WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 54 |

В. Предыдущее замечание кладет также предел наивному взгляду, согласно которому категории «являются» специфическими множествами со структурой. Поскольку естественно отождествлять категории, связанные эквивалентностью (не обязательно биективной на объектах), такой подход оказывается совершенно дезориентирующим.

Точнее говоря, постепенно вырисовывается следующая иерархическая картина. Сами категории являются объектами большей категории Cat, морфизмы в которой являются функторами, или «естественными конструкциями» (наподобие теории (ко)гомологий топологических пространств). Однако функторы образуют не просто множество или класс: они сами являются объектами некоторой категории. Аксиоматизируя эту ситуацию, мы приходим к понятию 2-категории, прототипом которой является Cat. Рассматривая точно так же 2-категории, получаем 3-категории, и т. д.

В этой иерархии закодирован следующий взгляд на математические объекты. Между математическими объектами не бывает равенств –– только эквивалентности; а поскольку эквивалентности –– тоже математические объекты, между ними тоже не бывает равенств –– только эквивалентности следующего порядка, и т. д. ad infinitum.

Это видение, идущее от Гротендика, расширяет границы классической математики, в особенности алгебраической геометрии, причем в точности в том направлении, где она взаимодействует с современной теоретической физикой.

С приходом категорий математическое сообщество излечилось от страха перед классами (в смысле противопоставления «класс –– множество»),и вообще перед «очень большими» совокупностями объектов.

Кроме того, при этом оказалось, что имеются осмысленные способы думать о «всех» объектах данного типа и творчески пользоваться аутореферентностью вместо того, чтобы ее полностью запрещать.

Это –– развитие старого противопоставления классов множествам, причем теперь мы считаем, что на каждом шаге получается структура, аналогичная, но не идентичная тем, что мы изучали на предыдущих шагах.

На мой взгляд, эти новые тенденции не поколебали здания, построенного Кантором, но лишь укрепили его.

20 Ч I. М Если канторовские идеи все-таки ушли на второй план, вместе с увлеченностью парадоксами бесконечного и интуиционистскими неврозами, то причиной этому было возобновление взаимодействия с физикой и превращение формальной логики в теоретическую информатику.

Рождение квантовой механики радикально изменило наши представления о взаимосвязях между реальностью, ее теоретическими описаниями и нашим восприятием. Стало ясно, что знаменитое канторовское определение множества ([2]) представляло собой всего лишь рафинированный классический взгляд на материальный мир как на нечто, состоящее из попарно различных предметов, расположенных в пространстве:

Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Под «множеством» мы понимаем всякое соединение M определенных и различных объектов m (называемых «элементами» множества M), существующих в нашем восприятии или в нашей мысли.

Как только выяснилось, что такой взгляд –– всего лишь приближение к несравненно более сложному квантовому описанию, множества перестали быть непосредственно укорененными в реальности. На самом деле множества со структурой из современной математики, наиболее эффективно используемые в современной физике, –– это множества не предметов, а возможностей. Например, фазовое пространство классической механической системы состоит из пар (координата, импульс), описывающих все возможные состояния системы; после квантования оно заменяется на пространство комплексных амплитуд вероятности: гильбертово пространство L2-функций от координат или что-нибудь еще в этом роде. Амплитуды –– это всевозможные квантовые суперпозиции всевозможных классических состояний. Все это бесконечно далеко от множества предметов.

Более того, запросы квантовой механики сильно подняли у математиков планку терпимости к неточной, но в высшей степени стимулирующей манере выражаться, принятой у физиков. Это привело, в частности, к тому, что фейнмановские интегралы по траекториям стали одной из наиболее активных областей исследования в топологии и алгебраической геометрии, при том что математический статус фейнмановского интеграла не лучше, чем статус интеграла Римана до выхода кеплеровской «Стереометрии винных бочек».

Г К Теоретическая информатика придала очень нужную практическую важность предписаниям формальной логики, бывшим по существу исключительно гигиеническими. Внедрение понятия «успех с высокой вероятностью» в исследование алгоритмической разрешимости способствовало дальнейшему разрушению перегородок в сознании, отделявших основания математики от собственно математики.

Приложение: Кантор и физика. Было бы интересно изучить натурфилософию Кантора более подробно. Согласно [3], он несколько раз напрямую высказывался о возможных физических приложениях своей теории.

Например, он доказал, что если из области в n удалить произвольное счетное плотное подмножество (например, все алгебраические точки), то любые две точки дополнения можно соединить непрерывной кривой. Его интерпретация: непрерывное движение возможно даже в несплошных пространствах, так что «наше» пространство также может быть несплошным, поскольку идея непрерывности основана на наблюдении непрерывного движения. Тем самым, надо пересмотреть механику.

