WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 54 |

Найти интеллектуальные аргументы против всего этого несложно, но слишком часто их никто не слышит. Не помогли же эти аргументы Александру Гротендику –– одному из наиболее творческих математиков XX века, который острее, чем большинство из нас, чувствовал опасности неконтролируемого развития.

Так что же нам делать Закопать книгу под деревом и с отвращением уйти Конечно же, я так не считаю. Я убежден, что наука, и в частности математика, не является движущей силой нашей цивилизации. Карты и машины у нас есть действительно благодаря науке, но наука не решает за нас, куда нам идти надо, а куда не следует. Думать иначе значило бы вернуться в эпоху архаического восприятия знания как одного из видов магии, когда человек, предсказавший затмение или то, как разрешится некоторая ситуация с неясным исходом, рассматривался как колдун, вызывающий события с помощью манипуляций с их символическими представлениями.

На самом деле биологической функцией мысли является не вызывать, а предотвращать спонтанные реакции, а основной социальной функцией науки в наши дни, возможно, является приостановка лихорадочной активности постиндустриального общества.

Но даже если это и так, вовсе не эти соображения движут теми, кого привлекают занятия математикой или физикой; на нескольких следующих страницах я расскажу о том, что, на мой взгляд, является основным в наших занятиях.

М Основой всей человеческой культуры является язык, и математика –– это специальный вид языковой деятельности.

Естественный язык –– чрезвычайно гибкий инструмент для передачи информации, необходимой для выживания, для выражения эмоций, для утверждения своей воли, для соблазнения и убеждения. В своих высших проявлениях естественный язык создает богатые виртуальные миры поэзии и религии.

Тем не менее естественный язык не очень хорошо приспособлен для пополнения, организации и хранения все время растущего запаса наших знаний о природе, при том что эта деятельность является наиболее характерной чертой современной цивилизации. Вероятно, Аристотель был последним великим мыслителем из тех, кто использовал возможности языка до предела. С приходом Галилея, Кеплера и Ньютона естественный язык в науках был низведен до роли посредника высокого уровня между реальным научным знанием, содержащимся в астрономических таблицах, химических формулах, уравнениях квантовой теории поля, базах данных по геному человека, с одной стороны, и нашим мозгом –– с другой. Пользуясь естественным языком при изучении и преподавании наук, мы привносим с ним наши ценности и предрассудки, поэтические образы, стремление к власти и навыки манипулятора –– но ничего из того, что существенно для научного содержания. Все существенное содержится либо в длинных списках структурированных данных, либо в математике.

Математика же, которая изначально используется, чтобы получше описать структуру данных, постепенно сжимает их до такой степени, что мы начинаем говорить о «законах природы», порождающих и объясняющих бесконечно много различных явлений. Кроме того, по ходу своего внутреннего развития математика, руководствуясь своей собственной логикой, создает еще и виртуальные миры, поражающие внутренней красотой и чрезвычайной сложностью –– миры, которые противятся любым попыткам описать их на естественном языке, но поражают воображение горстки профессионалов на протяжении поколений.

Из свойств математики как языка самым странным является то, что, применяя формальные правила к данному математическому тексту, можно на выходе получить текст, который, кажется, несет новое знание. Основные примеры этого дают научные или технические расчеты: из общих законов вкупе с начальными условиями получаются предсказания –– часто после долгой работы, иногда с участием ком 28 Ч I. М пьютера. Можно сказать, что исходные данные содержат скрытое знание, которое описанный процесс делает явным. Можно попробовать найти параллель в гуманитарных науках, сравнив эту деятельность с герменевтикой –– искусством нахождения скрытых смыслов в священных текстах. Юридический дискурс также имеет некоторые общие черты с научным. По ходу истории современный язык науки постепенно формировался из этих двух древних видов языковой деятельности, и он по-прежнему сохраняет с ними много общего, особенно в более описательных и менее математизированных науках.

У математики нет фиксированного набора привил интерпретации в физическом мире: одно и то же уравнение может описывать и океанические волны, и звук, и свет, и «волны вероятности» в квантовой механике. Акт интерпретации математической конструкции (например, в математической физике) следует отделять от самой этой конструкции.

Многие математики по-прежнему считают, что математика имеет дело непосредственно с платоновским миром смыслов, в котором действительные числа существуют независимо от своих моделей, а гипотеза континуума либо истинна, либо ложна. Недавно я участвовал в споре по поводу компьютерного моделирования: теория это или эксперимент Мой ответ был таков: это теория «реальной реальности» и эксперимент в платоновской реальности.

