно состоит из серии некоторых стандартных преобразований левой части тождества. Мы выбираем группу символов слева, скажем 0,, и заменяем ее по школьным рецептам на 0,0125 и т. п. Все правила, включая правила о порядке действий, можно сформулировать заранее. Безошибочность вычисления –– это его грамматическая (рецептурная) правильность; она же гарантирует «физическую истинность» результата. (Разумеется, Ферми округляет левую часть;

и без вычислений ясно, что его равенство не может быть верным буквально, потому что число 13 –– иррационально.) в) Для Ферми смысл этого вычисления резюмируется следующей фразой: «Группа A... является столь узкой энергетической полосой, что в процессе замедления через нее проходит только 4 % нейтронов».

(4 % –– это 0,038 справа.) Ясно, что к такому выводу мы не можем непосредственно прийти, как бы ни представляли себе смысл арифметического вычисления. Ни раскладывание 78 000 кучек по 96 предметов, ни деление 0,096 уголком на 0,04 сами по себе не имеют никакого отношения к нейтронам. Математическое рассуждение входит в физический текст вместе с актом его физического истолкования;

именно этот акт и есть самое поразительное в современной физике.

40 Ч II. М Как бы то ни было, уже на нашем простом примере видны три аспекта математической истинности. Условно их можно обозначить как содержательную истинность, формальную правильность, или доказуемость, и адекватность физической модели.

Для математики, замкнутой в себе, существенны лишь первые два аспекта, и только двадцатый век принес понимание различия между ними. Рассмотрим такое просто формулируемое утверждение, как гипотезу Ферма. Хотя мы не знаем ни ее доказательства, ни опровержения, мы уверены, что она либо истинна, –– либо ложна.

Эта уверенность основана на абстракции возможности произвести бесконечно много арифметических действий (или «раскладываний на кучки»), перебрав все суммы степеней пар целых чисел. Вообще, понятие об истинности (большинства) математических утверждений включает в себя представление о таких бесконечных сериях проверок. Между тем всякое математическое доказательство, т.е. рассуждение, состоящее из последовательного применения аксиом или логических правил вывода, есть существенно конечная процедура.

К. Г доказал в тридцатых годах, что по этой причине доказуеедель мость значительно уже содержательной истинности, даже когда речь идет лишь о целых числах. При этом совершенно безразлично, из каких аксиом мы исходим, лишь бы они были содержательно истинны и задавались конечным списком (или конечным числом правил их порождения). Это различие между содержательной истинностью и доказуемостью широко известно, но, кажется, его следствия поняты плохо. В литературе часто обсуждаются проблемы редукционизма:

сводится ли биология или химия к физике Ясно, что речь может идти лишь о некоторой теоретической модели явлений физики, биологии и химии, притом достаточно математизированной. Но тогда следует объяснить, что подразумевается под сводимостью –– абстракция типа содержательной истинности или типа выводимости из аксиом.

Продумывание обеих возможностей создает впечатление, что, говоря о сводимости законов, мы просто не понимаем, о чем говорим.

Множества. Современные представления о математической истинности связаны с развитием двух крупных концепций: теоретикомножественной математики и математики формальных языков. Математические формализмы знакомы всем. Типичный математический багаж студента может состоять из умения выполнять арифметические действия с числами в десятичной записи, преобразовывать алгебраические тождества, дифференцировать и брать некоторые интегралы. Этот язык математического анализа, практически слоМ жившийся во времена Эйлера и Лагранжа, оказался очень удобным, эффективным в решении задач и доступным для массового изучения.

Параллельно происходило развитие представлений того, о чем го ворит этот язык, т. е. выяснение смысла таких понятий, как -1, функция, дифференциал и т. п. Огромную роль при этом играли геометрические представления: комплексные числа потеряли свою таинственность лишь после того, как Арган и Гаусс предложили их последовательную интерпретацию точками евклидовой плоскости;

дифференциал интерпретируется через представление о касательной и т. п. Теоретико-множественные понятия заложили универсальную базу для определения всех математических конструкций в таких «обобщенно геометрических» образах. Эти образы одновременно представляют собой вместилище смысла математических формализмов и средство отбора содержательных языковых утверждений из всего необозримого моря выводимых математических формул.

В этой книжке мне хотелось бы продемонстрировать пользу таких образов в роли посредника между математикой и физикой. Конечно, возможности их популярного изложения ограничены. На шестидесяти страницах мы не сможем объяснить их точный смысл и научить пользоваться ими для решения задач. Но, может быть, читателю станут яснее некоторые идеи математики и теоретической физики. Трудность понимания концепций квантовой теории или общей теории относительности отчасти связана с тем, что при попытках их объяснения опускается такой акт промежуточной теоретико-множественной интерпретации математических моделей. Даже в университетском образовании ему уделяется недостаточно внимания; общение физика и математика часто затруднено тем, что физик склонен переходить от формул прямо к их физическому смыслу, минуя «математический смысл». Впрочем, в последние годы положение заметно улучшается.

Хороший физик пользуется формализмом, как поэт –– естественным языком. Пренебрежение ригористическими запретами оправдывается конечной апелляцией к физической истине, чего не может позволить себе математик. Выбор лагранжиана в единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий Салама––Вейнберга, введение в него полей Хиггса, вычитание вакуумных средних и прочее колдовство, приводящее, скажем, к предсказанию нейтральных токов, оставляет математика в состоянии немого изумления.

Но вернемся к множествам.

Важнейшие множества физики –– это множества не предметов, а возможностей: конфигурационное пространство системы есть мно 42 Ч II. М жество ее возможных мгновенных состояний, пространство-время есть множество возможных событий типа «вспышки», отмечающих точки. Физик обычно спешит ввести на этом пространстве координаты, т. е. функции с числовыми значениями. Если набор n таких функций позволяет однозначно координатизировать точки множества, то допустимо считать, что оно лежит в n-мерном вещественном числовом пространстве n, состоящем из векторов вида (a1, …, an). «Фигуры», т. е. подмножества такого пространства, измерения в нем расстояний, углов, объемов и т. п., наконец, его движения или отображения в себя, –– все это составляет главный арсенал геометрических образов физики. При этом важно, что размерность n может быть как угодно велика и даже бесконечна –– в строгом математическом тексте определение бесконечномерности нужно вводить отдельно, но мы будем представлять себе здесь бесконечномерность как «неопределенно большую конечномерность». Если координаты принимают комплексные значения, то наши множества погружаются в n. Вообще же часто о координатах можно и не упоминать. Физически они иногда являются пережитком слишком упрощенных представлений о наблюдении; математически –– напоминанием о времени, когда не существовало языка, на котором можно было бы содержательно обсуждать множества, не являющиеся множествами чисел или векторов.

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.