Выступая на заседании Общества германских естествоиспытателей и медиков в 883 году во Фрейбурге, Кантор сказал: «Одна из важнейших проблем теории множеств … состоит в том, чтобы выяснить мощности всех множеств, существующих в природе, насколько это возможно» ([3, c. 29 ]).

Похоже, Кантор хотел, чтобы атомы (монады) были настоящими точками, лишенными размера и существующими в природе в бесконечном количестве. «Телесные монады» (массивные частицы –– Ю. М.) должны существовать в счетном количестве. «Эфирные монады» (безмассовые частицы –– Ю. М.) должны иметь кардинал алефодин.

Кода: математика и общество постмодерна Уже при жизни Кантора рецепция его идей проходила так, словно это было новое течение в искусстве, вроде импрессионизма или атональности, а не новая научная теория. Отношение к ним было очень сильно эмоционально окрашено; оно варьировалось от полного отрицания («растлитель юношества» у Кронекера) до самых высоких похвал (выступление Гильберта в защиту «канторовского рая»). Впрочем, в обоих этих высказываниях присутствуют несколько снижающие их градус нюансы, на которые обычно не обращают внимания:

22 Ч I. М Кронекер неявно уподобляет Кантора Сократу, а Гильберт с легкой иронией намекает на канторовскую убежденность в том, что теория множеств вдохновлена Богом.

Если принять тезис, что созданная Бурбаки обширная конструкция является прямым потомком работ Кантора, то не удивляет, что ее ждала так же судьба (см. [9]). Особенно яростным нападкам подверглась «новая математика» –– попытка реформировать математическое образование, усилив акцент на точных определениях, логике и теоретико-множественном языке, а не на математических фактах, рисунках, примерах и неожиданностях.

Хочется рассмотреть эту реакцию в свете принадлежащего Лиотару [7] знаменитого определения общества постмодерна как «недоверчивого к метанарративам» и замечания Тасича, что математика принадлежит к «наиболее упорным метанарративам в западной культуре» [ 2, с. 76].

На это упорство и будем уповать.

Приложение: хроника жизни и математических достижений Кантора (по [ ] и [3]) 3 марта 845. В Санкт-Петербурге родился Георг Кантор.

856. Семья переезжает в Германию (Висбаден).

862–– 867. Кантор учится в Цюрихе, Берлине, Геттингене и снова в Берлине.

867–– 869. Первые публикации по теории чисел (квадратичные формы).

869. Зашита диссертации в университете г. Галле.

870–– 872. Работы о сходимости тригонометрических рядов.

872–– 879. Существование различных бесконечностей, биекции n, исследование взаимосвязей между непрерывностью и размерностью.

29 ноября 879. В письме к Дедекинду Кантор спрашивает, возможна ли биекция между и [3, c. 49]. Вскоре после Рождества –– открытие диагонального процесса [3, c. 5 и далее].

874. Первая публикация по теории множеств.

879–– 884. Публикация серии статей «ber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten».

883. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen.

Г К 884. Первый нервный срыв, после успешной и счастливой поездки в Париж; депрессия длилась до осени [3, c. 282].

884––85. Контакты с католическими теологами; поддержка от них и одиночество в Галле. «В начале 885 года Миттаг-Леффлер, кажется, лишил Кантора последней надежды на понимание и поддержку в математическом сообществе» [3, c. 46].

8 сентября 890. Основание Немецкого математического общества;

Кантор становится его первым председателем.

89. Смерть Кронекера.

895–– 896. Beitrge zur Begrndung der transfiniten Mengenlehre –– последняя крупная математическая публикация Кантора.

897. Первый Международный математический конгресс. Теория множеств становится очень заметной.

897. «Бурали-Форти был первым математиком, предавшим гласности парадоксы трансфинитной теории множеств» [3]. Он провел рассуждение, согласно которому все ординалы, если любые два из них сравнимы, также образуют Ординал, который оказывается больше самого себя, и заключил, что не всякие два ординала сравнимы.

Кантор, напротив, считал, что все ординалы не образуют ординала, подобно тому как все множества не образуют множества.

899. Госпитализация в нервной клинике г. Галле перед и после смерти сына Рудольфа.

902–– 903, зимний семестр. Госпитализация.

Октябрь 907 –– июнь 908. Госпитализация.

Сентябрь 9 –– июнь 9 2. Госпитализация.

9 5. Празднование семидесятилетия Кантора (из-за войны –– общегерманское, но не международное).

Май 9 7 –– 6 января 9 8. Госпитализация; смерть Кантора в больнице в Галле.

Литература. Bloom H. The western Canon. New York: Riverhead Books, 994.