Каков бы ни был философский статус этих споров, некоторые из наиболее красивых и высокоразвитых разделов математики, без сомнения, являются платоновскими. Я имею в виду такие объекты, как поле всех алгебраических чисел и его группа Галуа. Это –– центральный объект теории чисел, наряду с соответствующей аналитической машинерией: дзета-функциями, L-функциями и автоморфными формами. Вся история теории чисел выглядит как история исследования уже существующего мира, а не как история его изобретения. Если история геометрии почти неотделима от истории теоретической физики, то теория чисел почти ничего не взяла из нашего опыта жизни в реальном мире.

Традиционное сотрудничество между математикой и физикой –– физики открывают уравнения, математики их исследуют –– будет, конечно, продолжаться, и при этом будет постоянно расти роль компьютерного моделирования.

Менее традиционный способ взаимодействия между математикой и физикой выкристаллизовался начиная с 70-х годов. ОдновременМ но с успехом «стандартной модели», удовлетворительно описывающей наблюдаемый спектр элементарных частиц и взаимодействий, физики принялись за разработку довольно романтических моделей, применимым при очень высоким энергиям эпохи большого взрыва.

Для исследования этих моделей пришлось использовать и развивать весьма изысканные, а иногда и совершенно новые разделы математики, в основном связанные с теорией квантовых полей и струн. Этот процесс сейчас в самом разгаре: физики говорят о «второй струнной революции», состоящей, видимо, в том поразительном открытии, что все существовавшие до сих пор основные модели квантовых струн, задаваемые своими рядами теории возмущений, должны быть асимптотическими приближениями к одной и той же теории, но в разных областях пространства модулей.

Математическое сообщество относится к этим идеям с живым интересом и все более активно участвует в их разработке. Мне представляется, что это самая важная тенденция математики последнего десятилетия, которая продолжится и в XXI веке.

Математику можно грубо описать как деятельность, состоящую в решении задач, или иначе: как деятельность, состоящую в развитии исследовательских программ (в широком смысле). Эти два описания находятся в отношении дополнительности. Математика XX века началась со списка из 23 проблем Гильберта, решения которых являются историческими вехами, но основными ее достижениями, вероятно, были создание топологии, математической логики и компьютеров.

Иногда, если мы узнаем о зарождающейся исследовательской программе на достаточно ранней стадии, ее можно сформулировать как гипотезу (см. гипотезы Вейля) или как предвидение (гротендиковские мотивы, программа Ленглендса на ранних этапах).

По моему мнению, сейчас можно говорить о зарождении программы «квантования классической математики»; эта программа шире, чем совместные с физиками попытки разобраться в теории квантовых струн. Я вкратце опишу несколько разделов математики, в которых эта программа уже принесла свои плоды и которые, вероятно, будут активно развиваться в предсказуемом будущем.

. Топология. Принадлежащий физикам эвристический формализм интегралов по траекториям привел к открытию, объяснению и/или лучшему пониманию новых инвариантов узлов, а также трех- и четырехмерных многообразий. В симплектической топологии он привел к доказательству гипотезы Арнольда.

2. Алгебраическая геометрия. Тот же формализм, примененный в другом контексте, доставил замечательные дифференциальные урав 30 Ч I. М нения для производящих функций, коэффициенты которых –– численные инварианты пространств модулей стабильных кривых и стабильных отображений кривых в алгебраические многообразия. Примеры тому –– теория квантовых когомологий и зеркальной симметрии, а также связи с теорией особенностей.

3. Дифференциальная геометрия. Твисторная программа привела к созданию новой главы геометрии, к открытию нестандартных гладких структур на 4 и к окончательной классификации групп голономий. Благодаря двумерной конформной теории поля (КТП) было сформулировано определение новой геометрической структуры –– фробениусовых многообразий, обладающих богатой теорией и дающих математическую основу для квантовых когомологий.

4. Алгебра. Стимулированное КТП возрождение теории операд было крупным событием в той тихой заводи, которой казалась общая алгебра. Из более конкретных объектов особенно интересны вертексные операторные алгебры, относящиеся к более понятым разделам КТП. Теория представлений этих алгебр, доказательство moonshineгипотезы, связи с (обобщенными) алгебрами Каца––Муди –– все это принадлежит к наиболее интересным достижениям алгебры за последние несколько десятилетий.

5. Некоммутативная геометрия и супергеометрия. Супергеометрия, в которой участвуют коммутирующие и антикоммутирующие координаты, открытая физиками в качестве классического приближения к квантовой теории бозонов и фермионов, стала в настоящее время стандартным, хотя и не очень популярным, обобщением всех основных геометрических теорий из классической математики (гладкой геометрии, аналитической, алгебраической). Особенно важна теория суперсимметрии и соответствующее обобщение классификации Картана––Киллинга. У развитой Аленом Конном некоммутативной геометрии были разные источники, и одним из них была квантовая механика. У некоммутативной геометрии обнаружились применения к стандартной модели, а совсем недавно –– и к проблеме спектральной интерпретации дзета-функции.

6. Квантовые вычисления. Это –– довольно новая и захватывающая идея, которая заслуживает упоминания здесь по той причине, что на сегодня она является чисто теоретической: ее аппаратное воплощение, если оно вообще возможно, потребует создания новых технологий. Предполагается использовать «квантовые n-битовые ре 3 февраля 2007 года компания D-Wave провела демонстрацию первого квантового компьютера Orion. Его квантовый регистр состоит из 6 кубит.

М гистры» вместо классических. Такой регистр –– это устройство, чье пространство квантовых состояний является гильбертовым пространством размерности 2n. Кроме того, в квантовом законе эволюции перемножение (2n 2n)-матриц содержится в качестве элементарной операции. Недавно было показано, что с помощью квантовых регистров можно решить задачу быстрого разложения на множители.

Это решение позволило бы взломать криптосистемы с публичным ключом, наиболее широко используемые в наши дни. Основная идея состоит в том, чтобы заменить параллельные вычисления (основное средство ускорения классических вычислений в ситуации, когда неизвестны эффективные алгоритмы) на «массированный квантовый параллелизм», возможность которого основывается на принципе суперпозиции. В течение некоторого времени это направление исследований, несомненно, будет очень популярно.

До сих пор речь шла исключительно об умственных упражнениях.

Что же можно сказать о практической жизни Я веду занятия по вторникам и четвергам (у меня есть выбор, но я не из тех, кто преподает по понедельникам, средам и пятницам), желательно во второй половине дня, и уж по крайней мере –– не рано утром. Раннее утро –– это адское время для многих математиков, так что за приемлемое расписание приходится бороться.

Аудитория пахнет мелом. Доска выглядит совсем старенькой: на ней писали, а затем стирали написанное, миллионы раз.

Мел одинаково пахнет в Москве, Бостоне, Токио, Бонне, Париже VI и Париже VII. Эти два Парижа –– не города, а университеты, но, конечно, Москва, Токио и Бостон –– тоже немногим больше, чем университеты. Занимаясь математикой, приходится ездить по всему миру, но как-то получается, что все места, куда ты попадаешь, похожи друг на друга.

Студенты могут и утомлять, и мешать, но после сорока лет преподавания почему-то оказывается, что ученики –– это самая важная часть твоей жизни. Они становятся мудрее тебя (а ты, кажется, только стареешь), они женятся, разводятся и женятся снова, они присылают фотографии своих детей и домов, они просят о рекомендательных письмах, которые вскоре образуют обширную директорию на твоем компьютере; а время от времени они поражают тебя и наполняют твое сердце гордостью за фантастические новые теоремы и открытия, о которых ты и не мечтал.

32 Ч I. М Это карьера В некотором смысле. Можно расти вплоть до должности постоянного профессора. Зарплата позволяет содержать себя и семью. Но, может быть, нужны более убедительные доводы в пользу того, чтобы посвятить такому занятию всю жизнь. Поэтому, перед тем как распрощаться, давайте еще раз вернемся от практических дел к умственным упражнениям.

Дарвинистская эволюция чрезвычайно неэкономна. Генофонд каждой популяции подвержен случайным мутациям, никак не связанным с переменами в окружающей среде. Естественный отбор выделяет те из этих мутаций, что будут наиболее эффективно переданы следующим поколениям. У более приспособленных организмов будет больше потомков, которые передадут свои гены далее; все остальные –– неприспособленные –– вымрут.

Ламаркистское наследование приобретенных признаков было бы гораздо более эффективно. Вы пользуетесь каким-то органом (или навыком), совершенствуете его, и ваши дети рождаются уже приспособленными к преодолению тех трудностей, с которыми вы боролись.

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.