2. Cantor G. Beitrge zur Begrndung der transfiniten Mengenlehre // Math.

Ann. 895. Bd. 46. S. 48 ––5 2; 897. Bd. 49. S. 207––246.

3. Dauben J. W. Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite.

Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 990.

4. Dehaene S., Spelke E., Pinet P., Stanescu R., Tsivkin S. Sources of mathematical thinking: behavioral and brain-imaging evidence // Science. 7 May 999.

Vol. 284. P. 970––974.

24 Ч I. М 5. Freiling C. Axioms of symmetry: throwing darts at the real line // J. Symb.

Logic. 986. Vol. 5. P. 90––200.

6. Garey M., Johnson D. Computers and intractability: a guide to the theory of NP-completeness. San-Francisco: W. H. Freeman and Co., 979.

7. Lyotard J.-F. The postmodern condition: a report on knowledge. Minneapolis:

University of Minneapolis Press, 984.

8. Manin Yu. I. Classical computing, quantum computing, and Shor’s factoring algorithm. Sminaire Bourbaki. № 862 (June 999) // Astrisque. 2000.

Vol. 266. P. 375––404.

9. Mashaal M. Bourbaki // Pour la Science. 2000. № 2.

0. Mumford D. The dawning of the age of stochasticity // Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000. AMS, 999. P. 97––2 8.

. Purkert W., Ilgauds H. J. Georg Cantor, 845–– 9 8. Basel––Boston––Stuttgart:

Birkhuser Verlag, 987.

2. Tasi V. Mathematics and the roots of postmodern thought. Oxford Univ. Press, 200.

Математика как профессия и призвание Математику, как и любую другую профессию, можно рассматривать с разных точек зрения; я начну с самой личной.

Когда мне было лет 2–– 3, я обнаружил, что азарт, взлеты радости и горькие разочарования вызывает у меня такое неожиданное занятие, как чтение гранвилевского курса анализа в русском переводе Лузина, вышедшем в свет в 935 году. Я нашел эту книжку на чердаке у моего приятеля. Помимо прочего стандартного материала, в ней содержалось и небезызвестное эпсилон-дельта определение непрерывной функции. Поборовшись с этим определением какое-то время (было жаркое крымское лето; я сидел под запыленной яблоней), я так разозлился, что выкопал неглубокую ямку, закопал книгу под деревом и с отвращением ушел. Через час начался дождь. Я ринулся назад к яблоне и откопал бедную книгу. Так я понял, что я ее все-таки люблю.

Вскоре я узнал, что математике учат в Московском университете;

что у выдающихся математиков выходят собрания сочинений (мама подарила мне «Избранные труды» И. М. Виноградова на день рождения); что можно взять в библиотеке журнал «Известия АН СССР. Серия математическая» и попробовать прочитать то, что там написано (я на многих страницах конспектировал статью Ю. В. Линника о простых числах в арифметических прогрессиях). Чего я так и не понимал –– это почему, собственно, меня все это привлекало, но постепенно я научился принимать это как должное и жить с этим.

Я полагаю, что это чувство глубокой личной вовлеченности, впервые пережитое в раннем возрасте, знакомо многим, и что оно является психологической основой, благодаря которой возникло и существует сообщество математиков (музыкантов, философов, поэтов, священников...) –– поверх всех границ между племенами, государствами и эпохами. Однако же это чувство могло бы быть канализовано и в другом направлении, если бы общество и история не обеспечили выбор возможных карьер, ожидающих того, кто это чувство испытывает. (Что бы делали полвека назад все те, кто сейчас с таким азартом Впервые опубликовано в сб.: Mathematics: Frontiers and Perspectives / Ed. by V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur. AMS, 2000. P. 53–– 59. Перевод с английского С. М. Львовского.

26 Ч I. М пишут большие компьютерные программы Дональд Кнут задал этот риторический вопрос в 979 году на конференции памяти Мухаммеда аль-Хорезми, от имени которого происходит слово «алгоритм».) Похоже, что человечество как таковое, или его коллективное бессознательное, испытывает периодические приливы и отливы энтузиазма по поводу различных видов деятельности. Мы, математики, являемся всего лишь частью еще большего сообщества ученых, занимающихся исследованиями, обучающих следующее поколение, сотрудничающих с промышленностью, медициной и бизнесом в деле создания и сохранения инфраструктуры нашей цивилизации. Эта цивилизация создавалась в климате, сформированном Просвещением, а затем промышленной революцией; теперь ее система ценностей размывается под влиянием «ньюэйджевских» разочарований (вероятно, эта тенденция восходит еще к Шпенглеру). Науку сурово осуждают за работу на войну, за разрушение окружающей среды, и вообще за то, что она вносит вклад в нелепые восторги –– в то время как надвигается катастрофа.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.